Würfelverdoppelung

Mathematisches Problem
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Die Würfelverdoppelung (Würfelvolumenverdoppelung), auch Delisches Problem genannt, ist eine geometrische Aufgabe um deren Lösung sich bereits die Griechen vor mehr als 2400 Jahren vergeblich bemühten. Sie gehört zu den sogenannten „drei berühmten klassischen Problemen der antiken Mathematik“, die nur als gelöst gelten, wenn sie ausschließlich mit den euklidischen Werkzeugen, d. h. allein mit Zirkel und Lineal, konstruiert werden.

Das Problem im antiken GriechenlandBearbeiten

 
Verhältnis von Volumen zur Kantenlänge eines Würfels

Nach einer Legende befragten die Bewohner der Insel Delos während einer Pestepidemie 430 v. Chr. ihr Orakel um Rat. Dieses forderte sie auf, den würfelförmigen Altar im Tempel des Apollon im Volumen zu verdoppeln. Für antike Mathematiker bedeutete dies, dass die Seitenlänge eines Würfels mit dem doppelten Volumen unter ausschließlicher Verwendung von Zirkel und Lineal zu konstruieren ist.

Ähnliche Probleme aus der Konstruktion von Altären (allerdings mit dem Problem der Verdopplung eines Quadrats statt eines Würfels) gab es in Vedischer Zeit in Indien und sie gaben zu mathematischen Erörterungen Anlass (Sulbasutras).

Beweis der UnlösbarkeitBearbeiten

Erst im 19. Jahrhundert wurde bewiesen, dass diese Aufgabe – bei alleiniger Verwendung von Zirkel und Lineal – unlösbar ist. Das bewies zuerst Pierre Wantzel 1837. Heutige Beweise verwenden meist die Galoistheorie (Évariste Galois, französischer Mathematiker) und laufen im Kern darauf hinaus, dass die irrationale Zahl   nicht durch ganze Zahlen, die vier Grundrechenarten und Quadratwurzeln ausgedrückt werden kann.

GeschichtlichesBearbeiten

Aus indirekten Überlieferungen ist zu erfahren Euripides (um 480 bis 406 v. Chr.), – kein Mathematiker, sondern ein Tragödiendichter – soll in dem ihm zugeschriebenen mythologischen Werk „Poleidos“ das Problem der Würfelverdoppelung thematisiert haben. Es wurde darin vom „Grabmal des Glaukos“ gesprochen, das hinsichtlich seines Volumens zu verdoppeln sei. Dies bedeutet im Endeffekt, die Aufgabe Verdoppelung des Würfels war viel früher im Gespräch, als das in diesem Zusammenhang meist erwähnte „Orakel von Delos“.[1]

Im Jahr 1880 berichtet Moritz Cantor von einem Brief, den Eratosthenes an den ägyptischen König Ptolemäus schrieb. Cantor zitiert daraus und macht dazu eine Anmerkung:

„[...] Von den alten Tragödiendichtern [Anm.: gemeint ist Euripides mit seinem verloren gegangenen Werk „Poleidos“], sagt man, habe einer den Minos, wie er dem Glaukos ein Grabmal errichten liess, und hörte, dass es auf allen Seiten 100 Fuss haben werde, sagen lassen:

Zu klein entwarfst Du mir die königliche Gruft,
Verdopple sie; des Würfels [Gestalt] doch verfehle nicht.

Man untersuchte aber auch von Seiten der Geometer, auf welche Weise man einen gegebenen Körper, ohne dass er seine Gestalt veränderte, verdoppeln könnte, und nannte die Aufgabe der Art des Würfels Verdoppelung; [...].“

Eratosthenes: Cantor 1880, S. 181[2]

Geometrische Konstruktionen mit mechanischen HilfsmittelnBearbeiten

Nimmt man zu den klassischen (euklidischen) Werkzeugen Zirkel und (unmarkiertes) Lineal noch ein mechanisches Hilfsmittel, wie z. B. einen speziellen „Holzrahmen-Apparat“,[3] oder ein im Folgenden beschriebenes entsprechend markiertes Lineal, so kann eine verdoppelte Würfelseite theoretisch exakt dargestellt werden.

Geometrisch-mechanische LösungBearbeiten

Eratosthenes gelang eine geometrisch-mechanische Lösung (basierend auf Hippokrates), die er im Tempel des Ptolemäus in Alexandria in Stein meißeln ließ.[4]

Die antiken Quellen dazu sind der Archimedes-Kommentar von Eutokios,[5] Plutarch und ein Fragment des Platonicus von Eratosthenes. Plutarch führt das Problem auf die Orakelbefragung der Einwohner von Delos zurück. Er fügt hinzu, sie hätten sich an Plato um Rat gewandt, der sie an Archytas, Eudoxos und Menaichmos verwies. Deren Lösung kritisierte Plato nach Plutarch, da sie sich mechanischer und nicht geometrischer Methoden bedienen, wobei er unter „geometrisch“ die ausschließliche Verwendung von Zirkel und Lineal meinte.[A 1]

Mithilfe eines markierten LinealsBearbeiten

Konstruktionen mithilfe einer sogenannten Einschiebung (Neusis),[6] z. B. mit Zirkel und einem markierten Lineal auf dem eine spezielle Markierung als zusätzliche Hilfe aufgebracht ist, auch als Neusis-Konstruktion bezeichnet, wurden bereits von Archimedes z. B. zur Dreiteilung des Winkels und von Abu l-Wafa in der Blütezeit des Islam angewandt. In der Antike benutzte Pappos und sein Lehrer Sporus von Nikaia diese Methode für die Würfelverdopplung.

  • Die folgende Neusis-Konstruktion ist eine der bekanntesten.
 
Bild 1: Neusis-Konstruktion mit markiertem Lineal
  Kante (Seite) des Ausgangswürfels
Bezeichnet man – wie im Bild 1 dargestellt[7] – die Kante (Seite) des Ausgangswürfels als  , wird damit zunächst ein gleichseitiges Dreieck mit den Ecken   konstruiert. Es folgt die Verdoppelung der Strecke   ab   dabei ergibt sich der Schnittpunkt   Nun wird die Strecke   ab   verlängert. Anschließend wird eine Halbgerade ab   durch   gezeichnet. Nun setze ein mit dem Punkt   markiertes Lineal (Abstand Ecke   bis Punkt   entspricht  ) auf die Zeichnung. Drehe und schiebe das Lineal bis dessen Ecke   auf der Verlängerung der Strecke   anliegt, die Markierung Punkt   auf der Verlängerung der Strecke   aufliegt und die Kante des Lineals durch den Punkt   verläuft. Abschließend verbinde den Punkt   mit  
Die Strecke   ist die Kantenlänge des gesuchten Würfels mit dem verdoppelten Volumen des Ausgangswürfels.
  • Von Isaac Newton stammt eine weniger bekannte Neusis-Konstruktion (Bild 2),[8] die aber wegen ihrer Einfachheit bemerkenswert ist.
 
Bild 2: Neusis-Konstruktion mit markiertem Lineal
  Kante (Seite) des Ausgangswürfels
 
Sie beginnt mit dem Errichten einer Senkrechten   auf eine Halbgerade ab  . Ein Winkelschenkel mit der Winkelweite   am Scheitel   schließt sich an. Nun setze ein mit dem Punkt   markiertes Lineal (Abstand Ecke   bis Punkt   entspricht der Kante   des Ausgangswürfels) auf die Zeichnung. Drehe und schiebe das Lineal bis dessen Ecke   auf dem Winkelschenkel liegt, die Markierung Punkt   auf der Strecke   aufliegt und die Kante des Lineals durch den Punkt   verläuft. Abschließend verbinde den Punkt   mit  
Die Strecke   ist die Kantenlänge des gesuchten Würfels mit dem verdoppelten Volumen des Ausgangswürfels.
Nachrechnung
Das Bild 2 zeigt, die rechtwinkligen Dreiecke   (blau) und   (grün) sind wegen des Scheitelwinkels zueinander ähnlich,
folglich gilt
(1)  
rechtwinkliges Dreieck   und Tangens  
(2)  
Teile der Gleichung (2) quadriert
(3)  
umgeformt ergibt sich
(4)  
rechtwinkliges Dreieck   nach Satz des Pythagoras
(5)  
Wert von (5) eingesetzt in (4)
(6)  
 
 
umgeformt ergibt sich
(7)  
nach der Vereinfachung
(8)  
daraus folgt schließlich
(9)  
In Worten:
Das Volumen des Würfels   mit der Kantenlänge   ist gleich dem doppelten Volumen des Ausgangswürfels   mit der Kantenlänge  

Konstruktion von zwei mittleren ProportionalenBearbeiten

Bereits aus der frühen Antike gibt es eine große Anzahl Überlieferungen, die zur Lösung dieses Problems zwischen zwei gegebene Längen zwei mittlere Proportionale einschalten.[9]

„Es seien [...]   und   die beiden Geraden, zwischen welche zwei mittlere Proportionalen einzuschalten sind.“

Eratosthenes: Cantor 1880, S. 181[10]

Aus Gründen des besonderen Schwierigkeitsgrades – Dreidimensionalität, Anfang 5. Jhdt. v. Chr. oder Ende 4. Jhdt. v. Chr. – wird im Folgenden die Lösung des Problems mithilfe der Kurve des Archytas ausführlich beschrieben.

Kurve des ArchytasBearbeiten

 
Kurve des Archytas (rot) mit Halbzylinder, Achtel eines Rotationstorus (grau) und Viertel eines Kegels (gelb).
Darin ist der Durchmesser  

Ein paar Jahrzehnte früher als Archytas gelang Hippokrates von Chios die Verdoppelung des Würfels, indem er sie auf ein Problem der Konstruktion von Verhältnissen zurückführte.[1] Archytas von Tarent gelang deren theoretische Konstruktion mit einer nach ihm benannten speziellen Kurve. Sie ist eine sogenannte Schnittkurve, die entsteht (siehe nebenstehendes Bild), wenn ein Halbzylinder ein Achtel eines Rotationstorus ohne „Loch“ durchdringt. Als drittes Funktionselement dient ein Viertel eines Kegels.[11]

„Es widerfuhr ihnen aber insgesammt, dass sie zwar ihre Zeichnungen mit geometrischer Evidenz nachgewiesen hatten, sie aber nicht leicht mit der Hand ausführen und zur Anwendung bringen konnten, ausser etwa einigermassen die des Menächmus, doch auch nur mühsam.“

Eratosthenes: Cantor 1880, S. 181[12]

Mathematischer AnsatzBearbeiten

Soll ein Würfel mit der Kantenlänge   bezüglich seines Volumens   verdoppelt werden, so gilt mit  , als Kantenlänge des größeren Würfels nach dem Satz des Hippokrates gemäß Cantor

 

nach dem Umformen ergibt sich

 

daraus folgt

(1)  [12]

Geometrische VorüberlegungBearbeiten

 
Geometrische Vorüberlegung

Das nebenstehende Bild zeigt den geometrischen Ansatz, den Archytas nutzte um damit die von ihm gefundene Kurve mithilfe von zwei mittleren Proportionalen zu beschreiben.[9] Die Figur besteht u. a. aus zwei zueinander ähnlichen und rechtwinkligen Dreiecken   und   mit je einem Thaleskreis.

Es gilt:

(2)  
(3)  

Es gelten die folgende Streckenverhältnisse:

(4)  
(5)  

Konstruktion der Kantenlänge des verdoppelten WürfelsBearbeiten

 
Würfelverdoppelung mit einem Teil der Kurve des Archytas (rot);
zwecks Übersichtlichkeit ist der Rotationstorus im Abschnitt Kurve des Archytas dargestellt. Animation, dazwischen 15 s und am Ende 25 s Pause.

Für eine zeichnerische Darstellung – wie im nebenstehenden Bild – bedarf es einer Dynamischen-Geometrie-Software (DGS).[11]

Es beginnt mit dem Zeichnen des Einheitskreises mit Durchmesser  . Der anschließende Radius   um   schneidet den Kreis in   Es folgt eine Tangente durch   und die Verlängerung der Strecke   beide schneiden sich im Punkt   Eine Parallele zu   ab   schneidet den Durchmesser   in   und den Kreis in  

Als Nächstes wird ein kurzer Kreisbogen um   mit dem Radius   gezogen und darauf der Punkt   mit frei wählbarer Position festgelegt. Nach dem Verbinden des Punktes   mit   dies ergibt die Schnittpunkte   auf   sowie   auf dem Halbkreis   wird ein Halbkreis über   und ein zweiter über   gezeichnet. Das Errichten des Halbzylinder (Höhe ca. 2,5) über dem Halbkreis   schließt sich an.

Es geht weiter mit dem Ziehen eines Kreisbogens um den Punkt   mit dem Radius   er schneidet in   die Verlängerung der Kante des Halbzylinders, die zu   führt. Die Verbindung des Punktes   mit   schneidet den Halbkreis über   in   und erzeugt das Dreieck   Das gefällte Lot von   auf   trifft auf dessen Fußpunkt   und die in   errichtete Senkrechte auf   schneidet den Halbkreis über   in   Nach dem Verbinden der Punkte   mit   sowie   mit   ergeben sich schließlich die beiden rechtwinkligen Dreiecke   und  

Betrachtet man im Kontext die beiden kongruenten Dreiecke   und   sowie den Kreisbogen   um   ist das Viertel eines Kegels mit dessen Höhe   zu erkennen.

Der Halbkreis über   – die Schnittfläche eines nicht eingezeichneten Rotationstorus ohne „Loch“ – soll nun um den Punkt   so weit gegen den Uhrzeigersinn gedreht werden, bis die Seitenlänge   des Dreiecks   den Halbkreis über   im Punkt   schneidet. Damit wären die beiden Dreiecke   und   (siehe kleine Skizze im Bild) kongruent und die so einregulierte Strecke   entspräche der gesuchten Kantenlänge   des zu verdoppelten Würfels.

Der Punkt   bestimmt während der Drehung des Halbkreises über   die (rote) Kurve des Archytas auf der Mantelfläche des Halbzylinders.

  • Für einen exakten Haltepunkt der animierten Drehung des Halbkreises über   wird die Strecke   mithilfe der Dynamischen-Geometrie-Software GeoGebra bestimmt.

Mithilfe spezieller KurvenBearbeiten

 
Menaichmos: Der Schnittpunkt   der zwei Parabeln liefert die beiden mittleren Proportionalen   und  
somit gilt auch  
sowie   und  

Menaichmos löste das Problem bezüglich Konstruktion der zwei erforderlichen mittleren Proportionen, als Schnitt zweier Kegelschnitte (basierend auf Hippokrates’ Umformung des Problems).[13]

Dazu schreibt Johann Christoph Sturm in seinem Werk Des Unvergleichlichen ARCHJMEDJS Kunſt-Bücher, aus dem Jahr 1670, im Kapitel Der zweyte kunſtrichtige oder Geometriſche Weg/ zwiſchen zweyen gegebenen Lineen zwey mittlere gleichverhaltende zu finden/ des Menechmi.:

Aufloͤſung.

  So nun gegeben ſind zwey gerade Lineen AB und BC, zwiſchen welchen zwey mittlere
gleichverhaltende ſollen gefunden werden/ ſo ſetze die beyde gegebene winkelrecht auf einander/
und verlaͤngere ſie gegen D und E, ohne Maaß/ hinaus; beſchreibe ſo dann/ nach Erforderung
der Lini BC, umb BE eine Parabel/ (alſo nehmlich/ daß die Vierung einek jeden/ von ihrem
Umbkreiß auf BE ſenkrecht gezogenen/ Lini (als hier die Vierung EF) gleich ſey dem Rechtekk
aus BC und bem Teihl der Mittel-Lini zwiſchen B und der vorigen ſenkrechten (hier BE)
Beſihe unten die Anmerkung. Wiederumb beſchreibe/ voriger maſſen/ umb BD, nach
Erforderung der Lini AB eine andere Parabel/ und aus dem Punct F, in welchem ſie einander
durchſchneiden/ ziehe die ſenkrechte Lineen FD und FE, ſo werden BE und BD die begehrte
zwey mittlere gleichverhaltende ſeyn.“

Johann Christoph Sturm: Sturm 1670, S. 119[14]

WeblinksBearbeiten

Wikibooks: Verdoppelung des Würfels – Lern- und Lehrmaterialien
  Wikisource: Delisches Problem – Artikel der 4. Auflage von Meyers Konversations-Lexikon

EinzelnachweiseBearbeiten

  1. a b Horst Hischer: Moritz Cantor und die krumme Linie des Archytas von Tarent. (PDF) Universität Saarland, 2003, S. 73 ff, abgerufen am 1. November 2020.
  2. Horst HischerMoritz Cantor und die krumme Linie des Archytas von Tarent. Universität Saarland 2003, S. 72 ff abgerufen am 30. Oktober 2020
  3. Horst Hischer: Zum Problem der Würfelverdoppelung in der Darstellung durch Johann Christoph Sturm 1670. (PDF) 5.1 Lösungswerkzeug: Holzrahmen-Apparat (vermutlich von Eratosthenes). Universität Saarland, 2015, S. 5 ff, abgerufen am 2. November 2020.
  4. Bartel Leendert van der Waerden Science Awakening, 1956, 230f. Drei Rechtecke oder Dreiecke, die längs eines Zirkels verschoben werden konnten, dessen eine Seite frei drehbar war.
  5. Bartel Leendert van der Waerden Science Awakening, 1956, S. 159ff
  6. Klaus Volkert: Geschichte der geometrischen Konstruktionsprobleme I. (PDF) In: Vorlesung, Universität zu Köln im WS 06/07; [...] Siebeneck. Universität Wuppertal, 2006, S. 20, abgerufen am 15. September 2018.
  7. Heinrich Dörrie: 35. The Delian Cube-doubling Problem. In: 100 Great Problems of Elementary Mathematics. New York, Dover Publications, Inc., 1965, S. 170–171, abgerufen am 5. Mai 2019.
  8. Skip Lester: History of Mathematics. (PDF) 7. Isaac Newton (1642–1727) suggested the following construction for duplicating the cube. University of Washington, S. 11, abgerufen am 8. November 2019.
  9. a b Rudolf Stopfer: Die Verdoppelung des Würfels, 5. Lösung nach Archytas. Seminar: Klassische Probleme der Antike. Universität Bayreuth, 8. Juni 1997, S. 9–10, abgerufen am 30. Oktober 2020.
  10. Horst HischerMoritz Cantor und die krumme Linie des Archytas von Tarent. Universität Saarland 2003, S. 78 ff abgerufen am 30. Oktober 2020
  11. a b Horst Hischer: Moritz Cantor und die krumme Linie des Archytas von Tarent. (PDF) Universität Saarland, 2003, S. 79 ff, abgerufen am 1. November 2020.
  12. a b Horst Hischer: Moritz Cantor und die krumme Linie des Archytas von Tarent. (PDF) Universität Saarland, 2003, S. 76, abgerufen am 30. Oktober 2020.
  13. Horst Hischer: 6.1 Lösungsweg: Schnittpunkt von zwei Parabeln nach Menaichmos. (PDF) Zum Problem der Würfelverdoppelung in der Darstellung durch Johann Christoph Sturm 1670. Universität Saarland, 2015, S. 9–10, abgerufen am 1. Mai 2019.
  14. Johann Christoph Sturm: Der zweyte kunſtrichtige oder Geometriſche Weg … in Des Unvergleichlichen ARCHJMEDJS Kunſt-Bücher, 1670. DTA Deutsches Textarchiv, S. 118 ff abgerufen am 2. November 2020

AnmerkungenBearbeiten

  1. Ironischerweise erwähnt Eutokios auch eine rein mechanische Lösung, die er auf Plato zurückführt. Möglicherweise wollte dieser damit zeigen, wie einfach eine mechanische Lösung anzugeben ist.