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Wellenfunktion

quantenmechanische Zustandsbeschreibung eines Elementarteilchens

Die Wellenfunktion beschreibt den quantenmechanischen Zustand eines Elementarteilchens oder eines Systems von Elementarteilchen im Ortsraum. Ihr Betragsquadrat bestimmt die Wahrscheinlichkeitsdichte für den Ort des Teilchens. Nach der Kopenhagener Deutung der Quantenmechanik enthält die Wellenfunktion eine Beschreibung aller Informationen einer Entität oder eines ganzen Systems.

Eine Wellenfunktion ist die Funktion, die die Schrödingergleichung (im Ortsraum) löst. Lösungen dieser Wellengleichungen können sowohl gebundene Teilchen (wie Elektronen in den Schalen eines Atoms) oder freie Teilchen (z. B. ein α- oder β-Teilchen als Wellenpaket) beschreiben. Die Wellenfunktion ist in der Regel eine komplexe Funktion.

Bei Teilchensystemen (z. B. mit mehreren gleichen Teilchen) bezeichnet man eine solche Lösung als Vielteilchen-Wellenfunktion. Wegen der Wechselwirkung der Teilchen untereinander lassen sich diese Lösungen jedoch meist nicht mehr ohne die modernere Methodik der Quantenfeldtheorie berechnen.

Inhaltsverzeichnis

Quantenteilchen als WelleBearbeiten

In der schrödingerschen Quantenmechanik ergeben sich Wellenfunktionen als Lösung der Schrödingergleichung.

Da die Schrödingergleichung im komplexen Raum definiert ist, benötigt sie zur allgemeinen Lösung in der Regel eine Funktion, deren Funktionswerte ebenfalls im komplexen Raum liegen. Daher ist die Wellenfunktion nicht reell, sondern komplexwertig. Dies spiegelt sich u. a. darin wider, dass   nicht unbedingt eine reale physikalische Bedeutung zukommt. Sie ist in der Regel nicht messbar, sondern dient nur der mathematischen Beschreibung des quantenmechanischen Zustands eines physikalischen Systems. Aus ihr lässt sich jedoch das zu erwartende Ergebnis einer Messung durch komplexe Konjugation berechnen.

Zum Vergleich: Auch die elektrische Feldstärke   einer Radiowelle ist die Lösung einer (klassischen) elektrodynamischen Wellengleichung. Die elektrische Feldstärke ist jedoch z. B. durch eine Antenne und einen Radioempfänger messbar.

Teilchen mit inneren Eigenschaften (wie zum Beispiel dem Spin eines gebundenen Elektrons oder dem Drehimpuls eines Photons) werden durch Wellenfunktionen mit mehreren Komponenten beschrieben. Je nach dem Transformationsverhalten der Wellenfunktionen bei Lorentztransformationen unterscheidet man in der relativistischen Quantenfeldtheorie skalare, tensorielle und spinorielle Wellenfunktionen bzw. Felder.

Normierungsbedingung und AufenthaltswahrscheinlichkeitBearbeiten

Im Unterschied zur klassischen Physik ist eine exakte Aussage über den Aufenthaltsort   eines Quantenteilchens im Allgemeinen nicht möglich (Heisenbergsche Unschärferelation). Stattdessen lässt sich nur die Wahrscheinlichkeit angeben, ein Teilchen (z. B. Elektron) in einem Ortsbereich (einem Intervall des Ortsraums) zu finden. Sie ergibt sich für Teilchen-Wellenfunktionen durch die Integration der Wahrscheinlichkeitsdichte   über diesen Raumbereich:

 

Die Wahrscheinlichkeitsdichte wird für eine normierte Wellenfunktion durch das Betragsquadrat der Wellenfunktion angegeben:

 

mit der komplex konjugierten Funktion   zu  . Man spricht bei der Wellenfunktion daher auch von einer „Wahrscheinlichkeitswelle“.

Wenn ein Teilchen existiert, muss es sich zu jeder Zeit irgendwo im Raum aufhalten. D.h. die differentielle Wahrscheinlichkeit  , das Teilchen zur Zeit t am Ort   im Volumenelement   anzutreffen, muss über den Ortsraum integriert Eins ergeben:

 

Damit muss die Wellenfunktion die räumliche Normierungsbedingung erfüllen:

 

Einfache WellenfunktionBearbeiten

WellenfunktionBearbeiten

Die Wellenfunktion   eines quantenmechanischen freien Teilchens kann z. B. die Form einer ebenen Welle mit einem (mathematisch) reellen und einem (mathematisch) imaginären Teil besitzen:

 

mit

  •   der Ort als Vektor (Ortsvektor),
  •   die (komplexwertige) Amplitude, mit dem reellen Teil   und dem imaginären  , so dass  
  •   der Wellenvektor, der Richtung und Wellenlänge der Welle festlegt
  •   die Kreisfrequenz, die die Schwingungsperiode der Welle beschreibt.

MessungBearbeiten

Die Wellenfunktion multipliziert mit ihrer komplexen Konjugation   ergibt das Betragsquadrat der Wellenfunktion:

 

Diese Funktion ist proportional (da   noch nicht normiert ist) zur Dichtefunktion   des Teilchens als Funktion des Ortes und der Zeit an:

 

NormierungBearbeiten

Um die Wellenfunktion zu normieren, teilt man sie durch die Wurzel des Integrals über  . Aus der normierten Wellenfunktion erhält man damit die korrekte Wahrscheinlichkeitsdichtefunktion:

 

Das Integral über eine ebene Welle ist jedoch nicht definiert. Aus diesem Grund multipliziert man die Wellenfunktion   mit einer einhüllenden Funktion (z. B. einer Gaußfunktion). Die entstehende Funktion kann ein berechenbares endliches Integral haben. Zudem kann sie für alle anderen Anwendungen praktisch gleiche Eigenschaften wie   haben. In diesem Fall spricht man von einem Wellenpaket.

DefinitionBearbeiten

Eine Wellenfunktion bezieht sich auf jeden Vektor oder jede Funktion, die den Zustand eines physikalischen Systems beschreibt, indem sie es als Entwicklung nach anderen Zuständen desselben Systems darstellt.

Typische Wellenfunktionen sind entweder:

 ,
 ,
  • oder eine komplexwertige Funktion einer oder mehrerer stetig veränderlicher reeller Variablen:
 .

In allen Fällen liefert die Wellenfunktion eine vollständige Beschreibung des betreffenden physikalischen Systems. Es ist allerdings wichtig anzumerken, dass eine einem bestimmten System zugeordnete Wellenfunktion das System nicht eindeutig bestimmt; vielmehr können viele verschiedene Wellenfunktionen das gleiche physikalische System beschreiben.

TeilcheninterpretationBearbeiten

Die physikalische Interpretation einer Wellenfunktion ist kontextabhängig. Mehrere Beispiele werden unten angeführt, gefolgt von einer Interpretation der oben beschriebenen drei Fälle.

Ein Teilchen in einer RaumdimensionBearbeiten

Die Wellenfunktion eines Teilchens im eindimensionalen Raum ist eine komplexe Funktion   über der Menge der reellen Zahlen. Das Betragsquadrat der Wellenfunktion,  , wird als Wahrscheinlichkeitsdichte der Teilchenposition interpretiert.

Die Wahrscheinlichkeit, bei einer Messung das Teilchen im Intervall   zu finden, ist folglich

 .

Dies führt zu der Normierungsbedingung

 

da eine Messung der Teilchenposition eine reelle Zahl ergeben muss. Das heißt: Die Wahrscheinlichkeit, ein Teilchen an irgendeinem Ort zu finden, ist gleich 1.

Ein Teilchen in drei RaumdimensionenBearbeiten

Der dreidimensionale Fall ist analog zum Eindimensionalen; Die Wellenfunktion ist eine komplexe Funktion   definiert über dem dreidimensionalen Raum, und ihr Betragsquadrat wird als dreidimensionale Wahrscheinlichkeitsdichte interpretiert. Die Wahrscheinlichkeit, bei einer Messung das Teilchen im Volumen   zu finden, ist deshalb

 .

Die Normierungsbedingung ist analog zum eindimensionalen Fall

 

wobei das Integral sich über den gesamten Raum erstreckt.

Zwei unterscheidbare Teilchen in drei RaumdimensionenBearbeiten

In diesem Fall ist die Wellenfunktion eine komplexe Funktion von sechs Raumvariablen,

 ,

und   ist die gemeinsame Wahrscheinlichkeitsdichtefunktion der Positionen beider Teilchen. Die Wahrscheinlichkeit einer Positionsmessung beider Teilchen in den beiden jeweiligen Regionen R und S ist dann

 

wobei   und ebenso für  . Die Normierungsbedingung ist deshalb

 ,

wobei das vorgestellte Integral über den gesamten Bereich aller sechs Variablen reicht.

Dabei ist von entscheidender Bedeutung, dass im Fall von Zwei-Teilchen-Systemen nur das System, das aus beiden Teilchen besteht, eine wohldefinierte Wellenfunktion haben muss. Daraus ergibt sich, dass es unmöglich sein kann, eine Wahrscheinlichkeitsdichte für Teilchen EINS zu definieren, welche nicht ausdrücklich von der Position von Teilchen ZWEI abhängt. Die Moderne Physik nennt dieses Phänomen Quantenverschränkung bzw. Quanten-Nichtlokalität.

Ein Teilchen im eindimensionalen ImpulsraumBearbeiten

Die Wellenfunktion eines eindimensionalen Teilchens im Impulsraum ist eine komplexe Funktion   definiert auf der Menge der reellen Zahlen. Die Größe   wird als Wahrscheinlichkeitsdichtefunktion im Impulsraum interpretiert. Die Wahrscheinlichkeit, dass eine Impulsmessung einen Wert im Intervall   ergibt, ist folglich

 .

Dies führt zur Normierungsbedingung

 ,

weil eine Messung des Teilchenimpulses immer eine reelle Zahl ergibt.

Spin-1/2-Teilchen (z. B. Elektron)Bearbeiten

Die Wellenfunktion eines Teilchens mit Spin 1/2 (ohne Berücksichtigung seiner räumlichen Freiheitsgrade) ist ein Spalten-Vektor

 .

Die Bedeutung der Komponenten des Vektors hängt von der verwendeten Basis ab, typischerweise entsprechen   und   den Koeffizienten für eine Ausrichtung des Spins in  -Richtung (spin up) und entgegen der  -Richtung (spin down). In der Dirac-Notation ist dies:

 

Die Werte   und   werden dann als die Wahrscheinlichkeiten interpretiert, dass der Spin bei einer Messung in  -Richtung oder entgegen der  -Richtung orientiert ist.

Dies führt zur Normierungsbedingung

 .

Grundsätzliche Interpretation der Vektor-DarstellungBearbeiten

Wellenfunktionen lassen sich als Elemente eines Vektorraums auffassen (Hilbertraum). Eine Wellenfunktion, die den Zustand eines physikalischen Systems beschreibt, kann durch Linearkombination von anderen Zuständen desselben Systems beschrieben werden. Wir bezeichnen den Zustand des betrachteten Systems als   und die Zustände, in die es entwickelt wird, als  . Die letzteren Zustände sollen eine Basis des Vektorraums darstellen. Im Folgenden werden alle Wellenfunktionen als normiert angenommen.

Endliche VektorenBearbeiten

Eine vektorielle Wellenfunktion   mit   Komponenten beschreibt, wie man den Zustand des physikalischen Systems   als lineare Kombination endlich vieler Grundelemente  , welche   von   zu   laufen, ausdrückt. Insbesondere ist die Gleichung

 ,

welche eine Relation zwischen Spaltenvektoren ist, gleichwertig mit der Basiszerlegung

 ,

welche eine Relation zwischen den Zuständen eines physikalischen Systems ist. Zu beachten ist, dass man beim Wechsel zwischen diesen Ausdrücken die verwendete Basis kennen muss, und folglich zwei Spaltenvektoren mit den gleichen Komponenten zwei verschiedene Systemzustände repräsentieren, wenn die zugrundegelegten Basiszustände verschieden sind. Ein Beispiel einer endlichen, vektoriellen Wellenfunktion ist gegeben durch den Spinzustand eines Teilchens mit Spin 1/2, wie oben beschrieben.

Die physikalische Bedeutung der Komponenten von   ist durch das Postulat des Zusammenbruchs der Wellenfunktion gegeben:

Wenn den Zuständen   eindeutige, endliche Werte   diskret-wertiger dynamischer Variablen entsprechen (z. B. Komponenten von Bahndrehimpuls  , Spindrehimpuls   und Gesamtdrehimpuls  ), und diese Variablen in einem System im Zustand   gemessen werden,
dann ist die Wahrscheinlichkeit, den Wert   zu messen, gegeben durch  , und wenn die Messung den Wert   ergibt, dann nimmt das System unmittelbar danach den Zustand   an.

(Impuls- und Ortsvariable haben dagegen ein kontinuierliches Spektrum. Bei ihnen ist die Basiszerlegung durch ein Integral gegeben, das heißt, die obige Summendarstellung für   ist durch ein Integral   zu ersetzen, und die Wahrscheinlichkeiten   durch Ausdrücke der Form   .)

Unendliche VektorenBearbeiten

Der Fall unendlicher Vektoren mit diskretem Index wird genauso behandelt wie ein endlicher Vektor, mit der Ausnahme dass die Summe über alle (unendlich viele) Basiselemente ausgedehnt wird. Folglich ist

 

äquivalent zu

 ,

wobei in der obenstehenden Summe alle Komponenten von   berücksichtigt sind. Die Interpretation der Komponenten ist die gleiche wie im endlichen Fall (der Messvorgang wird ebenso wie für Vektoren aus einem endlichdimensionalen Hilbertraum interpretiert: vergleiche Kollaps der Wellenfunktion).

Stetig indizierte Vektoren (Funktionen)Bearbeiten

Falls der Index nicht diskret, sondern stetig ist, wird die Summe durch ein Integral ersetzt; ein Beispiel dafür ist die örtliche Darstellung der Wellenfunktion eines Teilchens in einer Dimension, welche den (abstrakten) Zustand des Teilchens   in einer speziellen Ortsbasis   darstellt:

 .

Dabei ist der Zustandsvektor   nicht zu verwechseln mit seiner „Komponenten-Darstellung“   im Ortsraum. Der erstere Ausdruck bezeichnet den Zustand des Teilchens abstrakt, und ohne Bezug auf eine spezielle Basisdarstellung, während der letztere die Wellenfunktion im Ortsraum bezeichnet, welche als Superposition der Basiszustände mit definierten Positionen interpretiert wird. Die Basiszustände können auch als Integral

 

formuliert werden. Damit kann eine zu   gehörende Wellenfunktion im Ortsraum auch als Delta-Distribution   geschrieben werden. Man beachte, dass letztere jedoch nicht als gewöhnliche Wellenfunktion im Hilbertraum der quadratintegrablen Funktionen enthalten ist.

FormalismusBearbeiten

Bei einem gegebenen isolierten physikalischen System sind die erlaubten Zustände (also die Zustände, die das System einnehmen kann, ohne die Gesetze der Physik zu verletzen) eine Teilmenge eines Vektorraums H, des Hilbert-Raums. Konkret ist diese Teilmenge die Menge aller Vektoren mit der Länge 1, also die Einheitskugel um den Ursprung. Dies folgt aus der Tatsache, dass alle physikalisch erlaubten Zustände normiert sind. Daraus folgt:

  • Wenn   und   zwei erlaubte Zustände sind, dann ist   ebenfalls ein erlaubter Zustand genau dann wenn   gilt (Normierung).
  • Wegen der Normierung kann für den Vektorraum H stets eine Orthonormalbasis aus physikalisch erlaubten Zuständen gefunden werden.

In diesem Zusammenhang kann die Wellenfunktion eines bestimmten Zustands als Entwicklung des Zustandes auf einer Basis des Vektorraums   betrachtet werden. Zum Beispiel ist

 

eine Basis des Raums, der ein Teilchen mit Spin 1/2 beschreibt, und daraus folgt, dass der Spinzustand eines solchen Teilchens durch

  eindeutig beschrieben wird.

Es ist üblich,   mit einem inneren Produkt (Skalarprodukt) zu versehen, wobei die Art des inneren Produkts von der verwendeten Basis abhängt. Wenn es abzählbar viele Basiselemente  , welche alle zu   gehören, gibt, dann ist   mit dem eindeutigen inneren Produkt, welches diese Basis orthonormal macht, versehen, z. B.:

 

Wenn das geschehen ist, ist das innere Produkt von   mit der Entwicklung eines beliebigen Vektors

 .

Der Koeffizient   der Entwicklung des Zustandes   in die Basis   ergibt sich also durch Projektion auf den Basisvektor  .

Wenn die Eigenwerte ein Kontinuum bilden, was zum Beispiel bei der Orts- oder Koordinatenbasis der Fall ist, lässt sich aus den entsprechenden Eigenzuständen kein Hilbertraum aufbauen, da diese Eigenzustände nicht quadratintegrabel sind. Durch Verwendung der Dirac'schen Delta-Distribution lässt sich jedoch für diese Basiszustände eine verallgemeinerte Orthonormalisierungsbedingung formulieren. Derartige Basen werden auch als uneigentliche Basen bezeichnet. Ein Beispiel dafür ist die oben erwähnte Entwicklung der räumlichen Wellenfunktion eines Teilchens in Zustände   mit bestimmter Position  , mit der Dirac-Normalisierung

 

so dass die analoge Identität

 

erfüllt ist.

Siehe auchBearbeiten

WeblinksBearbeiten