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In der Physik beschreibt die Dispersionsrelation den Zusammenhang zwischen dem Ablauf eines physikalischen Prozesses (Frequenz, Energie) und den Eigenschaften der ihn beschreibenden Größen (Wellenzahl, Brechungsindex, Ausbreitungsgeschwindigkeit, Impuls).

Mathematisch ist die Dispersionsrelation die Beziehung zwischen der Kreisfrequenz und der Kreiswellenzahl . Sie wird aus der linearen Wellengleichung durch eine Fouriertransformation in Raum und Zeit gewonnen und hat die Form

.

Im einfachsten Fall sind Kreisfrequenz und Kreiswellenzahl stets proportional

,

mit der konstanten Phasengeschwindigkeit . In diesem Fall gibt es keine Dispersion.

Die Geschwindigkeit eines Wellenpakets ist dagegen die Gruppengeschwindigkeit

Ein Wellenpaket besteht aus Wellen verschiedener Frequenzen, die unterschiedliche Phasengeschwindigkeiten haben können. Daher läuft ein Wellenpaket im Allgemeinen auseinander. Wellenpakete, die aufgrund nichtlinearer Effekte trotz Dispersion nicht auseinanderlaufen, werden als Solitonen bezeichnet.

Inhaltsverzeichnis

OptikBearbeiten

 
Bandstruktur eines eindimensionalen photonischen Kristalls. Die Dispersionsrelation   lässt sich direkt an der Steigung der Bänder ablesen

In der Dispersionsrelation der Optik taucht der (komplexe) Brechungsindex   als Funktion der Kreisfrequenz auf:

 

mit

TeilchenphysikBearbeiten

Da die Frequenz immer in Zusammenhang mit der Energie steht

 

und die Wellenzahl (bzw. der Wellenvektor) mit dem Impuls  

 

bezeichnet man die Energie-Impuls-Beziehungen der Teilchenphysik auch als Dispersionsrelation (oder Dispersionsbeziehung), z. B. bei freien Elektronen im nicht-relativistischen Grenzfall:

 

wobei   das reduzierte plancksche Wirkungsquantum und   die Masse des Teilchens bezeichnet.

FestkörperphysikBearbeiten

In der Festkörperphysik wird die Dispersion als Zusammenhang zwischen Energie bzw. Kreisfrequenz und Wellenzahl eines Teilchens oder Quasiteilchens angegeben. In Festkörpern wird dabei einerseits den Phononen (Gitterschwingungen des Atomgitters) eine Phononen-Dispersionsrelation zugeordnet, andererseits kann den Elektronen eine Elektronen-Dispersionsrelation zugeordnet werden, die mit Hilfe der Bandstruktur beschrieben wird.

LiteraturBearbeiten

  • Dieter Meschede: Optik, Licht und Laser. Springer-Verlag, 2015, ISBN 3-663-10954-2, S. 29 f.