Satz von Plancherel

mathematischer Satz

Der Satz von Plancherel (nach Michel Plancherel, der ihn 1910 bewies) ist eine Aussage aus dem mathematischen Teilgebiet der Fourier-Analysis, das zur Funktionalanalysis gehört. Er besagt, dass die Fourier-Transformation auf dem Raum der quadratintegrierbaren Funktionen eine Isometrie ist, also dass eine Funktion und ihre Fourier-Transformierte die gleiche -Norm haben.

AussageBearbeiten

Es existiert eine Isometrie  , die unitär und eindeutig bestimmt ist durch

 

für alle  , wobei

BemerkungenBearbeiten

  1. Die Gleichheit   gilt nicht nur für  , sondern auch für  , da   sowohl in   als auch in   dicht liegt. Da   auf   und die Fourier-Transformation   auf   definiert ist, kann man   als Fortsetzung der Fourier-Transformation auf   verstehen. Diese Fortsetzung wird ebenfalls wieder Fourier-Transformation oder seltener Fourier-Plancherel-Transformation genannt.
  2. Der Satz von Parseval ist das Analogon des Satzes von Plancherel für Fourier-Reihen. Jedoch hängen die Sätze nicht direkt zusammen, da bei der kontinuierlichen Fourier-Transformation kein Orthogonalsystem (sondern zumindest für Hilberträume sog. "Frames") zugrunde liegt.

Siehe auchBearbeiten

LiteraturBearbeiten

  • Walter Rudin: Functional Analysis. McGraw-Hill, New York 1991, S. 188–189, ISBN 0070542368

WeblinksBearbeiten