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Die elementaren Funktionen bezeichnen in der Mathematik immer wieder auftauchende, grundlegende Funktionen, aus denen sich viele andere Funktionen mittels der Grundrechenarten, Verkettung, Differentiation oder Integration bilden lassen. Dabei gibt es keine allgemeingültige Definition, wann eine Funktion elementar genannt wird und wann nicht.

Die elementaren Funktionen ergeben sich oftmals als Lösungen einer einfachen Differential- oder Funktionalgleichung, und sind deshalb – mehr noch als die speziellen Funktionen – auch für viele Naturwissenschaften wie Physik oder Chemie grundlegend, weil sie immer wieder in den unterschiedlichsten Zusammenhängen auftreten.

Von elementar integrierbaren Funktionen wird gesprochen, wenn die Stammfunktion einer elementaren Funktion selbst elementar ist. Wichtige nicht elementar integrierbare Funktionen sind das Fehlerintegral und der Integralsinus. Auch diese Sprechweise ist nicht exakt.

Wolfram Research, der Hersteller des Computeralgebrasystems Mathematica, zählt zu den elementaren Funktionen die folgenden:[1]

Inhaltsverzeichnis

DefinitionBearbeiten

Definitionsversuche: Im in vielen Quellen unpräzisen Sprachgebrauch bezeichnet man Funktionen als elementar, die sich in endlich vielen Schritten allein mit Hilfe

  • der vier Grundrechenarten  ,
  • des Potenzierens bzw. Radizierens  ,
  • der Exponentialbildung bzw. Logarithmierung   sowie
  • der Verkettung  

aus einer rationalen Funktion (d. h. dem Quotienten zweier Polynomfunktionen) bilden lassen.[2]

Diese Definition erlaubt es, vielen Abbildungsvorschrift sofort anzusehen, ob sie elementar ist, und so lassen sich alle weiter oben aufgeführten Funktionen – bis auf die Lambert-W-Funktion – allein mit Hilfe der genannten Operationen ausdrücken, etwa

 ,
  oder
 .

Außerdem wurde auf der Grundlage dieser Definition der sogenannte Risch-Algorithmus entwickelt, der es ermöglicht zu entscheiden, ob eine gegebene elementare Funktion auch eine elementare Stammfunktion besitzt. Axiom ist bis heute das einzige Computer-Algebra-System mit einer vollständigen Implementierung des Risch-Algorithmus.

Genaue Definition: [3]: Sei   ein Körper mit Charakteristik 0 und Differentiation, d. h. es gibt eine Abbildung   mit den folgenden beiden Eigenschaften: Für alle   gilt:

  •  
  •  

Ist nun   eine Körpererweiterung von  , so heißt  :

  • konstant über  , falls  ,
  • algebraisch über  , falls es   und   mit   gibt, sodass  
  • exponentiell über  , falls es ein   gibt, sodass  
  • logarithmisch über  , falls es ein   gibt, sodass  

Nun nennt man eine Körpererweiterung   von   algebraisch bzw. exponentiell bzw. logarithmisch über  , falls es ein   gibt, sodass  , die kleinste Körpererweiterung von  , die   enthält, und dieses   algebraisch bzw. exponentiell bzw. logarithmisch über   ist. Ein   heißt nun elementar über  , falls es   und eine endliche Folge von Körpererweiterungen   gibt, sodass für alle   jeweils   algebraisch, exponentiell oder logarithmisch über   ist.

Nun erhält man den bereits intuitiv erklärten Begriff elementarer Funktionen, durch die Funktionen, die elementar über dem Körper   der rationalen Funktionen sind.

Beispiele für nicht-elementare FunktionenBearbeiten

Eine Funktion heißt nicht elementar integrierbar, falls ihre Stammfunktion nicht elementar ist. Die folgenden Funktionen sind nicht elementar integrierbar[4]:

  •  
  •  
  •  
  •  
  •  

LiteraturBearbeiten

  • J. H. Davenport: What Might "Understand a Function" Mean. In: M. Kauers, M. Kerber, R. Miner, W. Windsteiger: Towards Mechanized Mathematical Assistants. Springer, Berlin/ Heidelberg 2007, S. 55–65. (semanticscholar.org)
  • Maxwell Rosenlicht: Liouville's Theorem on Functions with Elementary Integrals. In: Pacific Journal of Mathematics. 24, No. 1, 1968, S. 153–161.
  • Maxwell Rosenlicht: Integration in Finite Terms. In: The American Mathematical Monthly. 79, 1972, S. 963–972.

EinzelnachweiseBearbeiten