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Galoistheorie

Algebraische Teildisziplin

Die Galoistheorie ist ein Teilgebiet der Algebra. In klassischer Sicht beschäftigt sich die Galoistheorie mit den Symmetrien der Nullstellen von Polynomen. Diese Symmetrien können grundsätzlich durch Gruppen von Permutationen, also Untergruppen der symmetrischen Gruppe, beschrieben werden. Évariste Galois entdeckte, dass diese Symmetrien Aussagen über die Lösbarkeit der Gleichung erlauben. In moderner Sicht werden Körpererweiterungen mit Hilfe ihrer Galoisgruppe untersucht.

Die Galoistheorie hat viele Anwendungen bei klassischen Problemen, wie etwa „Welche regelmäßigen Polygone lassen sich mit Zirkel und Lineal konstruieren?“, „Warum kann ein Winkel nicht dreigeteilt werden?“ (wieder nur mit Zirkel und Lineal), „Warum kann zu einem Würfel nicht die Seite eines Würfels mit doppeltem Volumen konstruiert werden?“ und „Warum gibt es keine geschlossene Formel zur Berechnung der Nullstellen von Polynomen fünften oder höheren Grades, die nur mit den vier Grundrechenarten und Wurzelziehen auskommt?“ (Der Satz von Abel-Ruffini).

Klassischer AnsatzBearbeiten

Eine „Symmetrie der Nullstellen von Polynomen“ ist eine Permutation der Nullstellen, so dass jede algebraische Gleichung über diesen Nullstellen auch dann noch gültig ist, nachdem man die Nullstellen mittels der Permutation vertauscht hat. Diese Permutationen bilden eine Gruppe. Abhängig von den Koeffizienten, die in den algebraischen Gleichungen erlaubt sind, ergeben sich unterschiedliche Galoisgruppen.

Galois selbst beschrieb eine Methode, mit der eine einzelne von den Nullstellen erfüllte Gleichung konstruiert werden kann (die sog. Galois-Resolvente), so dass die Galois-Gruppe aus den Symmetrien dieser einen Gleichung besteht.

BeispielBearbeiten

Die Galoisgruppe des Polynoms   soll über dem Körper der rationalen Zahlen bestimmt werden. Durch zweifaches Wurzelziehen ergeben sich – zusammen mit der Beziehung   – die Nullstellen:

 ,
 ,
 ,
 .

Es gibt   Möglichkeiten, diese vier Nullstellen zu permutieren (zu vertauschen):

 
Nr. Permutation Nr. Permutation Nr. Permutation Nr. Permutation
1   7   13   19  
2   8   14   20  
3   9   15   21  
4   10   16   22  
5   11   17   23  
6   12   18   24  

Aber nicht alle diese Permutationen gehören auch zur Galoisgruppe. Dies liegt daran, dass alle algebraischen Gleichungen mit ausschließlich rationalen Koeffizienten, die die Variablen  ,  ,   und   enthalten, auch unter den Permutationen der Galoisgruppe ihre Gültigkeit bewahren müssen. Betrachtet man beispielsweise

 ,

so ist diese Gleichung nicht für alle Vertauschungen der Nullstellen erfüllt. Unter der Permutation, die   und   gleich lässt und   und   vertauscht, entsteht bei der Gleichung eine falsche Aussage, denn   ist ungleich  . Deshalb gehört diese Permutation (Nr. 2) nicht zur Galois-Gruppe. Entsprechendes gilt für die Permutationen Nr. 4, 5, 6, 7, 9, 10, 12, 13, 15, 16, 18, 19, 20, 21, 23 in der Tabelle, denn als Summe von zwei der vier Nullstellen sind lediglich die Gleichungen   und   richtig.

Eine weitere algebraische Gleichung mit rationalen Koeffizienten, die die Nullstellen erfüllen, ist

 .

Deshalb können zusätzlich die Permutationen Nr. 3, 11, 14 und 22 ausgeschlossen werden, denn es ist  ,  ,   und  .

Übrig bleiben die Permutationen Nr. 1, 8, 17 und 24. Da es sich bei dem Polynom   um ein über   irreduzibles Polynom 4. Grades handelt, besteht auch die Galoisgruppe aus vier Elementen. Also bilden diese vier Permutationen die Galoisgruppe des Polynoms  :

 
 
 
 

oder in Zyklenschreibweise:

  (Identität),  ,   und  .

Diese Gruppe ist isomorph zur Kleinschen Vierergruppe.

Alternativ kann die Galoisgruppe auch mit Hilfe eines primitiven Elementes bestimmt werden. Hier liegt ein Spezialfall vor, denn die Nullstelle x1 ist – ebenso wie die Nullstelle x2,x3 oder x4 – bereits solch ein primitives Element. Mit

 ,   und  

erhält man die Gleichungen:

  und  .

Damit lassen sich   und   als Polynom mit der Variablen x1 ersetzen:

  und  .

Somit ergeben sich auch die vier Nullstellen als Polynome p1, p2, p3, p4 mit der Variablen x1:

 ,
 ,
 ,
 .

Im allgemeinen Fall müssen zu dem primitiven Element das zugehörige Minimalpolynom sowie dessen weitere Nullstellen bestimmt werden. Bei diesem Beispiel ist jedoch das Minimalpolynom von x1 das Ausgangspolynom mit den bereits bekannten weiteren Nullstellen x2, x3 und x4. (Zum allgemeinen Vorgehen: siehe Beispiel zum Satz vom primitiven Element.) Ersetzt man nun in den Polynomen p1, ... p4 die Variable x1 durch x2, x3 oder x4, so ergeben sich wiederum die Nullstellen x1,x2,x3,x4 des Ausgangspolynoms, allerdings in einer anderen Reihenfolge. Diese Permutationen der Nullstellen bilden die Galoisgruppe.[1] Einsetzen von x1 liefert die Identität, die übrigen Beziehungen ergeben sich durch Nachrechnen:

 ,
 ,
 ,
 .

{ } ist damit die Galoisgruppe des Polynoms  .

Moderner AnsatzBearbeiten

Der moderne Ansatz formuliert die Galoistheorie in der Sprache der algebraischen Strukturen: Ausgehend von einer Körpererweiterung   definiert man die Galoisgruppe als die Gruppe aller Körperautomorphismen von  , welche die Elemente von   einzeln festhalten.

Dabei ist   ein Zerfällungskörper des gegebenen Polynoms, also ein kleinster Erweiterungskörper von  , in dem das Polynom in Linearfaktoren zerfällt. Er heißt normaler oder Galoisscher Erweiterungskörper von  . Die Galoisgruppe, bestehend aus denjenigen Automorphismen von  , die den Unterkörper   elementweise fest lassen, lässt damit notwendig auch jeden Term fest, dessen Wert ein Element aus   ist.

Im Beispiel oben berechnen wir die Galoisgruppe der Körpererweiterung  .

Die Kenntnisse über auflösbare Gruppen in der Gruppentheorie erlaubt uns, herauszufinden, ob ein Polynom durch Radikale auflösbar ist, und zwar abhängig davon, ob dessen Galoisgruppe auflösbar ist oder nicht. Jede Körpererweiterung   gehört zu einer Faktorgruppe der Hauptreihe der Galoisgruppe. Falls eine Faktorgruppe der Hauptreihe zyklisch von der Ordnung   ist, ist die zugehörige Körpererweiterung eine radikale Erweiterung, und die Elemente von   können als die  -ten Wurzeln eines Elements aus   aufgefasst werden.

Wenn alle Faktorgruppen der Hauptreihe zyklisch sind, wird die Galoisgruppe als auflösbar bezeichnet, und alle Elemente des zugehörigen Körpers können durch sukzessives Wurzelziehen, Produktbilden und Summieren aus den Elementen des Grundkörpers (normalerweise  ) erhalten werden.

Einer der größten Triumphe der Galoistheorie war der Beweis, dass für jedes   ein Polynom mit Grad   existiert, welches nicht durch Radikale auflösbar ist. Dies beruht auf der Tatsache, dass für   die symmetrische Gruppe   einen einfachen nichtzyklischen Normalteiler enthält.

Hauptsatz der GaloistheorieBearbeiten

Wenn   eine endliche Galoiserweiterung des Körpers   ist, und   die zugehörige Galoisgruppe, dann ist   galoissch über jedem Zwischenkörper  , und es existiert eine inklusionsumkehrende Bijektion

 
 

Normale Körpererweiterungen   entsprechen unter dieser Bijektion Normalteilern von  . Außerdem gilt:

  •  
  •  

Eine etwas allgemeinere Formulierung wird im Artikel Galoisgruppe erläutert.

BeispielBearbeiten

Für das oben angegebene Beispiel sollen die Elemente der Galoisgruppe nun als Körperautomorphismen bestimmt werden. Die Nullstellen des Polynoms   sind

 ,
 ,
 ,
 .

Der Zerfällungskörper ist somit  . Weil das Polynom irreduzibel und vom Grad 4 ist, handelt es sich bei   um eine algebraische Körpererweiterung vom Grad 4 über  . Eine Basis für   als Vektorraum über   ist  , d. h. jedes Element aus   ist von der Form   mit   aus  . Die Ordnung der Galoisgruppe stimmt mit dem Grad der Körpererweiterung überein, ihre Elemente permutieren – wie oben gezeigt – die Nullstellen des Polynoms folgendermaßen:

 
 
 
 

  (als Permutation) bleibt die Identität, wird nun allerdings zu einem Körperautomorphismus   von  :

 .

Man sieht, dass unter   bei der Permutation der vier Nullstellen stets   und   vertauscht werden. Der zugehörige Körperautomorphismus   lautet somit:

 .

Dabei bleibt der Körper   elementweise fest. Entsprechendes gilt bei   für   und  . Unter   ändert sich bei beiden Wurzeln das Vorzeichen. Die entsprechenden Körperautomorphismen sind:

  mit dem Fixkörper   und
  mit dem Fixkörper  .

 ,   und   sind zu sich selbst invers, bilden also zusammen mit der Identität jeweils eine Untergruppe der Galoisgruppe. Mehr echte Untergruppen gibt es nicht, denn die Hinzunahme eines weiteren Elementes würde bereits die ganze Galoisgruppe erzeugen. Die Hintereinanderausführung von   und   ergibt  , damit ist die Galoisgruppe isomorph zur Kleinschen Vierergruppe und insbesondere kommutativ. Deshalb sind alle Untergruppen der Galoisgruppe auch Normalteiler. Also sind nach dem Hauptsatz der Galoistheorie  ,   und   die einzigen Zwischenkörper der Körpererweiterung  . Die Zwischenkörper selbst sind Körpererweiterungen vom Grad 2 über  .

Kroneckerscher SatzBearbeiten

Der Kroneckersche Satz zu Galoiserweiterungen des Körpers der rationalen Zahlen ist einer der klassischen Sätze des Mathematikers Leopold Kronecker und gilt als einer der schönsten Sätze der algebraischen Zahlentheorie. Der Satz besagt:[2][3]

Jede Galoiserweiterung   mit abelscher Galoisgruppe   ist in einem der Kreisteilungskörper   enthalten.

VerallgemeinerungenBearbeiten

Im Fall einer unendlichen Erweiterung   kann man die Automorphismengruppe   mit der so genannten Krulltopologie (nach W. Krull) versehen. Ist   separabel und normal (also eine Galoiserweiterung), gibt es dann eine natürliche Bijektion zwischen Teilerweiterungen   und abgeschlossenen Untergruppen von  .

Ist   eine nicht notwendigerweise algebraische unendliche Erweiterung, so gibt es keine derartige allgemeine Theorie mehr: Ist beispielsweise   ein vollkommener Körper der Charakteristik  , so ist durch

 

ein Körperautomorphismus definiert, der so genannte Frobeniushomomorphismus. Die von   erzeugte Untergruppe   von   ist im Allgemeinen »viel« kleiner als die Gruppe der Automorphismen von  , aber es gilt  . Ist   ein algebraischer Abschluss von  , so liegt allerdings die vom Frobeniusautomorphismus erzeugte Untergruppe dicht in  , das heißt ihr Abschluss ist gleich der Galoisgruppe.

Ist jedoch   eine Körpererweiterung mit   (das impliziert nicht, dass L/K algebraisch und damit insbesondere nicht galoissch ist), so gilt trotzdem noch:   und   sind zueinander inverse, inklusionsumkehrende Bijektionen zwischen der Menge der kompakten Untergruppen von   und der Menge der Zwischenkörper  , bei denen   galoissch über   ist.

Es gibt auch eine Verallgemeinerung der Galoistheorie für Ringerweiterungen statt Körpererweiterungen.

Das Umkehrproblem der GaloistheorieBearbeiten

Es ist einfach, Körpererweiterungen mit einer beliebigen vorgegebenen endlichen Gruppe als Galoisgruppe zu konstruieren, wenn man den Grundkörper nicht festlegt. Alle endlichen Gruppen treten daher als Galoisgruppen auf.

Dazu wählt man einen Körper   und eine endliche Gruppe  . Nach dem Satz von Cayley ist   isomorph zu einer Untergruppe der symmetrischen Gruppe auf den Elementen von  . Wählt man Variablen   für jedes Element   von   und adjungiert sie zu  , so erhält man  . In   enthalten ist der Körper   der symmetrischen rationalen Funktionen in den  . Dann ist  , und der Fixkörper   von   unter   hat Galoisgruppe   nach dem Hauptsatz der Galoistheorie.

Das skizzierte Vorgehen stellt die Strategie von Emmy Noether (1918)[4] für die Lösung des inversen Galoisproblems dar[5], wobei sie als Grundkörper   die rationalen Zahlen betrachtete. Ist der Fixkörper M ein rationaler Funktionenkörper über den rationalen Zahlen, kann man nach Noether mit dem Irreduzibilitätssatz von Hilbert eine Galoissche Körpererweiterung von   konstruieren mit Galoisgruppe  . Ein Gegenbeispiel für ihre Strategie wurde allerdings 1969 von Richard Swan gefunden. Es ist ein im Allgemeinen ungelöstes Problem, wie und ob man eine solche Konstruktion für einen festen Grundkörper, etwa  , ausführen kann.

Das Umkehrproblem der Galoistheorie ist im Allgemeinen ungelöst und fragt für einen gegebenen Körper K und speziell   (die rationalen Zahlen) danach, ob jede endliche Gruppe als Galoisgruppe einer Körpererweiterung von K realisiert werden kann. Falls K ein endlicher Körper ist, ist dies nicht der Fall, da in diesem Fall die Galoisgruppe zyklisch ist. Das Umkehrproblem ist aber für jede endliche Gruppe für den Fall des Funktionenkörpers in einer Variablen über den komplexen Zahlen oder allgemeiner über algebraisch abgeschlossenen Körpern mit Charakteristik 0 lösbar. Schon für den Fall der rationalen Zahlen gibt es nur Teilresultate. Für endliche abelsche Gruppen   über   wurde es schon im 19. Jahrhundert gelöst (Leopold Kronecker, Heinrich Weber) und es ist auch für endliche auflösbare Gruppen gelöst (Igor Schafarewitsch). Das Problem ist auch für die sporadischen Gruppen über   mit Ausnahme der Mathieugruppe M23 gelöst (für die Mathieugruppen Heinrich Matzat, für die Monstergruppe John Griggs Thompson, womit gleichzeitig auch die meisten Fälle der sporadischen Gruppen erledigt waren).

Siehe auchBearbeiten

LiteraturBearbeiten

WeblinksBearbeiten

  Wikiversity: Vorlesung über Körper- und Galoistheorie – Kursmaterialien, Forschungsprojekte und wissenschaftlicher Austausch
  • Fields and Galois Theory – eine Einführung in die Galoistheorie von J. S. Milne. (englisch, PDF, 971 KiB)
  • Galois Theory – kurze Zusammenfassung der wichtigsten Ergebnisse der Galoistheorie (englisch)
  • The Evariste Galois Archive – mehrsprachiges Projekt mit Originaldokumenten von Evariste Galois, einer Kurzbiographie über Galois, einer Liste von Monographien über Galois sowie etlichen Weblinks
  • Die Ideen der Galois-Theorie – relativ elementare Einführung in die Galoistheorie von Jörg Bewersdorff

EinzelnachweiseBearbeiten

  1. Nieper-Wißkirchen, Universität Augsburg: "Galoissche Theorie", S. 126, Proposition 4.8 und Beispiel, [1]
  2. Michael Artin: Algebra. 1998, S. 652.
  3. Der kroneckersche Satz wird auch mit dem Namen von Heinrich Weber verbunden und als Satz von Kronecker-Weber bezeichnet.
  4. Emmy Noether, Gleichungen mit vorgeschriebener Gruppe, Mathematische Annalen, Band 78, 1918, S. 221–229, SUB Göttingen
  5. Meredith Blue, Galois theory and Noether’s problem, Proc. Thirty-Fourth Annual Meeting Florida Section MAA, 2001, pdf