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01-Würfelverdoppelung-Menaichmos-1.svg

Die Würfelverdoppelung (Würfelvolumenverdoppelung) (auch Delisches Problem genannt) gehört zu den klassischen Problemen der antiken Mathematik.

Inhaltsverzeichnis

AufgabeBearbeiten

 
Verhältnis von Volumen zur Kantenlänge eines Würfels

Nach einer Legende befragten die Bewohner der Insel Delos während einer Pestepidemie 430 v. Chr. ihr Orakel um Rat. Dieses forderte sie auf, den würfelförmigen Altar im Tempel des Apollon im Volumen zu verdoppeln. Für antike Mathematiker bedeutete dies, dass die Seitenlänge eines Würfels mit dem doppelten Volumen unter ausschließlicher Verwendung von Zirkel und Lineal konstruiert werden sollte.

Beweis der UnlösbarkeitBearbeiten

Erst im 19. Jahrhundert wurde bewiesen, dass diese Aufgabe unlösbar ist. Das bewies zuerst Pierre Wantzel 1837. Heutige Beweise verwenden meist die Galoistheorie (Évariste Galois, französischer Mathematiker) und laufen im Kern darauf hinaus, dass die irrationale Zahl   nicht durch ganze Zahlen, die vier Grundrechenarten und Quadratwurzeln ausgedrückt werden kann.

Geometrische Konstruktionen mit HilfsmittelnBearbeiten

Nimmt man zu den klassischen (euklidischen) Werkzeugen Zirkel und (unmarkiertes) Lineal noch ein Hilfsmittel, wie z. B. die im Folgenden beschriebenen Kurven oder ein entsprechend markiertes Lineal, so kann die Würfelseite, die zur Verdoppelung des Würfels führt, exakt dargestellt werden.

Das Problem im antiken GriechenlandBearbeiten

 
Kurve des Archytas
 
Menaichmos: Der Schnittpunkt   der zwei Parabeln liefert die beiden mittleren Proportionalen   und  
somit gilt auch  

Bereits in der Antike gelang Hippokrates von Chios die Verdopplung des Würfels, indem er sie auf ein Problem der Konstruktion von Verhältnissen zurückführte. Archytas von Tarent gelang deren Konstruktion mit einer speziellen Kurve (Kurve des Archytas). Menaichmos löste das Problem als Schnitt zweier Kegelschnitte (basierend auf Hippokrates’ Umformung des Problems).[1] Eratosthenes gelang eine geometrisch-mechanische Lösung (basierend auf Hippokrates), die er im Tempel des Ptolemäus in Alexandria in Stein meißeln ließ.[2] Verloren gegangen ist Eudoxos' Lösung.

Die antiken Quellen dazu sind vor allem der Archimedes-Kommentar von Eutokios,[3] Plutarch und ein Fragment des Platonicus von Eratosthenes. Eratosthenes und Plutarch führen das Problem auf die Orakelbefragung der Einwohner von Delos zurück. Plutarch fügt hinzu, sie hätten sich an Plato um Rat gewandt, der sie an Archytas, Eudoxos und Menaichmos verwies. Deren Lösung kritisierte Plato nach Plutarch, da sie sich mechanischer und nicht geometrischer Methoden bedienen, wobei er unter „geometrisch“ die ausschließliche Verwendung von Zirkel und Lineal meinte.[A 1]

Ähnliche Probleme aus der Konstruktion von Altären (allerdings mit dem Problem der Verdopplung eines Quadrats statt eines Würfels) gab es in Vedischer Zeit in Indien und sie gaben zu mathematischen Erörterungen Anlass (Sulbasutras).

Mithilfe eines markierten LinealsBearbeiten

Konstruktionen mithilfe einer sogenannten Einschiebung (Neusis),[4] z. B. mit Zirkel und einem markierten Lineal auf dem eine spezielle Markierung als zusätzliche Hilfe aufgebracht ist, auch als Neusis-Konstruktion bezeichnet, wurden bereits von Archimedes z. B. zur Dreiteilung des Winkels und von Abu l-Wafa in der Blütezeit des Islam angewandt.

  • Die nun folgende Neusis-Konstruktion, eine der bekanntesten, wird Isaac Newton zugeschrieben.
 
Bild 1: Neusis-Konstruktion mit markiertem Lineal
  Kante (Seite) des Ausgangswürfels
Nimmt man z. B. die Bezeichnung   – wie im Bild 1 dargestellt[5] oder die Ziffer   als Seitenlänge eines Sechsecks[6] – für die Kante (Seite) des Ausgangswürfels, wird zuerst damit ein gleichseitiges Dreieck mit den Ecken   konstruiert. Es folgt die Verdoppelung der Strecke   ab   dabei ergibt sich der Schnittpunkt   Nun wird die Strecke   ab   um ca. zweimal   verlängert. Die anschließend eingezeichnete Halbgerade ab   und durch   verdoppelt ungefähr die Strecke   Nun setze ein mit dem Punkt   markiertes Lineal (Abstand Ecke   bis Punkt   entspricht  ) auf die Zeichnung. Drehe und schiebe das Lineal bis dessen Ecke   auf der Verlängerung der Strecke   anliegt, die Markierung Punkt   auf der Verlängerung der Strecke   aufliegt und die Kante des Lineals durch den Punkt   verläuft. Abschließend verbinde den Punkt   mit  
Die Strecke   ist die Kantenlänge des gesuchten Würfels mit dem verdoppelten Volumen des Ausgangswürfels.
  • Von Isaac Newton stammt auch eine weniger bekannte Neusis-Konstruktion (Bild 2),[7] die aber wegen ihrer Einfachheit bemerkenswert ist.
 
Bild 2: Neusis-Konstruktion mit markiertem Lineal
  Kante (Seite) des Ausgangswürfels
 
Sie beginnt mit der Vertikalen   und der Horizontalen   Eine Halbgerade als Winkelschenkel mit der Winkelweite   am Scheitel   schließt sich an. Nun setze ein mit dem Punkt   markiertes Lineal (Abstand Ecke   bis Punkt   entspricht  ) auf die Zeichnung. Drehe und schiebe das Lineal bis dessen Ecke   auf der Halbgeraden anliegt, die Markierung Punkt   auf der Strecke   aufliegt und die Kante des Lineals durch den Punkt   verläuft. Abschließend verbinde den Punkt   mit  
Die Strecke   ist die Kantenlänge des gesuchten Würfels mit dem verdoppelten Volumen des Ausgangswürfels.
Nachrechnung
Das Bild 2 zeigt, die rechtwinkligen Dreiecke   (blau) und   (grün) sind wegen des Scheitelwinkels zueinander ähnlich,
folglich gilt
(1)  
rechtwinkliges Dreieck   und Tangens  
(2)  
Teile der Gleichung (2) quadriert
(3)  
umgeformt ergibt sich
(4)  
rechtwinkliges Dreieck   nach Satz des Pythagoras
(5)  
Wert von (5) eingesetzt in (4)
(6)  
 
 
umgeformt ergibt sich
(7)  
nach der Vereinfachung
(8)  
daraus folgt schließlich
(9)  
In Worten:
Das Volumen des Würfels   mit der Kantenlänge   ist gleich dem doppelten Volumen des Ausgangswürfels   mit der Kantenlänge  

WeblinksBearbeiten

EinzelnachweiseBearbeiten

  1. Horst Hischer: 6.1 Lösungsweg: Schnittpunkt von zwei Parabeln nach Menaichmos. Zum Problem der Würfelverdoppelung in der Darstellung durch Johann Christoph Sturm 1670. Universität Saarland, 2015, S. 9–10, abgerufen am 1. Mai 2019.
  2. Bartel Leendert van der Waerden Science Awakening, 1956, 230f. Drei Rechtecke oder Dreiecke, die längs eines Zirkels verschoben werden konnten, dessen eine Seite frei drehbar war.
  3. Bartel Leendert van der Waerden Science Awakening, 1956, S. 159ff
  4. Klaus Volkert: Geschichte der geometrischen Konstruktionsprobleme I. In: Vorlesung, Universität zu Köln im WS 06/07; Seite 20: [...] Siebeneck. Universität Wuppertal, 2006, S. 82, abgerufen am 15. September 2018.
  5. Heinrich Dörrie: 35. The Delian Cube-doubling Problem. In: 100 Great Problems of Elementary Mathematics. New York, Dover Publications, Inc., 1965, S. 170–171, abgerufen am 5. Mai 2019.
  6. Peter Franzke: Das Delische Problem. Anmerkungen zum Delischen Problem. S. 1–8, abgerufen am 7. Mai 2019.
  7. This last construction for duplicating the cube is due to Isaac Newton. Given a seg. In: Chegg Study. Abgerufen am 5. Mai 2019.

AnmerkungenBearbeiten

  1. Ironischerweise erwähnt Eutokios auch eine rein mechanische Lösung, die er auf Plato zurückführt. Möglicherweise wollte dieser damit zeigen, wie einfach eine mechanische Lösung anzugeben ist.