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Cardanische Formeln

Die cardanischen Formeln sind Formeln zur Lösung reduzierter kubischer Gleichungen.

Die cardanischen Formeln sind Formeln zur Lösung reduzierter kubischer Gleichungen (Gleichungen 3. Grades). Damit werden alle Nullstellen eines gegebenen kubischen Polynoms berechnet. Die Formeln wurden, zusammen mit Lösungsformeln für quartische Gleichungen (Gleichungen 4. Grades), erstmals 1545 von dem Mathematiker Gerolamo Cardano in seinem Buch Ars magna veröffentlicht. Entdeckt wurde die Lösungsformel für die reduzierten kubischen Gleichungen von Nicolo Tartaglia; laut Cardano sogar noch früher durch Scipione del Ferro. Von Cardano selbst stammt die Methode zur Reduzierung der allgemeinen Gleichung dritten Grades auf diesen Spezialfall.

Die cardanischen Formeln waren eine wichtige Motivation für die Einführung der komplexen Zahlen, da man im Fall des casus irreducibilis (lat. für „nicht zurückführbarer Fall“) durch das Ziehen einer Quadratwurzel aus einer negativen Zahl zu reellen Lösungen gelangen kann. Diesen Fall zu lösen schaffte erst Franciscus Vieta um 1600 mittels der Trigonometrie.

Die cardanischen Formeln besitzen heute für eine rein numerische, d. h. angenäherte Lösung kubischer Gleichungen kaum noch eine praktische Bedeutung, da sich die Lösungen näherungsweise bequemer durch das Newton-Verfahren mittels elektronischer Rechner bestimmen lassen. Sie sind dagegen für eine exakte Berechnung der Lösungen in Radikalen von erheblicher Bedeutung. Der Nachweis, dass es keine entsprechenden Formeln für Gleichungen fünften und höheren Grades geben kann, hat allerdings die Entwicklung der Algebra entscheidend beeinflusst (siehe Galoistheorie).

Inhaltsverzeichnis

Reduzierung der allgemeinen Gleichung dritten GradesBearbeiten

Die allgemeine Gleichung dritten Grades

 

mit reellen Zahlen  ,  ,  ,   und   kann durch Division durch   zunächst in die Normalform

 

gebracht werden mit  ,   und  .

Mit Hilfe der Substitution   wird in der Normalform das quadratische Glied beseitigt, und man erhält die reduzierte Form:

 

wobei

      und      

Die reduzierte Form wird nun mit Hilfe der Cardanischen Formel aufgelöst und anschließend durch Rücksubstitution   die Lösungen der ursprünglichen Gleichung bestimmt.

Die Cardanische Formel zur Auflösung der reduzierten Form z³ + pz + q = 0Bearbeiten

Im Unterschied zur Quadratischen Gleichung ist es bei der kubischen Gleichung erforderlich, komplexe Zahlen zu betrachten, und zwar auch dann, wenn alle drei Lösungen reell sind.

Die drei Lösungen ergeben sich durch die Substitution  : Dann ist   und Koeffizientenvergleich liefert:   und  .

Es ergibt sich also das Gleichungssystem   und  . Nach dem Satz von Vieta sind   und   Lösungen der quadratischen Resolvente  . Also erhält man   und  , wobei

 

die Diskriminante der reduzierten Form ist. Zur Herleitung dieser siehe unten. Die beiden komplexen dritten Wurzeln   und   müssen dabei so gewählt werden, dass die Nebenbedingung   erfüllt ist (dadurch gibt es statt neun nur drei Paare  ).

Die beiden anderen dritten Wurzeln ergeben sich dann jeweils durch Multiplikation mit den beiden primitiven dritten Einheitswurzeln

    und    .

Wegen der Nebenbedingung ergeben sich die drei Lösungen der reduzierten Form zu

 
 
Zusammenhang zwischen Vorzeichen der Diskriminante und der Anzahl der Nullstellen

Das Lösungsverhalten hängt entscheidend vom Vorzeichen der Diskriminante ab:

  •  : Es gibt genau eine reelle Lösung und zwei echt komplexe Lösungen (Grafik: Fall B).
  •  : Es gibt entweder eine doppelte reelle Lösung und eine einfache reelle Lösung (Fall C) oder eine dreifache reelle Lösung (Fall A).
  •  : Es gibt drei unterschiedliche reelle Lösungen (Fall D).

Im Fall   gibt es für den Verlauf des zugehörigen Graphen zwei Möglichkeiten: entweder (Fall B) oder streng monoton wachsend (nicht im Bild dargestellt).

Δ > 0Bearbeiten

Man wählt für   und   jeweils die reellen Wurzeln. Es gibt genau eine reelle und zwei konjugiert komplexe Lösungen, die nach den obigen Formeln durch

 

gegeben sind.

Somit erhält man die Lösungen

 

Allerdings ist das Ausziehen der Kubikwurzeln nicht immer so einfach. Cardano führt als Beispiel an:  . Hierbei wählen wir   und   reell. Somit ergibt sich   und  . Für die Techniken zum Ausziehen von verschachtelten Wurzeln sei auf die Fachliteratur verwiesen.

Δ = p = 0Bearbeiten

(Dann ist auch  .)
In diesem Fall ist   die einzige (dreifache) Lösung, und es gilt:

 

Δ = 0 und p ≠ 0Bearbeiten

(Dann ist auch  .)
In diesem Fall wählt man   reell. Nach den obigen Formeln gibt es dann eine einfache reelle Lösung

 ,

und eine doppelte reelle Lösung

 .

Somit erhält man die Lösungen

 

Δ < 0 (casus irreducibilis)Bearbeiten

Man wählt   und   jeweils konjugiert komplex zueinander, so ergeben sich dann durch   drei unterschiedliche reelle Lösungen.

Bei der Bestimmung von   müssen jedoch dritte Wurzeln aus echt komplexen Zahlen (z. B. mit Hilfe des Satzes von de Moivre) berechnet werden. Deshalb wird dieser Fall casus irreducibilis genannt. Mithilfe der trigonometrischen Funktionen können die Lösungen jedoch auch reell berechnet werden: Nach den Additionstheoremen gilt für alle α die Beziehung

 

Schreibt man

 

mit Hilfe des Ansatzes   um, ergibt sich

 

Setzt man hierin   ein, dann entsteht

 

Dabei wurde    gewählt, so dass der Klammerausdruck in (2) verschwindet. Es ergibt sich

 

mit ganzen Zahlen  .

Einsetzen in   liefert mit   und   die folgenden drei Lösungen:

 

Die Gleichung   hat also die folgenden drei Lösungen:

 

Herleitung der Diskriminante über die DifferenzialrechnungBearbeiten

 
Zusammenhang zwischen Vorzeichen der Diskriminante und der Anzahl der Nullstellen

Dazu muss man in die Differenzialrechnung überleiten. Wie in der Graphik zu erkennen ist, kann die Gleichung nur dann genau eine reelle Lösung und zwei echt komplexe Lösungen besitzen, wenn beide Extremstellen oberhalb oder unterhalb der  -Achse liegen oder keine Extremstellen existieren, im Falle drei verschiedener reeller Lösungen befindet sich der Hochpunkt (Extremstelle: Maximum) oberhalb und der Tiefpunkt (Extremstelle: Minimum) unterhalb der  -Achse und im Falle mehrfacher reeller Nullstellen befinden sich Extremstellen auf der  -Achse. Diese sind im Falle einer doppelten Nullstelle Hoch- bzw. Tiefpunkte und im Falle einer dreifachen Nullstelle Sattelpunkte.

Extremstellen besitzen die Eigenschaft, dass dort die Funktion weder steigt noch fällt, sondern ihre Steigung genau null ist. Die Steigung einer Funktion   im Punkt   ergibt sich aus der Gleichung:

    (mit  )

  meint die erste Ableitungsfunktion.
  beschreibt die zweite Ableitungsfunktion.   gilt genau dann, wenn ein Wendepunkt vorliegt.
Im Falle   liegt ein Sattelpunkt vor.

Schreiben wir   als Funktion  , so sieht diese wie folgt aus:

 

Deren erste und zweite Ableitung sind:

  und
 .

Löst man die beiden Differenzialgleichungen:

Extremstellen:   und
Wendepunkte:  ,

so erhält man:

  und
 .

Deren Funktionswerte sind:

 

und  .

Die erste Lösung lässt sich folgendermaßen umformen:

 
 
 
 

In Fall (2) und (3) darf man nicht problemlos quadrieren, da sich nach der Quadrierung das Relationszeichen gemäß der Inversionsregel umkehren kann.   wiederum kann positiv oder negativ sein, sodass man mit Hilfe von   („Betrag von q“) vorgehen soll. Insgesamt sind vier Teilfälle zu unterscheiden. In den Teilfällen (a) und (b) ist jeweils die linke Seite positiv, in den Teilfällen (c) und (d) ist jeweils die linke Seite negativ.

Zuerst der Fall (2):

Linke Seite > 0, q > 0
 
Linke Seite > 0, q ≤ 0
  ist eine falsche Aussage  
Linke Seite ≤ 0, q > 0
  ist immer wahr  
Linke Seite ≤ 0, q ≤ 0
 

Der Fall (3) führt zu analogen Ergebnissen, nur in veränderter Reihenfolge.

Aus der Umformulierung der Gleichungen (erst Division durch 4, danach bringt man den linken Ausdruck mit   auf die rechte Seite) ergibt sich:

 
 
 
 

Komplexe KoeffizientenBearbeiten

Das Vorgehen ist für komplexe Koeffizienten weitgehend analog, es gibt aber nur zwei Fälle:

  •  : Dies ist auch im Komplexen das Kriterium für mehrfache Nullstellen. Die oben für diesen Fall angegebenen Formeln gelten unverändert.
  •  : Die oben für den Fall   angegebenen Formeln gelten analog; die beiden dritten Wurzeln sind dabei so zu wählen, dass ihr Produkt   ergibt. Das Ausziehen der komplexen dritten Wurzeln auf trigonometrische Weise führt zu einem Lösungsweg, der dem für den Fall  , dem casus irreducibilis, angegebenen entspricht. Dabei ist der Winkel   an die komplexen Radikanden   anzupassen.

LiteraturBearbeiten

Siehe auchBearbeiten

WeblinksBearbeiten