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Bewegungsgleichung

Gleichung, die die Entwicklung eines mechanischen Systems bei äußeren Einflüssen beschreibt

Unter einer Bewegungsgleichung versteht man eine mathematische Gleichung (oder auch ein Gleichungssystem), die die räumliche und zeitliche Entwicklung eines mechanischen Systems unter Einwirkung äußerer Einflüsse vollständig beschreibt. In der Regel handelt es sich um Systeme von Differentialgleichungen zweiter Ordnung.

Diese Differentialgleichungen sind für viele Systeme nicht analytisch lösbar, sodass man bei der Lösung geeignete Näherungsverfahren anwenden muss.

PrinzipienBearbeiten

Zum Aufstellen von Bewegungsgleichungen in der klassischen Physik wird

verwendet. Darauf basierend ergibt sich die Bewegungsgleichung der Quantenmechanik, die Schrödingergleichung.

In der Technischen Mechanik werden

verwendet.

LösungBearbeiten

Die Lösung der Bewegungsgleichung ist die Trajektorie, auf der sich das System bewegt. Sie ist, abgesehen von einigen einfachen Fällen (siehe Beispiele unten), meist nicht in analytisch geschlossener Form darstellbar und muss über numerische Methoden gewonnen werden. Dies ist z. B. zur Ermittlung der Trajektorien dreier Himmelskörper, die sich gegenseitig gravitativ anziehen, erforderlich (siehe Dreikörperproblem). Zur Lösung eines N-Teilchensystems lässt sich die discrete element method anwenden. In einfachen Fällen wird die geschlossene Lösung als „Bahngleichung“ bezeichnet.

BeispieleBearbeiten

Eine allgemeine Form der Bewegungsgleichung in der klassischen Physik lautet beispielsweise

 .

Oder bekannter:

 

Auf der linken Seite steht der Trägheitsterm für das Teilchen der Masse  , auf der rechten Seite werden alle auf das Teilchen wirkenden Kräfte   aufsummiert.

Bewegungsgleichung eines kräftefreien MasseteilchensBearbeiten

Die Bewegungsgleichung lautet in diesem Fall

 

mit:

  •   : Kraft auf Teilchen (= 0),
  •  : Masse des Teilchens, und
  •  : (zeitabhängiger) Ort des Teilchens

Die Bahn erhält man durch zweimaliges Integrieren der Differentialgleichung:

 

mit den Integrationskonstanten:

  •  : Geschwindigkeit des Teilchens zu  ,
  •  : Ort des Teilchens zu  

Das Teilchen bewegt sich also geradlinig mit konstanter Geschwindigkeit. Die Masse   spielt keine Rolle.

Bewegungsgleichung eines Teilchens unter Einfluss einer konstanten KraftBearbeiten

Ein Körper der Masse   sei der Schwerkraft   ausgesetzt:

 .

Die Bahngleichung lautet

 

und stellt den ballistischen Parabelwurf dar. Für   erhält man den freien Fall. Im Fall der Schwerkraft spielt die Masse   des Körpers also keine Rolle.

Bewegungsgleichung der Speziellen RelativitätstheorieBearbeiten

In der speziellen Relativitätstheorie wird die Viererkraft definiert als die Ableitung des relativistischen Impulses p nach der Eigenzeit  , mit

 ,

wobei zwischen Eigenzeit und der Zeit t der Zusammenhang

 

gilt und   den Lorentzfaktor bezeichnet.

Aus dieser Bewegungsgleichung folgt, dass zwischen den klassischen Größen der räumlichen Kraft   und Beschleunigung   zwar ein linearer Zusammenhang besteht, aber keine einfache Proportionalität mehr: Für Anteile von   parallel zur Bewegungsrichtung gilt  , für senkrechte Anteile hingegen  .[1]

Bewegungsgleichung der Allgemeinen RelativitätstheorieBearbeiten

Die Bewegung eines Körpers wird durch die Geodätengleichung der gekrümmten Raumzeit beschrieben, sofern nur gravitative Kräfte auf ihn einwirken. Dann bewegt sich der Körper entlang einer Geodäten der Raumzeit. Die Geodätengleichung lautet

 

wobei   ein Christoffelsymbol 2. Art ist, welches die Abhängigkeit des metrischen Tensors vom Raumzeitpunkt (Ereignis), d. h. der Krümmung der Raumzeit, charakterisiert.

Bewegungsgleichung in der StrukturdynamikBearbeiten

In der Strukturdynamik ist die Bewegungsgleichung eines dynamisch belasteten Tragwerks die Grundlage der Berechnung:

 

Hierbei ist   der Lastvektor des Systems.   und   sind die Masse-, Dämpfungs- und Steifigkeitsmatrizen des Tragwerks. Der Vektor   enthält die Verschiebungsgrößen. Die matrizielle Aufbereitung entsprechend den Freiheitsgraden einer Struktur eignet sich sehr gut für eine Computerberechnung, zum Beispiel nach der Finite-Elemente-Methode.

Quantenmechanisches KastenpotentialBearbeiten

 
Eindimensionaler Quantentopf der Länge L mit unendlich hohen Wänden. Es sind nur diskrete Energieeigenwerte En erlaubt (hier sind lediglich die untersten vier Niveaus E1 bis E4 dargestellt).

In der Quantenmechanik tritt die Schrödingergleichung als Bewegungsgleichung auf. Für das einfache Problem des Teilchens im eindimensionalen Kastenpotential der Länge   mit unendlich hohen Wänden lautet die zeitunabhängige Schrödingergleichung:

 

mit

  •  : Wellenfunktion des Teilchens
  •  : Kastenpotential  .

Die Energieeigenwerte   sowie die zugehörigen Eigenfunktionen  ,  , lauten:

  •  

.

  •  

EinzelnachweiseBearbeiten

  1. Albert Einstein: Zur Elektrodynamik bewegter Körper, in: Annalen der Physik, 322 (10), S. 919, 1905 Online 1, Online 2