Kubische Funktion

In der Mathematik versteht man unter einer kubischen Funktion eine ganzrationale Funktion 3. Grades, also eine Funktion auf den reellen Zahlen, die in der Form

Graph einer kubischen Funktion; die Nullstellen (y=0) sind dort, wo der Graph die x-Achse schneidet. Der Graph hat zwei Extrempunkte.
Graph der kubischen Funktion f(x)=1-x+x²+x³
Die drei Wurzeln der kubischen Funktion f(x)=1-x+x²+x³ in der Gaußschen Zahlenebene

mit und geschrieben werden kann.

Kubische Funktionen können als reelle Polynomfunktionen von Polynomen über aufgefasst werden.

EigenschaftenBearbeiten

Verhalten im UnendlichenBearbeiten

Wie bei allen ganzrationalen Funktionen von ungeradem Grad gilt

 ,  ,

falls der führende Koeffizient   positiv ist, und

 ,  ,

falls   negativ ist.

NullstellenBearbeiten

Da eine kubische Funktion als Polynomfunktion stetig ist, folgt aus dem Verhalten im Unendlichen und dem Zwischenwertsatz, dass sie stets mindestens eine reelle Nullstelle hat. Andererseits kann eine ganzrationale Funktion vom Grad   nicht mehr als   Nullstellen besitzen. Somit folgt: Eine kubische Funktion hat in   mindestens eine und maximal drei Nullstellen.

Zum Auffinden der Nullstellen einer kubischen Funktion siehe Kubische Gleichung und Cardanische Formeln. Die Diskriminante der allgemeinen kubischen Funktion   lautet

 

und eignet sich zur Nullstellenklassifikation des Polynoms: Im Fall   existieren drei verschiedene reelle Nullstellen, im Fall   nur eine. Gilt  , so gibt es entweder eine einfache und eine doppelte reelle Nullstelle oder es gibt eine dreifache reelle Nullstelle.

Das numerische Auffinden der Nullstellen ist beispielsweise mit dem Newton-Verfahren möglich.

Monotonie und lokale ExtremaBearbeiten

Als Polynomfunktion ist   beliebig oft differenzierbar; für ihre 1. Ableitung   ergibt sich die quadratische Funktion

 .

Ist deren Diskriminante   positiv, d. h. es gilt  , so besitzt   genau ein lokales Maximum und genau ein lokales Minimum. Anderenfalls ist   streng monoton, und zwar streng monoton wachsend für   und streng monoton fallend für  .

Wendepunkt und SymmetrieBearbeiten

Jede kubische Funktion   besitzt genau einen Wendepunkt  . Die Wendestelle

 

ist die eindeutig bestimmte Nullstelle der 2. Ableitung  .

Der Funktionsgraph von   ist punktsymmetrisch zu seinem Wendepunkt.

NormalformBearbeiten

Durch Verschiebung und Umskalierung lässt sich jede kubische Funktion   in die Form

 

mit   bringen.

Man erhält also genau drei mögliche Fälle dieser Normalform.:

  1.  : Der Graph von   besitzt zwei Extrempunkte.
  2.  : Die Extrempunkte fallen zu genau einem Sattelpunkt zusammen.
  3.  : Der Graph von   besitzt weder Extrema noch Sattelpunkt, da die Ableitung jetzt auf dem gesamten Definitionsbereich positiv ist.

Da die Transformation auf Normalform die Existenz der Extrema nicht verändert, gilt diese Charakterisierung auch für die ursprüngliche Funktion  . Der Koeffizient   ist das entgegengesetzte Vorzeichen der Diskriminante der Ableitung der ursprünglichen Funktion  .

Kubische ParabelBearbeiten

Als kubische Parabeln bezeichnet man die Funktionsgraphen von kubischen Funktionen und diejenigen Kurven in der Ebene, die aus diesen durch Drehungen hervorgehen. Da bei der geometrischen Betrachtung der Kurve eine Translation irrelevant ist, braucht man nur kubische Polynome mit   analytisch zu untersuchen.

Kubisches PolynomBearbeiten

Sei   ein beliebiger Ring. Als kubische Polynome über   bezeichnet man Ausdrücke der Form

 

mit   und  . Formal handelt es sich um Elemente des Polynomringes vom Grad 3, sie definieren Abbildungen von   nach  . Im Fall   handelt es sich im obigen Sinne um kubische Funktionen.

Falls   ein algebraisch abgeschlossener Körper ist, zerfällt jedes kubische Polynom als Produkt dreier Linearfaktoren.

Allgemeiner sind kubische Polynome in   Variablen Ausdrücke der Form

 ,

wobei nicht alle   Null sein sollen. Diese Polynome definieren Abbildungen von   nach  . Ihre Nullstellenmengen im   werden für   als kubische Kurven (falls die Kurve keine Singularitäten hat, als elliptische Kurven) und für   als kubische Flächen bezeichnet.

Siehe auchBearbeiten