Vorzeichenfunktion

nicht stetige nicht differenzierbare Funktion, schwache Ableitung der Betragsfunktion

Die Vorzeichenfunktion oder Signumfunktion (von lateinisch signum ‚Zeichen‘) ist in der Mathematik eine Funktion, die einer reellen oder komplexen Zahl ihr Vorzeichen zuordnet.

Vorzeichenfunktion auf den reellen ZahlenBearbeiten

DefinitionBearbeiten

 
Graph der Vorzeichenfunktion

Die reelle Vorzeichenfunktion bildet von der Menge der reellen Zahlen in die Menge   ab und wird in der Regel wie folgt definiert:

 

Sie ordnet also den positiven Zahlen den Wert +1, den negativen Zahlen den Wert −1 und der 0 den Wert 0 zu.

Anwendungsabhängig, beispielsweise in der Rechentechnik, verwendet man alternative Definitionen für 0. Diese wird dann den positiven ( ), negativen ( ), beiden Zahlenbereichen entweder wahlweise ( ,  ), oder gleichzeitig ( ), oder undefiniert ( )[1][2] zugeordnet. Da die Null eine Nullmenge unter dem Lebesgue-Maß ist, ist dies für praktische Anwendungen oft nicht von Bedeutung. Unabhängig von der Definition der Vorzeichenfunktion (die variiert), wird in der Gleitkommadarstellung üblicherweise dem Vorzeichen ein Bit zugewiesen.

Für den Fall, dass   gesetzt wird, besteht folgender Zusammenhang zur Heaviside-Funktion  :

 

RechenregelnBearbeiten

Durch Fallunterscheidung ist leicht beweisbar:

  • Für alle   mit Betrag   gilt  .
  für alle  .
  • Ist   eine Konstante und   eine ungerade Funktion, so ist
 
  • Für   ist der Übergang zur reziproken Zahl mit der Signumfunktion verträglich und ändert nichts an deren Wert:
  für alle  .
  • Die Signumfunktion ist mit der Multiplikation verträglich:
  für alle  .
  für alle  .

Aus den beiden letztgenannten Rechenregeln folgt beispielsweise, dass sich die in einem aus beliebig vielen Faktoren zusammengesetzten Argument der Signumfunktion ein Faktor   durch   ersetzen lässt, ohne den Funktionswert zu ändern:

  für beliebige  .

Ableitung und IntegralBearbeiten

 
Die Vorzeichenfunktion ist an der Stelle 0 nicht stetig.

Die Vorzeichenfunktion ist an der Stelle   nicht stetig und damit dort nicht klassisch differenzierbar. Für alle anderen Stellen   ist die Vorzeichenfunktion differenzierbar mit  . Die Vorzeichenfunktion besitzt auch keine schwache Ableitung. Allerdings ist sie im Sinne von Distributionen differenzierbar, und ihre Ableitung ist  , wobei   die Delta-Distribution bezeichnet.

Ferner gilt für alle  

 

Die Vorzeichenfunktion ist darüber hinaus die schwache Ableitung der Betragsfunktion.

Vorzeichenfunktion auf den komplexen ZahlenBearbeiten

DefinitionBearbeiten

 
Signum von vier komplexen Zahlen

Im Vergleich zur Vorzeichenfunktion reeller Zahlen wird nur selten die folgende Erweiterung auf komplexe Zahlen betrachtet:

 

Das Ergebnis dieser Funktion liegt für   auf dem Einheitskreis und besitzt dasselbe Argument wie der Ausgangswert, insbesondere gilt

 

Beispiel:   (im Bild rot)

 

RechenregelnBearbeiten

Für die komplexe Vorzeichenfunktion gelten die folgenden Rechenregeln:

Für alle komplexen Zahlen   und   gilt:

  •   für alle   wobei   den Betrag von   bezeichnet;
  •  , wobei der Querstrich die komplexe Konjugation bezeichnet;
  •  , insbesondere
    •   für positive reelle  ,
    •   für negative reelle  ,
    •  ;
  •  .
  • Falls   ist, gilt auch
 .

LiteraturBearbeiten

  • Königsberger: Analysis 1. 6. Auflage. Springer, Berlin 2003, ISBN 3-540-40371-X, S. 101.
  • Hildebrandt: Analysis 1. 2. Auflage. Springer, Berlin 2005, ISBN 3-540-25368-8, S. 133.

WeblinksBearbeiten

EinzelnachweiseBearbeiten

  1. Eugene D. Denman, Alex N. Beavers: The matrix sign function and computations in systems. In: Applied Mathematics and Computation. Band 2, Nr. 1. Elsevier, Januar 1976, ISSN 0096-3003, S. 63–94, doi:10.1016/0096-3003(76)90020-5.
  2. Charles S. Kenney, Alan J. Laub: The matrix sign function. In: IEEE Transactions on Automatic Control. Band 40, Nr. 8. Institute of Electrical and Electronics Engineers (IEEE), August 1995, S. 1330–1348, doi:10.1109/9.402226.