Mittelsenkrechte

Begriff aus der Mathematik
(Weitergeleitet von Streckensymmetrale)

Die Mittelsenkrechte oder das Mittellot[1] oder (österreichisch) die Streckensymmetrale[2] ist eine besondere Gerade, die in der ebenen Geometrie untersucht wird. Eine Verallgemeinerung auf drei Dimensionen ist die Mittellotebene.

DefinitionBearbeiten

Die Mittelsenkrechte ist die Menge aller Punkte der Ebene  , die von zwei unterschiedlichen, in dieser gelegenen Punkten denselben Abstand haben:[3]

 

Eine andere Definitionsmöglichkeit lautet: Die Mittelsenkrechte ist die Menge der Mittelpunkte aller Kreise, die durch zwei gegebene Punkte gehen.

Die Mittelsenkrechte ist also eine Gerade, die orthogonal (das heißt senkrecht) auf der Verbindungsstrecke der zwei Punkte steht und durch deren Mittelpunkt geht.

KonstruktionBearbeiten

Man konstruiert eine Mittelsenkrechte zwischen zwei gegebenen Punkten   und  , indem man um diese beiden Punkte mit einem Zirkel Kreisbögen zeichnet mit gleichem Radius, der größer als die halbe Strecke zwischen den beiden Punkten sein muss. Die zwei Schnittpunkte dieser beiden Kreislinien bestimmen eine Gerade. Diese Gerade ist die Mittelsenkrechte der Strecke  .[4]

 
Konstruktion einer Streckensymmetrale

Berechnung im KoordinatensystemBearbeiten

 
Für jede Position der Strecke   (grün) auf der zu ihr rechtwinkligen Geraden   (blau) gilt für die Mittelsenkrechte   (rot) die Geradengleichung  

Sind in einem zweidimensionalen kartesischen Koordinatensystem zwei Punkte   und   gegeben, so lautet die Geradengleichung der Mittelsenkrechten:[5]

 

Beispiel

  (grün) sei die Strecke mit den Endpunkten   und  . Dann ist   und  

Setzt man diese Werte in die obige allgemeine Gleichung ein, so ergibt sich für die Geradengleichung der Mittelsenkrechten:

 

Mittelsenkrechten im DreieckBearbeiten

Die Mittelsenkrechten eines Dreiecks schneiden sich in einem Punkt, nämlich im Umkreismittelpunkt des Dreiecks. Dieser Umkreis geht durch alle Ecken des Dreiecks (siehe dazu auch: Ausgezeichnete Punkte im Dreieck).[6]

Im gleichschenkligen Dreieck kann die Mittelsenkrechte, für den Winkel am Scheitel der beiden gleichen Schenkel, auch die Funktion der Winkelhalbierenden erfüllen. Dies ist insbesondere dann vorteilhaft, wenn der Scheitel nicht innerhalb der Zeichenebene liegt.

 
Mittelsenkrechte im gleichschenkligen Dreieck quasi als Winkelhalbierende; der Scheitel liegt außerhalb der Zeichenebene
 
Dreieck mit Mittelsenkrechten und Umkreis

MittellotebeneBearbeiten

Die Mittellotebene zu zwei unterschiedlichen Punkten   und   im Raum   ist die Menge aller Punkte des Raums, die von   und   denselben Abstand haben:

 

Es handelt sich um die Ebene, die zur Verbindungsstrecke   senkrecht ist und den Mittelpunkt   dieser Strecke enthält, also um die Symmetrieebene der Punkte   und  .

In der analytischen Geometrie erhält man eine Gleichung der Mittellotebene in Normalenform dadurch, dass man den Vektor   als Normalenvektor   und den Punkt   (mit dem Ortsvektor  ) als Aufpunkt verwendet. Das ergibt:

 

Aus der Normalenform kann alternativ eine Koordinatenform der Ebene hergeleitet werden. Bezeichnet man die Ortsvektoren zu   und   mit

  und  ,

so gilt mit   durch Anwendung des Skalarproduktes und der dritten binomischen Formel die Äquivalenz

 

Es fällt auf, dass diese genau das dreidimensionale Analogon der Mittelsenkrechten (Geraden) mit Koordinatengleichung   ist. Ist zum Beispiel

  und  

so folgt für die Mittellotebene

 

und damit auch

 

als Ebenengleichung.

 
Die Mittellotebene (blau) verläuft rechtwinklig zur Strecke   (grün) durch deren Mittelpunkt   (rot)

Siehe auchBearbeiten

LiteraturBearbeiten

  • Rolf Baumann: Geometrie. Mit Übungen und Lösungen. Mentor, München 2002, Kapitel 3.1.
  • Cornelia Niederdrenk-Felgner: Lambacher-Schweizer. Lehrbuch der Mathematik für die 7. Klasse (G9) an Gymnasien (Baden Württemberg). Klett, Stuttgart 1994, ISBN 3-12-731370-5.

WeblinksBearbeiten

Wiktionary: Mittelsenkrechte – Bedeutungserklärungen, Wortherkunft, Synonyme, Übersetzungen

EinzelnachweiseBearbeiten

  1. Dieter Neßelmann: Axiomatische Geometrie. 22. Februar 2010, 5. Ergänzungen, S. 143, Definition 5.5.3 (online [PDF; 6,5 MB; abgerufen am 24. April 2021]).
  2. Karl Strubecker: Vorlesungen über Darstellende Geometrie. In: Studia Mathematica/Mathematische Lehrbücher. Band 12. Vandenhoeck & Ruprecht, Göttingen 1967, II. Parallelprojektion und perspektive Affinität, S. 18 (online [PDF; 12,6 MB; abgerufen am 24. April 2021]).
  3. Stefan Friedl: Elementargeometrie. 2017, 3.5. Die Mittelsenkrechten eines Dreiecks, S. 38–39 (online [PDF; 13,1 MB; abgerufen am 24. April 2021]).
  4. Stefan Friedl: Elementargeometrie. 2017, 3.3. Die Bestimmung des Mittelpunkts einer Strecke mit Zirkel und Lineal, S. 37, Abbildung 44. Konstruktion der Mittelsenkrechte der Strecke   (online [PDF; 13,1 MB; abgerufen am 24. April 2021]).
  5. Johannes Röttgen-Burtscheidt: Das Apollonische Berührproblem. 1. Oktober 2007, 4. Analytische Methoden, S. 80, 1. Die Mittelsenkrechte m zu zwei gegebenen Punkten (online [PDF; 6,9 MB; abgerufen am 24. April 2021]).
  6. Stefan Friedl: Elementargeometrie. 2017, 3.5. Die Mittelsenkrechten eines Dreiecks, S. 40 (online [PDF; 13,1 MB; abgerufen am 24. April 2021]).