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Die Wellengleichung, auch d’Alembert-Gleichung nach Jean-Baptiste le Rond d’Alembert, bestimmt die Ausbreitung von Wellen wie etwa Schall oder Licht. Sie zählt zu den hyperbolischen Differentialgleichungen.

Wenn das Medium oder Vakuum die Welle nur durchleitet und nicht selbst Wellen erzeugt, handelt es sich genauer um die homogene Wellengleichung, die lineare partielle Differentialgleichung zweiter Ordnung

für eine reelle Funktion der Raumzeit. Hierbei ist die Dimension des Raumes. Der Parameter ist die Ausbreitungsgeschwindigkeit der Welle, also bei Schall (im homogenen und isotropen Medium) die Schallgeschwindigkeit und bei Licht die Lichtgeschwindigkeit.

Der Differentialoperator der Wellengleichung wird d’Alembert-Operator genannt und mit dem Formelzeichen notiert.

,

Die Lösungen der Wellengleichung heißen Wellen. Weil die Gleichung linear ist, überlagern sich Wellen, ohne sich gegenseitig zu beeinflussen. Da die Koeffizienten der Wellengleichung nicht vom Ort oder der Zeit abhängen, verhalten sich Wellen unabhängig davon, wo oder wann und in welche Richtung man sie anregt. Verschobene, verspätete oder gedrehte Wellen sind ebenfalls Lösungen der Wellengleichung.

Unter der inhomogenen Wellengleichung versteht man die linear inhomogene partielle Differentialgleichung

Sie beschreibt die zeitliche Entwicklung von Wellen in einem Medium, das selbst Wellen erzeugt. Die Inhomogenität heißt auch Quelle der Welle .

Inhaltsverzeichnis

Die Wellengleichung in einer räumlichen DimensionBearbeiten

Der d’Alembert-Operator in einer räumlichen Dimension

 

zerfällt aufgrund des Satzes von Schwarz wie in der binomischen Formel   in das Produkt

 .

Daher hat die Wellengleichung in einer räumlichen Dimension die allgemeine Lösung

 

mit beliebigen zweifach differenzierbaren Funktionen   und  . Der erste Summand   ist eine nach links und der zweite Summand   eine nach rechts mit unveränderter Form laufende Welle. Die Geraden   sind die Charakteristiken der Wellengleichung.

Seien

 

der anfängliche Wert und

 

die anfängliche Zeitableitung der Welle. Diese Funktionen des Raumes heißen zusammenfassend Anfangswerte der Welle.

Die Integration der letzten Gleichung ergibt

 

Durch Auflösen erhält man

 
 

Ausgedrückt durch ihre Anfangswerte lautet daher die Lösung der Wellengleichung

 

Das ist auch als d’Alembert-Lösung der Wellengleichung bekannt (d'Alembert, 1740er Jahre).[1]

Die Wellengleichung in drei räumlichen DimensionenBearbeiten

Die allgemeine Lösung der Wellengleichung lässt sich als Linearkombination von ebenen Wellen

 

schreiben. Die Delta-Distribution trägt dafür sorge, dass die Dispersionsrelation   gewahrt bleibt. Solch eine ebene Welle bewegt sich in Richtung von  . Bei der Superposition solcher Lösungen ist allerdings nicht offensichtlich, wie ihre Anfangswerte mit der späteren Lösung zusammenhängen.

In drei Raumdimensionen lässt sich die allgemeine Lösung der homogenen Wellengleichung durch Mittelwerte der Anfangswerte darstellen. Sei die Funktion   und ihre Zeitableitung zur Anfangszeit   durch Funktionen   und   gegeben,

 

dann ist die Linearkombination von Mittelwerten

 

die zugehörige Lösung der homogenen Wellengleichung. Dabei bezeichnet

 

den Mittelwert der Funktion   gemittelt über eine Kugelschale um den Punkt   mit Radius   Insbesondere ist  

Wie diese Darstellung der Lösung durch die Anfangswerte zeigt, hängt die Lösung stetig von den Anfangswerten ab und hängt zur Zeit   am Ort   nur von den Anfangswerten an den Orten   ab, von denen man   in der Laufzeit   mit Geschwindigkeit   erreichen kann. Sie genügt damit dem Huygensschen Prinzip.

Für eindimensionale Systeme und in geraden Raumdimensionen gilt dieses Prinzip nicht. Dort hängen die Lösungen zur Zeit   auch von Anfangswerten an näheren Punkten   ab, von denen aus man   mit geringerer Geschwindigkeit erreicht.

Die Lösung der inhomogenen Wellengleichung in drei Raumdimensionen

 

hängt am Ort   zur Zeit   nur von der Inhomogenität auf dem Rückwärtslichtkegel von   ab, zu negativen Zeiten nur von der Inhomogenität auf dem Vorwärtslichtkegel. Die Inhomogenität und die Anfangswerte wirken sich auf die Lösung mit Lichtgeschwindigkeit aus.

Retardiertes PotentialBearbeiten

Das retardierte Potential

 

ist eine Lösung der inhomogenen Wellengleichung, die voraussetzt, dass die Inhomogenität   auf allen Rückwärtslichtkegeln schneller als   abfällt. Es ist die Welle, die vollständig vom Medium erzeugt ist ohne eine durchlaufende Welle.

In der Elektrodynamik schränkt die Kontinuitätsgleichung die Inhomogenität ein. So kann die Ladungsdichte einer nichtverschwindenden Gesamtladung zu keiner Zeit überall verschwinden. In der Störungstheorie treten Inhomogenitäten auf, die räumlich nicht genügend schnell abfallen. Dann divergiert das zugehörige retardierte Integral und hat eine sogenannte Infrarotdivergenz.

Die etwas aufwendigere Darstellung der Lösung durch ihre Anfangswerte zu endlicher Zeit und durch Integrale über endliche Abschnitte des Lichtkegels ist frei von solchen Infrarotdivergenzen.

Lorentzinvarianz des d’Alembert-OperatorsBearbeiten

Der d’Alembert-Operator   ist invariant unter Translationen und Lorentztransformationen   in dem Sinne, dass er angewendet auf Lorentzverkettete Funktionen   dasselbe ergibt, wie die lorentzverkettete abgeleitete Funktion

 

Entsprechend ist der Laplace-Operator invariant unter Translationen und Drehungen.

Die homogene Wellengleichung ist sogar unter konformen Transformationen, insbesondere unter Streckungen invariant.

Siehe auchBearbeiten

LiteraturBearbeiten

WeblinksBearbeiten

EinzelnachweiseBearbeiten