Ein Vierzehneck oder Tetradekagon ist ein Polygon mit 14 Seiten und 14 Ecken. Oft ist dabei ein ebenes, regelmäßiges Vierzehneck gemeint, bei dem alle Seiten gleich lang sind und alle Eckpunkte auf einem gemeinsamen Umkreis liegen.

Ein regelmäßiges Vierzehneck

Regelmäßiges VierzehneckBearbeiten

Das regelmäßige Vierzehneck ist nach Carl Friedrich Gauß und Pierre-Laurent Wantzel kein konstruierbares Polygon, denn seine Seitenanzahl   ist kein Produkt einer Zweierpotenz mit paarweise voneinander verschiedenen Fermatschen Primzahlen.

GrößenBearbeiten

Größen eines regelmäßigen Vierzehnecks
Innenwinkel  

 

Zentriwinkel

(Mittelpunktswinkel)

 
Seitenlänge  
Umkreisradius  
Inkreisradius  
Höhe  
Flächeninhalt mit Seitenlänge  

 

mit Umkreisradius  

 

Mathematische ZusammenhängeBearbeiten

InnenwinkelBearbeiten

Der Innenwinkel   wird von zwei benachbarten Seitenlängen   eingeschlossen.

 .

ZentriwinkelBearbeiten

Der Zentriwinkel oder Mittelpunktswinkel   wird von zwei benachbarten Umkreisradien   eingeschlossen.

 .

SeitenlängeBearbeiten

Die Seitenlänge   errechnet sich

 .

UmkreisradiusBearbeiten

Der Radius   des Umkreises ergibt sich durch Umformen der Formel für die Seitenlänge  .

 .

InkreisradiusBearbeiten

Der Inkreisradius   ist die Höhe eines gleichschenkligen Teildreiecks mit den beiden Schenkeln gleich dem Umkreisradius   und der Grundlinie gleich der Seitenlänge  .

 .

HöheBearbeiten

Die Höhe   eines regelmäßigen Vierzehneckes ergibt sich aus der Summe von zwei Inkreisradien  

 .

FlächeninhaltBearbeiten

Mithilfe der Seitenlänge  

Die Fläche eines regelmäßigen Vierzehnecks mit Seitenlänge   wird durch die Formel gegeben

 .

Mithilfe des Umkreisradius  

Der Flächeninhalt eines Dreiecks berechnet sich allgemein  . Für die Berechnung des Vierzehnecks werden die Ergebnisse der Seitenlänge   und des Inkreisradius   herangezogen, worin   für die Höhe   eingesetzt wird.

 
  daraus folgt für die Fläche eines Teildreiecks
  zusammengefasst ergibt sich
 

und für die Fläche des gesamten Vierzehnecks

 .

Geometrische KonstruktionenBearbeiten

Ein regelmäßiges Vierzehneck kann nicht allein als Konstruktion mit Zirkel und Lineal dargestellt werden; es ist kein konstruierbares Polygon. Nimmt man jedoch zu diesen klassischen (euklidischen) Werkzeugen noch ein zusätzliches Hilfsmittel, wie z. B. einen Tomahawk zur Dreiteilung des Winkels oder ein Lineal mit einer bestimmten Markierung, ist eine exakte Konstruktion möglich. Grundsätzlich kann aus der Konstruktion eines Siebenecks, z. B. durch zusätzliche Halbierung des Zentriwinkel, ein regelmäßiges Vierzehneck gewonnen werden.

Tomahawk als zusätzliches HilfsmittelBearbeiten

Andrew M. Gleason veröffentlichte 1988 in der mathematische Zeitschrift The American Mathematical Monthly zwei elegante Konstruktionen zu den regulären Polygonen Siebeneck und Dreizehneck, die zur Lösung eine Dreiteilung des Winkels benötigen. Das Prinzip der Dreiteilung ist in keinem der beiden Konstruktionen festgelegt.[1]

   
Bild 1: Konstruktion des Vierzehnecks,
eine Abwandlung der Konstruktion des Siebenecks mit Tomahawk.
Animation

Bei gegebenem Umkreis (siehe Bild 1)

Der folgende Konstruktionsplan für das Vierzehneck, ist nahezu gleich dem Original des Siebenecks von Andrew M. Gleason:

Es beginnt im Koordinatenursprung eines kartesischen Koordinatensystems im Punkt   mit einem Kreis mit Radius   Es folgt die Festlegung der Punkte   und  . Anschließend werden die Punkte   und   bestimmt, sie sind Eckpunkte zweier gleichseitiger Dreiecke mit Basis  . Nach dem Verbinden der Punkte   und   mit    in der Original-Zeichnung aus der Zeitschrift The American Mathematical Monthly, siehe Einzelnachweise, ist dieser Punkt zwischen   und  , wird um   ein Kreisbogen von   bis   gezogen. Nun drittelt man den Winkel   mit einer freiwählbaren Methode (z. B. Kurven, Tomahawk etc.), dabei ergeben sich die Punkte   und  . Eine Gerade durch   und   ergibt   und  , die zusammen mit   Eckpunkte eines regelmäßigen Siebenecks sind.

Nun bedarf es noch einer Halbierung des Zentriwinkels   des Siebenecks und man erhält so den zweiten Eckpunkt   des gesuchten Vierzehnecks. Die übrigen Eckpunkte können durch Verwendung des Kreisbogens   nacheinander gefunden werden.

Markiertes Lineal als zusätzliches HilfsmittelBearbeiten

 
Bild 2: Regelmäßiges Vierzehneck, Weiterführung der Neusis-Konstruktion nach David Johnson Leisk (Crockett Johnson), für das Siebeneck Animation siehe

David Johnson Leisk, meist bekannt als Crockett Johnson, veröffentlichte 1975 eine sogenannte Neusis-Konstruktion eines Siebenecks (Heptagon), bei dem die Seitenlänge gegeben ist.[2] Hierfür verwendete er einen Zirkel und ein spezielles Lineal, auf dem eine Markierung angebracht war.

Bei gegebener Seitenlänge (siehe Bild 2)

  • Errichte senkrecht zur Seitenlänge   im Punkt   die Strecke  , sie ist gleich lang wie die Seitenlänge  
  • Verbinde den Punkt   mit   z. B. bei einer Seitenlänge   hat die Diagonale den Wert  
  • Halbiere die Seitenlänge  , es ergibt sich der Punkt  
  • Errichte eine Senkrechte auf die Seitenlänge   im Punkt  
  • Ziehe den Kreisbogen   mit dem Radius   um den Punkt   und durch den Punkt  
  • Setze das mit dem Punkt   markierte Lineal (Abstand Ecke Lineal bis Punkt   entspricht  ) auf die Zeichnung. Drehe und schiebe das Lineal bis dessen Ecke auf der Mittelsenkrechten anliegt, die Markierung Punkt   auf dem Kreisbogen   aufliegt und die Kante des Lineals durch den Punkt   verläuft, es ergibt sich der Punkt  
  • Verbinde den Punkt   mit dem Punkt  , der dadurch entstandene Winkel  , mit   (Theta) bezeichnet, entspricht einem Viertel des Zentriwinkels eines Siebenecks, aufgrund des 2. Strahlensatzes entspricht er auch einer Hälfte des gesuchten Zentriwinkels des Vierzehnecks.
  • Ziehe um den Punkt   einen Kreis durch   es ist der Umkreis des entstehenden Vierzehnecks.
  • Bestimme mit der Seitenlänge   die restlichen zwölf Eckpunkte des Siebenecks und verbinde abschließend die benachbarten Eckpunkte miteinander. Somit entsteht das regelmäßige Vierzehneck  

NäherungskonstruktionBearbeiten

 
Bild 3: Vierzehneck, Näherungskonstruktion mit einer universellen Methode

Bild 3 zeigt ein Vierzehneck in seinem Umkreis, erstellt mit einer universellen Methode.[3][4]

Zuerst wird die Strecke  , später der Durchmesser des gesuchten Vierzehnecks, in   gleichlange Teile mithilfe des Strahlensatzes geteilt (in der Zeichnung nicht dargestellt) oder mittels Aneinanderreihen von   gleichlangen Abständen bestimmt. Es werden entweder die geraden oder die ungeraden Zahlen (Teilungspunkte) auf   markiert. In diesem Beispiel sind die ungeraden Zahlen   und   eingetragen, dadurch liegen z. B. die späteren Eckpunkte   und   nicht in der Nähe des Punktes  . Der Teilungspunkt   entspricht dem Mittelpunkt   des Durchmesser   Nun wird um den Mittelpunkt   und durch   der Umkreis gezogen. Die zwei darauffolgenden Kreisbögen um   bzw.   mit dem Radius   schneiden sich in den Punkten   und   Nach deren Verbindung erhält man die Mittelachse   und als Schnittpunkte die Eckpunkte   und   des entstehenden Vierzehnecks.

Es geht weiter mit dem Festlegen der Eckpunkte auf dem Umkreis. Das Lineal wird an den Punkt   und an die ungerade Zahl   gelegt. Danach am Lineal entlang eine Linie bis zur gegenüberliegenden Hälfte der Umkreislinie gezogen, ergibt den Eckpunkt   Diese Vorgehensweise wiederholt sich beim Bestimmen des Eckpunktes   sowie ausgehend vom Punkt   beim Festlegen der Eckpunkte   und   Es folgt das Verbinden des Eckpunktes   mit  . Somit ist die Strecke   die erste annähernd konstruierte Seitenlänge   des gesuchten Vierzehnecks

Zunächst sind auf der unteren Hälfte des Umkreises die noch fehlenden Eckpunkte in der Reihenfolge       und   durch mehrmaliges Abtragen der Seitenlänge   festzulegen sowie danach die noch fehlenden Eckpunkte in der Reihenfolge       und   auf der oberen Hälfte des Umkreises. Abschließend werden die benachbarten Eckpunkte miteinander verbunden.

Zwei der Seiten dieses Vierzehnecks haben zwar die gleiche Länge, aber eine von den anderen unterschiedliche; es sind dies die Seiten   und   Die übrigen zwölf Seitenlängen sind gleich lang.

Größter und kleinster absoluter Fehler der Seitenlängen bei einem Umkreisradius mit  :

  und  

Die übrigen zwölf Seitenlängen  

Regelmäßige überschlagene VierzehneckeBearbeiten

Ein regelmäßiges überschlagenes Vierzehneck ergibt sich, wenn beim Verbinden der vierzehn Eckpunkte jedes Mal mindestens einer übersprungen wird und die somit erzeugten Sehnen gleich lang sind. Notiert werden solche regelmäßigen Sterne mit Schläfli-Symbolen  , wobei   die Anzahl der Eckpunkte angibt und jeder  -te Punkt verbunden wird.

Es gibt nur zwei regelmäßige Vierzehnstrahlsterne.

Die Sterne mit den Symbolen {14/2} und {14/12} sind regelmäßige Siebenecke, {14/4} und {14/10} sowie {14/6} und {14/8} sind regelmäßige Heptagramme.

LiteraturBearbeiten

WeblinksBearbeiten

Commons: Regelmäßige Vierzehnecke – Sammlung von Bildern, Videos und Audiodateien

EinzelnachweiseBearbeiten

  1. Andrew Gleason: Angle Trisection, the Heptagon, and the Triskaidecagon. In: The American Mathematical Monthly. Band 95, Nr. 3, 1988, S. 185–194, 186 ff., JSTOR:2323624 (math.fau.edu, FIG.1. Construction of a regular heptagon [PDF; 303 kB; abgerufen am 21. Mai 2019]).
  2. Weisstein, Eric W. „Heptagon.“ From MathWorld, A Wolfram Web Resource.
  3. H. August: Zeichnerische Konstruktion eines Elfecks. In: Zeichnerische Konstruktionen: Mehrecke. Abgerufen am 3. Januar 2018.
  4. Peter Eckardt: Siebeneck. In: Sterne und Polygone. Abgerufen am 3. Januar 2018.