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Gerade und ungerade Funktionen

mathematische Funktion
Die Normalparabel ist ein Beispiel für eine gerade Funktion.
Die kubische Funktion ist ein Beispiel für eine ungerade Funktion.

Gerade und ungerade Funktionen sind in der Mathematik zwei Klassen von Funktionen, die bestimmte Symmetrieeigenschaften aufweisen:

In der Schulmathematik gehört die Untersuchung eines Funktionsschaubildes auf diese Symmetrien hin zu den ersten Schritten einer Kurvendiskussion.

Inhaltsverzeichnis

DefinitionBearbeiten

Eine reelle Funktion   mit einer bezüglich der Null symmetrischen Definitionsmenge   heißt gerade, wenn für alle Argumente  

 

gilt, und sie heißt ungerade, wenn für alle  

 

gilt. Anschaulich ist eine reelle Funktion genau dann gerade, wenn ihr Funktionsgraph achsensymmetrisch zur y-Achse ist, und ungerade, wenn ihr Funktionsgraph punktsymmetrisch zum Koordinatenursprung ist.

BeispieleBearbeiten

Gerade FunktionenBearbeiten

Ungerade FunktionenBearbeiten

Die einzige Funktion, die gleichzeitig gerade und ungerade ist, ist die Nullfunktion  .

Allgemeinere BeispieleBearbeiten

  • Eine Potenzfunktion
     
    ist für   genau dann gerade, wenn der Exponent   gerade ist, und genau dann ungerade, wenn der Exponent   ungerade ist.
  • Eine Polynomfunktion
     
    ist genau dann gerade, wenn alle ungeradzahligen Koeffizienten   gleich null sind, und genau dann ungerade, wenn alle geradzahligen Koeffizienten   gleich null sind.
  • Ein trigonometrisches Polynom
     
    ist genau dann gerade, wenn alle Koeffizienten   sind, und genau dann ungerade, wenn alle Koeffizienten   sind.

ZerlegungBearbeiten

Es gibt auch Funktionen, die weder gerade noch ungerade sind, zum Beispiel die Funktion  . Jede Funktion mit einer bezüglich der Null symmetrischen Definitionsmenge   lässt sich jedoch als Summe einer geraden und einer ungeraden Funktion schreiben. Das heißt

 ,

wobei

 

den geraden Anteil der Funktion und

 

den ungeraden Anteil der Funktion darstellt. Diese Zerlegung einer Funktion in gerade und ungerade Komponenten ist eindeutig, d. h. es gibt keine andere Möglichkeit, eine Funktion in gerade und ungerade Komponenten zu zerlegen. Dies folgt aus den Tatsachen, dass die Mengen aller geraden/ungeraden Funktionen einen Untervektorraum des Raums aller Funktionen bilden und die einzige Funktion, die sowohl gerade als auch ungerade ist, die Nullfunktion ist.

EigenschaftenBearbeiten

Algebraische EigenschaftenBearbeiten

  • Jedes Vielfache einer geraden bzw. ungeraden Funktion ist wieder gerade bzw. ungerade.
  • Die Summe zweier gerader Funktionen ist wieder gerade.
  • Die Summe zweier ungerader Funktionen ist wieder ungerade.
  • Das Produkt zweier gerader Funktionen ist wieder gerade.
  • Das Produkt zweier ungerader Funktionen ist gerade.
  • Das Produkt einer geraden und einer ungeraden Funktion ist ungerade.
  • Der Quotient zweier gerader Funktionen ist wieder gerade.
  • Der Quotient zweier ungerader Funktionen ist gerade.
  • Der Quotient einer geraden und einer ungeraden Funktion ist ungerade.
  • Die Komposition einer beliebigen Funktion mit einer geraden Funktion ist gerade.
  • Die Komposition einer ungeraden Funktion mit einer ungeraden Funktion ist ungerade.

Analytische EigenschaftenBearbeiten

  • Im Nullpunkt hat (sofern dieser im Definitionsbereich enthalten ist) jede ungerade Funktion den Funktionswert Null.
  • Die Ableitung einer geraden differenzierbaren Funktion ist ungerade, die Ableitung einer ungeraden differenzierbaren Funktion gerade.
  • Das bestimmte Integral einer ungeraden stetigen Funktion ergibt  , wenn die Integrationsgrenzen symmetrisch um den Nullpunkt liegen.
  • Die Taylor-Reihe mit dem Entwicklungspunkt   einer geraden (ungeraden) Funktion enthält nur gerade (ungerade) Potenzen.
  • Die Fourier-Reihe einer geraden (ungeraden) Funktion enthält nur Kosinus- (Sinus-)Terme.

VerallgemeinerungenBearbeiten

Allgemeiner definiert man in der Algebra durch obige Definition auch gerade und ungerade Funktionen   zwischen zwei Mengen   und  , auf denen eine Verknüpfung mit additiv Inversem gegeben ist, beispielsweise (additive) Gruppen, Ringe, Körper oder Vektorräume. Auf diese Weise lassen sich beispielsweise auch gerade und ungerade komplexe Funktionen oder gerade und ungerade vektorwertige Funktionen definieren.

In der mathematischen Physik wird das Konzept der geraden und ungeraden Funktionen durch den Begriff der Parität verallgemeinert. Diese ist vor allem für Wellenfunktionen etwa in der Quantenmechanik von Bedeutung.

LiteraturBearbeiten

WeblinksBearbeiten