Hauptmenü öffnen

Die Heaviside-Funktion, auch Theta-, Treppen-, Schwellenwert-, Stufen-, Sprung- oder Einheitssprungfunktion genannt, ist eine in der Mathematik und Physik oft verwendete Funktion. Sie ist nach dem britischen Mathematiker und Physiker Oliver Heaviside (1850–1925) benannt.

Inhaltsverzeichnis

AllgemeinesBearbeiten

Die Heaviside-Funktion hat für jede beliebige negative Zahl den Wert null, andernfalls den Wert eins. Die Heaviside-Funktion ist mit Ausnahme der Stelle   überall stetig. In Formeln geschrieben heißt das:

 
Heaviside-Funktion
 

Sie ist also die charakteristische Funktion des Intervalls   der nichtnegativen reellen Zahlen.

In der Fachliteratur ist statt   auch eine davon abweichende Nomenklatur geläufig:

  •  , welche sich am Namen von Oliver Heaviside orientiert.
  •   und   nach der Bezeichnung Sprungfunktion.
  •   nach der Bezeichnung englisch unit step function.
  • Auch   wird häufig verwendet.
  • In der Systemtheorie verwendet man auch das Symbol  .

Die Funktion findet zahlreiche Anwendungen, etwa in der Nachrichtentechnik oder als mathematisches Filter: Multipliziert man punktweise jeden Wert einer beliebigen stetigen Funktion mit dem entsprechenden Wert der Heaviside-Funktion, ergibt sich eine Funktion, die links von   den Wert Null hat (deterministische Funktion), rechts davon aber mit der ursprünglichen Funktion übereinstimmt.

Alternative DarstellungenBearbeiten

Den Wert der Heaviside-Funktion an der Stelle   kann man auch folgendermaßen festlegen. Zur Kennzeichnung der Definition schreibt man

 

mit  . Es kann   also eine beliebige Menge darstellen, solange sie 0 und 1 enthält. Üblicherweise wird jedoch   verwendet.

Diese Definition ist charakterisiert durch die Eigenschaft, dass dann   ist.

Durch die Wahl   und folglich   erreicht man, dass die Gleichungen

  und damit auch
 

für alle reellen   gültig sind.

Eine Integralrepräsentation der Heaviside-Sprungfunktion lautet wie folgt:

 

Eine weitere Repräsentation ist gegeben durch

 

EigenschaftenBearbeiten

DifferenzierbarkeitBearbeiten

Die Heaviside-Funktion ist weder im klassischen Sinne differenzierbar noch ist sie schwach differenzierbar. Dennoch kann man über die Theorie der Distributionen eine Ableitung definieren. Die Ableitung der Heaviside-Funktion in diesem Sinne ist die diracsche Delta-Distribution, die in der Physik zur Beschreibung von punktförmigen Quellen von Feldern Verwendung findet.

 

Eine heuristische Begründung für diese Formel erhält man, wenn man   und   geeignet approximiert, z. B. durch

 

sowie

 

wobei jeweils der Grenzwert   betrachtet wird.

IntegrationBearbeiten

Eine Stammfunktion der Heaviside-Sprungfunktion erhält man durch Aufspaltung des Integrals nach den beiden Fällen   und   aus der Fallunterscheidung in der Definition:

  • Für   gilt
     
  • Für   tritt sogar nur der erste Fall ein und es gilt
     .

Zusammengenommen gilt also

 

beziehungsweise

 .

Die Menge aller Stammfunktionen der Heaviside-Funktion ist damit

 .

Siehe auchBearbeiten

WeblinksBearbeiten