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rot: Graph der gebrochenrationalen Funktion
blau: Polgerade durch die Polstelle bei
grün: Asymptotenfunktion , stetig behebbare Definitionslücke bei

Eine rationale Funktion ist in der Mathematik eine Funktion, die als Quotient zweier Polynomfunktionen darstellbar ist. Sie hat also die Form

mit natürlichen Zahlen und . Die Zahlen können beliebige reelle Zahlen (oder auch komplexe Zahlen) sein; die einzige Einschränkung ist, dass sein muss. Abstrakter kann man für die Koeffizienten Elemente eines beliebigen Körpers zulassen. Die rationalen Funktionen mit komplexen Koeffizienten gehören zu den meromorphen Funktionen.

EinteilungBearbeiten

  • Ist das Nennerpolynom   vom Grad  , also konstant, so spricht man von einer ganzrationalen Funktion oder von einer Polynomfunktion.
  • Kann man den Funktionsterm ausschließlich mit einem Nennerpolynom vom Grad   darstellen, so handelt es sich um eine gebrochenrationale Funktion.
    • Ist   und  , so handelt es sich um eine echt gebrochenrationale Funktion.
    • Ist   und  , so handelt es sich um eine unecht gebrochenrationale Funktion. Sie kann über Polynomdivision in eine ganzrationale Funktion und eine echt gebrochenrationale Funktion aufgeteilt werden (siehe unten).

Beispiele für rationale Funktionen mit unterschiedlichen Zählergraden   und Nennergraden  :

Beispiel alternative Schreibweise z = n = Funktionstyp
    3 0 ganzrational
  1 2 echt gebrochenrational
    3 3 unecht gebrochenrational
    2 1 unecht gebrochenrational

Asymptotisches VerhaltenBearbeiten

Für das Verhalten für   gegen Unendlich sind die Grade   bzw.   des Zähler- bzw. Nenner-Polynoms entscheidend:

Für   geht  

  • gegen  , falls  , wobei   die Vorzeichenfunktion darstellt.
  • gegen  , falls   (die Asymptote ist parallel zur  -Achse),
  • gegen   (die  -Achse ist waagrechte Asymptote), falls  ,

Für   ergibt sich im zweiten und dritten Fall jeweils derselbe Grenzwert wie für  . Im ersten Fall muss man Zähler- und Nennergrad noch genauer berücksichtigen:

  • Ist   gerade, so ergibt sich derselbe Grenzwert wie für  .
  • Ist   ungerade, so ändert sich im Vergleich zu   das Vorzeichen des Grenzwerts.

Wie weiter unten beschrieben, kann man im ersten Fall den Funktionsterm mittels Polynomdivision immer in ein Polynom und einen echt gebrochenrationalen Term zerlegen; das Polynom beschreibt dann eine sogenannte Asymptotenkurve. (Das Verhalten der Funktionswerte für   kann man dann auch einfacher erhalten, indem man nur das Verhalten der Asymptotenkurve untersucht.) Im Sonderfall   ergibt sich eine schräg verlaufende Asymptote.

Beispiele:

  • Bei der gebrochenrationalen Funktion   ist der Zählergrad   und der Nennergrad  , der Grenzwert für   ist also  .
  • Die gebrochenrationale Funktion   hat den Zählergrad   und auch den Nennergrad  ; da hier   und   ist, ergibt sich für die Gleichung der waagrechten Asymptote:  .
  • Die gebrochenrationale Funktion   hat den Zählergrad   und den Nennergrad  ; mit den Koeffizienten   und   ergibt sich also:   für  . Da hier   ungerade ist, folgt für den Grenzwert für   das umgedrehte Vorzeichen, also  . Diese Funktion kann man auch schreiben als  , das heißt, die (schräge) Asymptote hat die Gleichung   (und daraus ergibt sich auch leicht wieder das eben geschilderte Grenzverhalten).

KurvendiskussionBearbeiten

Anhand des Funktionsterms der rationalen Funktion   lassen sich folgende Aussagen zum Funktionsgraphen machen (Kurvendiskussion).

SymmetrieBearbeiten

Eine Polynomfunktion (ganzrationale Funktion) ist gerade/ungerade, wenn alle Exponenten gerade/ungerade sind. Sind Zählerpolynom   und Nennerpolynom   von einem dieser beiden Typen, so ist auch die rationale Funktion   gerade oder ungerade:

  • Sind   und   beide gerade oder beide ungerade, so ist   gerade (d. h. der Graph ist symmetrisch zur y-Achse)
  • Ist   gerade und   ungerade, so ist   ungerade (d. h. der Graph ist punktsymmetrisch zum Ursprung); gleiches gilt, wenn   ungerade und   gerade ist.

In allen anderen Fällen, wenn also Zähler- oder Nennerfunktion oder beide weder gerade noch ungerade sind, sind Symmetrieeigenschaften von   schwieriger zu entscheiden. (Siehe auch Kurvendiskussion und Symmetrie in der Geometrie).

Beispiele:

  • Der Graph zur Funktion   mit   ist symmetrisch zum Ursprung, da   ungerade und   gerade, die Funktion insgesamt also ungerade ist.
  • Der Graph zur Funktion   ist symmetrisch zur y-Achse, da   und   beide ungerade, die Funktion insgesamt also gerade ist. Das kann man auch anders sehen: Klammert man in Zähler und Nenner jeweils x aus, kann man den Funktionsterm kürzen zu  ; nun sind   und   gerade, die Funktion insgesamt also wiederum gerade.
  • Beim Graph zur Funktion mit dem Term   ist zunächst keine Symmetrie erkennbar (  ist ungerade,   aber weder gerade noch ungerade); man kann aber zeigen, dass der Graph symmetrisch zum Punkt P(1|1) ist; es gilt nämlich:
      und
     ,
also insgesamt:  , was eben gerade Symmetrie zum Punkt P(1|1) bedeutet. Alternativ kann man auch zeigen, dass der Graph von   aus dem Graph der Funktion   (welcher symmetrisch zum Ursprung ist) durch Verschieben um 1 in  -Richtung und um 1 in  -Richtung hervorgeht.

Definitionsbereich, Nullstellen und PolstellenBearbeiten

Die gebrochenrationale Funktion ist an den Nullstellen der Nennerfunktion   nicht definiert.

Die Nullstellen einer gebrochenrationalen Funktion werden durch diejenigen Nullstellen der Zählerfunktion   bestimmt, die zum Definitionsbereich der gesamten Funktion gehören.

Ein Spezialfall ergibt sich, wenn eine reelle Zahl   gleichzeitig Nullstelle des Zählerpolynoms und des Nennerpolynoms ist. Dann sind Zähler- und Nennerpolynom durch den zugehörigen Linearfaktor   (eventuell sogar mehrfach) teilbar, das heißt, der Funktionsterm kann mit diesem Faktor (eventuell mehrfach) gekürzt werden.

  • Kommt   im Nenner  -mal öfter vor als im Zähler (mit natürlicher Zahl  ,  ), so liegt eine Polstelle vor (  heißt dann die Vielfachheit der Polstelle);
  • andernfalls hat die rationale Funktion an der Stelle   eine stetig hebbare Definitionslücke, und man kann die Funktion stetig fortsetzen

Beispiele:

  • Die Funktion   hat den Definitionsbereich  , da die Nennerfunktion   die Nullstelle   hat, und die Nullstelle  , da das die einzige Nullstelle der Zählerfunktion   ist (und   zu   gehört).   ist eine (doppelte) Polstelle.
  • Die Funktion   hat den Definitionsbereich  . Hier ist aber nun   eine Nullstelle der Zähler- und der Nennerfunktion. Um den entsprechenden Linearfaktor   zu kürzen, faktorisiert man Zähler und Nenner zunächst (durch Ausklammern bzw. Anwenden der binomischen Formeln); das führt auf   bzw. nach kürzen auf  . Damit ergibt sich:   ist eine (einfache) Polstelle,   dagegen eine stetig behebbare Definitionslücke von  , und   hat die Nullstelle   (beachte:   ist keine Nullstelle von  , da dieser Wert nicht zu   gehört!). Für die stetige Fortsetzung von   ergibt sich:   und  .

AsymptoteBearbeiten

Durch die Polynomdivision von   durch   erhält man   mit Polynomen   und  , wobei der Grad von   kleiner als der von   ist. Das asymptotische Verhalten von

 

ist damit durch die ganzrationale Funktion ("Asymptotenfunktion")   bestimmt:

  1.   → x-Achse ist Asymptote:  
  2.   → waagerechte Asymptote:  
  3.   → schräge Asymptote:   mit   und  
  4.    ist ein Polynom vom Grad  ; der Leitkoeffizient dieses Polynoms ist gleich  .

Die Fälle 2., 3. und 4. können auch mit einer Polynomdivision bearbeitet werden.

AbleitungBearbeiten

Zum Ableiten gebrochenrationaler Funktionen muss man im Allgemeinen die Quotientenregel verwenden; zusätzlich kann auch oft die Kettenregel nützlich sein, beispielsweise wenn die Nennerfunktion eine Potenz eines Binoms ist. Vor dem Ableiten empfiehlt es sich oft, den Funktionsterm zunächst mit Hilfe einer Polynomdivision umzuschreiben und den übrigen echt gebrochenrationalen Term zu kürzen.

Beispiele:

  • Bei der Funktion   ist es sinnvoll, neben der Quotientenregel auch die Kettenregel anzuwenden, statt zunächst im Nenner die erste binomische Formel anzuwenden. Mit der Kettenregel ergibt sich zunächst für die Ableitung der Nennerfunktion   (in der Quotientenregel meist mit   bezeichnet):
     ,
und damit insgesamt für die Ableitungsfunktion von  :
 .
Nun kann man im Zähler einen Faktor   ausklammern und kürzen:
 .
Vereinfachen des Zählers führt schließlich auf
 .
  • Den Funktionsterm   bringt man mit Hilfe einer Polynomdivision zunächst auf die Form
     ,
woran man auch gleich die Gleichung der schrägen Asymptote ablesen kann:
 .
Faktorisieren von Zähler und Nenner führt dann auf
 ,
man kann also einen Faktor   kürzen. Schließlich hat man:
 ;
in dieser Form kann man die Funktion nun deutlich leichter ableiten als in der ursprünglich gegebenen.
Mit Hilfe der Quotientenregel ergibt sich:
 .
Setzt man die erste Ableitung gleich Null, um die Extremstellen zu suchen, so empfiehlt es sich vorher, die beiden Brüche wieder zusammenzufassen:
 .

StammfunktionBearbeiten

Im Gegensatz zu den ganzrationalen Funktionen ist es bei gebrochenrationalen Funktionen oft relativ schwierig, eine Stammfunktion zu finden. Dafür kann man, je nach Form der gebrochenrationalen Funktion, unter anderem folgende Regeln anwenden (meist muss man den Funktionsterm durch Umformungen und/oder Substitution zunächst in eine passende Form bringen):

  für  
  für  
  oder  
  für  
  für  
  für  

Oft kann für die Bestimmung einer Stammfunktion auch die Partialbruchzerlegung hilfreich sein. Beispiele:

  • Gesucht sei eine Stammfunktion zu  . Mittels einer Polynomdivision kann man das zunächst umschreiben zu:
     .
Anwenden der ersten Regel liefert dann als mögliche Stammfunktion:
 .
  • Gesucht sei eine Stammfunktion zu  , wobei   zwischen −0,5 und 0,5 liegen soll. Wieder kann man den Funktionsterm zunächst mittels einer Polynomdivision umschreiben:
     .
Anwenden der vierten Regel liefert dann als mögliche Stammfunktion:
 .
  • Gesucht sei eine Stammfunktion zu  . Das kann auch geschrieben werden als
      mit  .
Anwenden der letzten Regel liefert dann als mögliche Stammfunktion:
 .
  • Eine Stammfunktion zu   kann man mit Hilfe der Substitution   bestimmen, nachdem man den Nenner mittels quadratischer Ergänzung umgeformt hat:
     
  • Eine Stammfunktion zu   kann man mit Hilfe der Partialbruchzerlegung erhalten, nachdem man den Nenner zunächst faktorisiert hat:
     

AnwendungenBearbeiten

Rationale Funktionen haben vielfältige Anwendungen in Naturwissenschaften und Technik:

  • Viele Größen sind umgekehrt proportional zueinander, eine der Größen ist also eine rationale Funktion der anderen, wobei der Zähler konstant und der Nenner eine (homogene) lineare Funktion ist. Einige wenige Beispiele:
    • Die Geschwindigkeit   und die für eine feste Strecke   benötigte Zeit   sind umgekehrt proportional zueinander:  
    • Die Konzentration   eines Stoffes ist bei fester Stoffmenge   umgekehrt proportional zum Volumen   des Lösungsmittels:  
    • Beschleunigung und Masse sind bei fester Kraft   umgekehrt proportional zueinander:  .
    • Für die Kapazität   eines Plattenkondensators gilt in Abhängigkeit vom Plattenabstand  :   mit dem Flächeninhalt   der Platten, der elektrischen Feldkonstante   und der Permittivität  .
  • In vielen Bereichen der Physik kommen Funktionen von zwei Variablen   und   der folgenden Form vor:  . Ist eine der beiden Variablen, z. B.  , konstant oder wählt man sie als Parameter, so ergibt sich eine rationale Funktion (bzw. Funktionenschar) von  . Solche Funktionen treten immer dann auf, wenn sich der gesamte Kehrwert irgendeiner Größe als Summe oder Differenz der Kehrwerte zweier anderer Funktionen ergibt.
    • Mittels der Linsengleichung der Optik kann man die Brennweite   als Funktion von Gegenstandsweite   und Bildweite   darstellen:  ; umstellen nach   oder   liefern eine sehr ähnliche Funktion, allerdings mit - statt mit +.
    • Für den Gesamtwiderstand   einer Parallelschaltung zweier Widerstände   und   ergibt sich:  ; eine analoge Formel gilt bei der Reihenschaltung zweier Kondensatoren.
    • In der Mechanik ergibt sich, wenn man zwei Federn mit Federkonstanten   und   aneinander hängt, für die gesamte Federkonstante   der Anordnung:  
  • Bei einem Spannungsteiler ist die gesamte an einem Widerstand   abfallende Spannung   gegeben durch:  , wobei   die zu teilende Spannung und   der andere Widerstand ist.
  • Für die elektrische Leistung  , die ein Gerät mit Widerstand   erbringt, das an einer Spannungsquelle (Spannung  ) mit Innenwiderstand   angeschlossen ist, ergibt sich:  . Die größtmögliche Leistung (zu bestimmen mit Hilfe der Differenzialrechnung) erhält man also dann, wenn   ist (Leistungsanpassung).
  • Für die Induktivität   einer (nicht zu kurzen) Spule in Abhängigkeit von ihrem Radius   gilt:  . Dabei ist   die Länge der Spule (man kann   also auch als rationale Funktion von   auffassen),   die Windungszahl und   die magnetische Feldkonstante.
  • Die Bremskraft   einer Wirbelstrombremse hängt folgendermaßen von der Geschwindigkeit   ab:   mit Konstanten   und  .
  • Bei der Atwoodschen Maschine hängt die Beschleunigung   folgendermaßen von den beiden Massen   und   ab:  ; man kann   also als rationale Funktion sowohl von   als auch von   auffassen.
  • Auch geometrische Fragestellungen führen oft auf rationale Funktionen. Beispiel: Bei einer Truhe, die aus einem Quader (Grundseitenlängen   und  , Höhe  ) mit aufgesetztem Halb-Zylinder (Höhe  , Radius  ) besteht, gilt für den Oberflächeninhalt   in Abhängigkeit von   bei gegebenem Volumen  :  .

Abweichende Bedeutung in der abstrakten AlgebraBearbeiten

In der abstrakten Algebra wird der Begriff einer rationalen Funktion in einem allgemeineren und etwas unterschiedlichen Sinne verwendet. Und zwar versteht man unter einer rationalen Funktion in   Variablen   über einem Körper   ein Element des Quotientenkörpers des Polynomrings  . Dieser Quotientenkörper wird Rationaler Funktionenkörper genannt. Im Allgemeinen ist eine rationale Funktion also keine Funktion irgendeiner Art, sondern ein (formaler) Bruch aus zwei Polynomen. Der Unterschied macht sich allerdings nur über endlichen Körpern bemerkbar: So ist z. B. für jede Primzahl   über dem endlichen Körper   (dem Körper aller Restklassen ganzer Zahlen modulo  ) der Bruch   eine wohldefinierte rationale Funktion in der Variablen  , aber keine Funktion im eigentlichen Sinne des Begriffes, weil man in diese Funktion keinen einzigen Wert einsetzen darf, ohne dass der Nenner 0 wird. (Denn setzt man irgendein   in diese „Funktion“ ein, erhält man  , was undefiniert ist, weil der Nenner   nach dem kleinen Fermatschen Satz gleich 0 ist.) Über unendlichen Körpern allerdings ist eine rationale Funktion immer eine Funktion, die zwar eine Definitionslücke haben kann, aber diese Definitionslücke ist nur sehr klein im Vergleich zum Definitionsbereich. Dieser Gedanke wird mit dem Begriff der Zariski-Topologie formalisiert: Die Definitionslücke ist eine Zariski-abgeschlossene Menge, und die abgeschlossene Hülle des Definitionsbereiches ist die ganze Menge.

Der Körper der rationalen Funktionen auf einer algebraischen VarietätBearbeiten

Sei   eine algebraische Varietät definiert durch Polynome  , also

 

Sei

 

Der Ring der ganzen Funktionen ist  . Der Körper der rationalen Funktionen ist der Quotientenkörper des Ringes der ganzen Funktionen.

Allgemeiner gibt es den Begriff rationaler Abbildungen zwischen (quasi-projektiven) Varietäten. Rationale Funktionen sind der Spezialfall rationaler Abbildungen von einer Varietät nach  .

WeblinksBearbeiten