Würfelverdoppelung

mathematisches Problem
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Die Würfelverdoppelung, auch bekannt als Delisches Problem, bezeichnet die geometrische Aufgabe, zu einem gegebenen Würfel einen zweiten Würfel mit dem doppelten Volumen zu konstruieren. Das Problem gehört zu den drei „klassischen Problemen der antiken Mathematik“ und wurde bereits im 5. Jahrhundert v. Chr. im antiken Griechenland formuliert.

Ein Ausgangswürfel mit der Kantenlänge (ein sogenannter Einheitswürfel) hat das Volumen Ein weiterer Würfel habe die Kantenlänge und das Volumen Die neue Kantenlänge ist die Kubikwurzel aus , also . Diese kann als Grenzwert geeigneter Folgen bestimmt werden, ist jedoch aus den Strecken 0 und 1 über Zirkel und Lineal nicht in endlich vielen Schritten konstruierbar. Versucht man also das Problem der Würfelverdoppelung ausschließlich mit den Hilfsmitteln zu bearbeiten, die Euklid in seinen Elementen nutzte, nämlich mit Zirkel und unmarkiertem Lineal, ist es nicht lösbar. Diese Aussage lässt sich in die Fachsprache der Algebra übersetzen, wodurch schließlich ein mathematischer Beweis für die Unmöglichkeit der Konstruktion angegeben werden kann. Ein solcher wurde zuerst vom französischen Mathematiker Pierre Wantzel im Jahr 1837 geführt. Jedoch gilt es als sehr wahrscheinlich, dass Carl Friedrich Gauß bereits früher einen Beweis kannte, diesen aber nicht niederschrieb.

Identische Probleme bestehen bei Vergrößerungen des Würfelvolumens auf das 3-, 4-, 5-, 6- und 7-fache des ursprünglichen Rauminhaltes. Dagegen ist die Aufgabe zum Beispiel einer Volumenverachtfachung kein Problem, weil die Kubikwurzel aus 8 problemlos berechenbar und die resultierende Kantenlängenverdoppelung leicht machbar ist.

Schwächt man die Einschränkung ab und lässt ein zusätzliches Hilfsmittel zu, wie zum Beispiel entsprechende Markierungen auf dem Lineal oder spezielle Kurven, dann ist die Konstruktion eines Würfels mit doppeltem Volumen möglich. Entsprechende Verfahren waren bereits in der Antike bekannt.

Geschichtliches aus der AntikeBearbeiten

 
Ein Würfel mit der Kantenlänge   hat das doppelte Volumen des Einheitswürfels mit  

Die wichtigste antike Quelle zur Würfelverdoppelung ist der Kommentar des spätantiken Autors Eutokios zu Archimedes’ Schrift „Über Kugel und Zylinder“ („Περὶ σφαίρας καὶ κυλίνδρου Peri sphairas kai kylindrou“), in dem diverse Lösungsansätze antiker Mathematiker gesammelt sind.[1] Unter anderem wird dort ein Brief des Gelehrten Eratosthenes (um 275–194 v. Chr.) an einen König Ptolemaios (wohl Ptolemaios III. oder Ptolemaios IV.) wörtlich zitiert, der mittlerweile als authentische Wiedergabe des Originalbriefes erwiesen wurde und in dem der Wissenschaftler sich dem Herrscher gegenüber zur Frage der Würfelverdopplung äußert.[2] Als ältesten Beleg für dieses mathematische Problem zitiert Eratosthenes dort „einen der alten Tragödiendichter“ („τῶν ἀρχαίων τινὰ τραγῳδοποιῶν tōn archaiōn tina tragōdopoiōn“), in dessen Werk der mythische König Minos das Grab seines Sohnes Glaukos errichten lässt und den Baumeister anweist, es doppelt so groß wie den ersten Entwurf anzufertigen, aber die Würfelform beizubehalten.[3] Von den drei bedeutenden athenischen Tragödiendichtern des 5. Jahrhunderts v. Chr. – Aischylos, Sophokles und Euripides – weiß man, dass sie in je einem ihrer Werke die Sage von Minos und Glaukos aufgriffen; dennoch ist möglich, dass das Zitat aus einer Tragödie eines ganz anderen Dichters stammt.[4]

Die Alternativbezeichnung „Delisches Problem“ geht auf eine Episode zurück, die Eratosthenes in seinem Brief ebenfalls anführt,[3] die aber auch bei diversen anderen antiken Autoren (darunter Plutarch und Theon von Smyrna) beschrieben wird und der aus altertumswissenschaftlicher Sicht durchaus ein tatsächliches historisches Ereignis zugrunde liegen könnte: Die Bewohner der Insel Delos hätten während einer schweren Seuche ein Orakel um Rat gefragt, was sie tun könnten, um ihre Situation zu verbessern. Das Orakel habe sie angewiesen, den würfelförmigen Altar im Apollontempel der Insel in seiner Größe – also seinem Volumen – zu verdoppeln. Die delischen Architekten seien jedoch ratlos gewesen, wie das konkret zu bewerkstelligen wäre, und hätten daraufhin Platon (428/427–348/347 v. Chr.) um Rat gebeten.[3] Dieser habe sie an Archytas von Tarent, Eudoxos von Knidos und Menaichmos verwiesen, die ihnen jeweils unterschiedliche Lösungsansätze eröffnet hätten. Laut Plutarch habe Platon deren Ansätze jedoch kritisiert, da sie ihm zufolge durch die Nutzung mechanischer Methoden das „Gute“, Elegante der Geometrie zerstören.[5] Im Archimedes-Kommentar des Eutokios wird Platon interessanterweise auch eine eigene mechanische Lösung des Delischen Problems (siehe Abschnitt Platons mechanische Methode) zugeschrieben. Sofern damit nicht ein anderer Platon gemeint ist als der berühmte Philosoph, dürfte es sich dabei nach vorherrschender Forschungsmeinung jedoch um eine Falschzuschreibung handeln.[6]

Ähnliche Probleme aus der Konstruktion von Altären (allerdings mit dem Problem der Verdopplung eines Quadrats statt eines Würfels) gab es in vedischer Zeit in Indien und sie gaben zu mathematischen Erörterungen Anlass (Sulbasutras).[7] Beim Quadrat lässt sich die Aufgabe der Verdopplung durch den Satz des Pythagoras lösen.

Antike Lösungen mit zusätzlichen Hilfsmitteln

  • Hippokrates von Chios (zweite Hälfte des 5. Jahrhunderts v. Chr.) zeigte als Erster den maßgeblichen Ansatz für eine theoretische Lösung des Problems. Er fand: Das Problem der Würfelverdoppelung ist äquivalent zu demjenigen der Bestimmung von zwei mittleren Proportionalen zweier Größen.[8] Dies bedeutet, dass für eine Strecke   nach zwei Strecken   und   gesucht wird, so dass
 
Dies zieht   nach sich.
  • Archytas von Tarent (435/410–355/350 v. Chr.) war der Erste, dem die Umsetzung des oben genannten Satzes von Hippokrates unter Zuhilfenahme der nach ihm benannten Kurve gelang; beschrieben im Abschnitt Kurve des Archytas.[9]
  • Platon (428/427–348/347 v. Chr.) wurde von Eutokios als Erster benannt, der zur Lösung der Würfelverdoppelung eine mechanische Methode fand.[10] Wie bereits oben erwähnt, dürfte diese Lösung nicht von ihm stammen.
  • Eudoxos (397/390–345/338 v. Chr.) fand eine Lösung – so wird berichtet – durch die Konstruktion der zwei mittleren Proportionalen mithilfe nicht näher bekannter Kurven und ihrer Schnittpunkte.[11]
  • Menaichmos (um 380–320 v. Chr.) fand zwei Lösungen: eine, in der eine Parabel von einer Hyperbel geschnitten wird, und eine zweite, ausführlich beschrieben im Abschnitt Parabel nach Menaichmos, als Schnitt zweier Parabeln.[12]
  • Eratosthenes (um 278–194 v. Chr.) beschreibt in seinem Brief an König Ptolemaios im Anschluss an seine Einführung zur Geschichte des Delischen Problems eine eigene „mechanische Methode“[13] durch einen Apparat, den er „Mesolabium“ nannte.[14]
  • Diokles (um 240–180 v. Chr.) benutzte für seine Lösung eine nach ihm benannte Zissoide; beschrieben im Abschnitt Zissoide des Diokles.[15]

Beweis der Unlösbarkeit mittels Zirkel und LinealBearbeiten

Geschichte des BeweisesBearbeiten

Grundsätzlich griffen die Mathematiker der Antike bei der Lösung von Problemen nicht nur auf Zirkel und Lineal zurück. Die Vermutung, dass es eine solche methodische Beschränkung gegeben habe, erwies sich als neuzeitlicher Mythos.[16] Dass die Aufgabe bei alleiniger Verwendung von Zirkel und Lineal auch tatsächlich unlösbar ist, bewies Pierre Wantzel im Jahr 1837.[17][18] Sein Beweis beruhte auf folgenden algebraischen Überlegungen:[19]

1. Im ersten Teil des Beweises argumentiert er, dass, wenn ein Konstruktionsproblem mit Lineal und Zirkel gelöst werden kann, „die Unbekannte des Problems durch die Lösung einer Reihe von quadratischen Gleichungen erhalten werden kann, deren Koeffizienten rationale Funktionen der Parameter   des Problems und der Wurzeln der vorherigen Gleichungen sind“.

Mit der „Unbekannten des Problems“ ist dabei z. B. die gesuchte Strecke   gemeint.

2. Danach zeigte er, dass jede algebraische Zahl  , die Lösung der letzten Gleichung   eines Systems
 
ist, wobei die Koeffizienten   stets durch sukzessive Adjunktion im Körper   liegen, stets von einem Polynom des Grades   mit Koeffizienten in   gelöst wird. Dabei löst   die Gleichung   und   sind die gegebenen Parameter des Problems.
3. Wantzel wusste, dass jede algebraische Zahl Lösung eines Polynoms mit Grad einer Zweierpotenz ist, wenn diese hinreichend groß gewählt würde. Daher war sein Hauptresultat, zu zeigen, dass, wenn die Anzahl an benötigten Gleichungen zu einem Minimum reduziert würde, das resultierende Polynom irreduzibel über   ist.

Die Unmöglichkeit der Konstruktion folgt nun als Korollar aus den Sätzen 1 bis 3: Wäre, beginnend beim Einheitswürfel, die Konstruktion der Würfelverdoppelung mit Zirkel und Lineal möglich, so müsste   Nullstelle eines irreduziblen Polynoms über   sein, das als Grad eine Zweierpotenz hat. Das Polynom   ist irreduzibel über  , hat aber den Grad 3. Dies ist ein Widerspruch.

Es ist zu beachten, dass Wantzels Originalpublikation von dem Mathematikhistoriker Jesper Lützen als lückenhaft und schwer zu verstehen angesehen wird – dies betrifft vor allen Dingen den „Beweis“ des Hauptsatzes 3. Von Lützen wurden die Lücken im Nachhinein geschlossen und die Resultate, wie oben beschrieben, in moderner Fachsprache formuliert.[20] Wantzels Beweis für die Unmöglichkeit, die Verdoppelung des Würfels und die Dreiteilung des Winkels mit Lineal und Zirkel zu konstruieren, war nach seiner Veröffentlichung im Jahr 1837 fast ein Jahrhundert lang vergessen. Laut Lützen waren dabei die „mangelnde Berühmtheit des Autors“, die „Tatsache, dass einige seiner Zeitgenossen das Ergebnis als bekannt oder sogar als bewiesen ansahen“, und dass „das Ergebnis zum Zeitpunkt seiner Veröffentlichung nicht als wichtiges mathematisches Ergebnis angesehen wurde“, die treibenden Gründe.[21]

 
Carl Friedrich Gauß, 1828

Es wird von Historikern bezweifelt, dass Wantzel als Erster um einen Beweis wusste, da der junge Carl Friedrich Gauß sehr wahrscheinlich über einen solchen verfügt hat.[22] Ein großer Teil seines 1801 erschienenen Werkes Disquisitiones arithmeticae ist der Frage gewidmet, welche Bedingungen eine Polynomgleichung erfüllen muss, um durch quadratische Radikale lösbar zu sein. Dort finden sich auch die nach Gauß benannten Sätze, mit deren Hilfe für die meisten klassischen Aufgaben die Unlösbarkeit mit Zirkel und Lineal nachgewiesen werden kann. Mit seinen entwickelten Techniken bewies Gauß zum Beispiel, dass sich das 17-Eck mit Zirkel und Lineal konstruieren lässt. Die Tatsache, dass trotzdem Wantzel von vielen Autoren als Urheber der Sätze genannt und zitiert wird, führen die Mathematikhistoriker Christoph Scriba und Peter Schreiber auf die „Kommunikationsschwierigkeiten“ der Wissenschaft des 19. Jahrhunderts zurück.[23]

In heutiger Fachsprache ist der Beweis eine Anwendung der umfassenden Galoistheorie (nach Évariste Galois, französischer Mathematiker) und läuft im Kern darauf hinaus, dass die irrationale Zahl   nicht durch ganze Zahlen, nicht durch die vier Grundrechenarten und auch nicht durch Quadratwurzeln ausgedrückt werden kann.

Algebraischer BeweisBearbeiten

 
Ein Einheitswürfel und ein Würfel mit Volumen 2 – dieser hat die Seitenlänge   Es kann gezeigt werden, dass diese Zahl nicht aus ganzen Zahlen über Verkettungen aus Grundrechenoperationen wie Plus, Mal, Geteilt oder Quadratwurzeln gewonnen werden kann. Letztere sind aber genau die Zahlen, die bei den Strecken 0 und 1 beginnend mittels Zirkel und Lineal konstruiert werden können.

Im Detail kann der Beweis der Unmöglichkeit über folgende Ideen aus der Algebra vollzogen werden. Es seien eine Menge   von Punkten (komplexen Zahlen), welche mindestens 0 und 1 enthält, und ein beliebiger Punkt   gegeben. Es ist für diese Überlegungen von Wichtigkeit, dass die komplexen Zahlen als Ebene aufgefasst werden können – im Gegensatz dazu werden die reellen Zahlen schlicht als Gerade aufgefasst. Dann gilt, dass der Punkt   genau dann mit Zirkel und Lineal aus den Punkten   konstruierbar ist, falls er in einem Körper   (dabei ist   der Körper der komplexen Zahlen) liegt, der durch Adjunktion einer Quadratwurzel aus dem Körper

 

hervorgeht. Dabei ist grob gesprochen   die Menge, die aus Bilden aller Summen, Produkte und Quotienten aus rationalen Zahlen mit   entsteht. Hier ist   die Menge der komplex Konjugierten von   und das Symbol   steht für die Vereinigung zweier Mengen. Adjunktion einer Quadratwurzel bedeutet, dass es ein   geben muss, so dass  . Zum Beispiel geht   durch die Adjunktion einer Quadratwurzel aus den rationalen Zahlen hervor, da   eine rationale Zahl ist – entsprechend ist   die Menge aller Summen, Produkte und Quotienten rationaler Zahlen mit der Zahl  . Bei   handelt es sich um eine sogenannte Körpererweiterung. Das Problem der Würfelverdopplung mittels Zirkel und Lineal lässt sich also auf die Frage reduzieren, ob die Zahl   in einem Teilkörper von   liegt, der aus   durch sukzessive Adjunktion von Quadratwurzeln gewonnen werden kann. Das bedeutet jedoch, dass der Erweiterungsgrad von   aus   eine Potenz von 2 sein muss. Es ist aber

 

womit es unmöglich ist, die Würfelverdopplung mittels Zirkel und Lineal vorzunehmen.[24] Dass die Körpererweiterung   vom Grad 3 ist, kann wie folgt gesehen werden: Das Polynom   ist irreduzibel über den ganzen Zahlen und hat als höchsten Koeffizienten 1. Nach dem Lemma von Gauß ist   dann bereits irreduzibel über den rationalen Zahlen. Damit ist   bereits das Minimalpolynom von   und dieses hat den Grad 3. Daraus ergibt sich die Erkenntnis, dass jedes Element der Menge  , bestehend aus allen rationalen Zahlen, die mit der Kubikwurzel aus 2 beliebig durch die Grundrechenarten „vermengt“ wurden, eindeutig als   mit rationalen Zahlen   geschrieben werden kann. Zum Beispiel ist

 

Damit wird   zu einem drei-dimensionalen Vektorraum über  .

Mit dem gleichen Argument lässt sich zeigen, dass auch eine Würfelvervielfachung um einen natürlichen Faktor  , der keine Kubikzahl ist, sich nicht mit Zirkel und Lineal bewerkstelligen lässt.

Geometrische Konstruktionen mit mechanischen HilfsmittelnBearbeiten

Nimmt man zu den klassischen (euklidischen) Werkzeugen Zirkel und unmarkiertes Lineal ein weiteres mechanisches Hilfsmittel, wie zum Beispiel ein spezielles mechanisches Werkzeug[25] oder ein entsprechend markiertes Lineal, so kann die zur Würfelverdoppelung erforderliche Kantenlänge des Würfels theoretisch exakt dargestellt werden.

Mithilfe eines markierten LinealsBearbeiten

Konstruktionen mithilfe einer sogenannten Einschiebung,[26] auch als Neusis-Konstruktionen bezeichnet, verwenden neben dem Zirkel auch ein Lineal, auf dem eine spezielle Markierung als zusätzliche Hilfe aufgebracht ist.

Die folgende Neusis-Konstruktion in Bild 1, Heinrich Dörrie nennt sie Papierstreifenkonstruktion,[27] ist eine der bekanntesten. Sie stammt ursprünglich von Isaac Newton aus seinem in Latein erschaffenen Werk Arithmetica Universalis.

Konstruktion 1Bearbeiten

Bezeichnet man die Kante des Ausgangswürfels mit  , wird damit zunächst ein gleichseitiges Dreieck mit den Ecken   konstruiert. Es folgt die Verdoppelung der Strecke   ab   dabei ergibt sich der Schnittpunkt   Nun wird die Strecke   ab   verlängert. Anschließend wird eine Halbgerade ab   durch   gezeichnet. Nun setze ein mit dem Punkt   markiertes Lineal (Abstand Ecke   bis Punkt   entspricht  ) auf die Zeichnung. Drehe und schiebe das Lineal, bis dessen Ecke   auf der Verlängerung der Strecke   anliegt, die Markierung Punkt   auf der Verlängerung der Strecke   aufliegt und die Kante des Lineals durch den Punkt   verläuft. Abschließend verbinde den Punkt   mit  
Die Strecke   ist die Kantenlänge des gesuchten Würfels mit dem verdoppelten Volumen des Ausgangswürfels.
 
Bild 1: Neusis-Konstruktion mit markiertem Lineal nach Dörrie,
  und   sind die mittleren Proportionalen von   und  , wobei   die Kante des Ausgangswürfels ist.
 
Bild 2: Neusis-Konstruktion nach Isaac Newton,   und   sind die mittleren Proportionalen von   und  , wobei   die Kante des Ausgangswürfels ist.

Die Darstellung im Bild 2 sowie die folgende sinnmäßig übersetzte Beschreibung dazu, sind nach Isaac Newton.

Ich ziehe eine beliebige Linie, K A = a, halbiere sie in C und ziehe um den Mittelpunkt K mit Abstand K C einen Kreisbogen, ich bestimme C X = b und ziehe eine gerade Linie durch A X und eine durch C X, ich markiere E Y = C A, sodass eine gerade Linie durch E Y sowie durch den Punkt K gehen kann. [...][28]

Konstruktion 2Bearbeiten

Von Isaac Newton stammt auch diese weniger bekannte Neusis-Konstruktion (Bild 3),[29] die aber wegen ihrer Einfachheit bemerkenswert ist.

 
Bild 3: Neusis-Konstruktion mit markiertem Lineal nach Isaac Newton,
  Kante des Ausgangswürfels,
 .
Sie beginnt mit dem Errichten einer Senkrechten  , gleich der Kante   des Ausgangswürfels, auf eine Halbgerade ab  . Ein Winkelschenkel mit der Winkelweite   am Scheitel   schließt sich an. Nun setze ein mit dem Punkt   markiertes Lineal (Abstand Ecke   bis Punkt   entspricht  ) auf die Zeichnung. Drehe und schiebe das Lineal, bis dessen Ecke   auf dem Winkelschenkel liegt, die Markierung Punkt   auf der Halbgeraden ab   aufliegt und die Kante des Lineals durch den Punkt   verläuft. Abschließend verbinde den Punkt   mit   Der eingezeichnete Punkt   dient nur der einfacheren Formulierbarkeit im folgenden Beweis.
Die Strecke   ist die Kantenlänge des gesuchten Würfels mit dem verdoppelten Volumen des Ausgangswürfels.

Beweis der RichtigkeitBearbeiten

Das Bild 3 zeigt, die rechtwinkligen Dreiecke   (blau) und   (grün) sind wegen des Scheitelwinkels zueinander ähnlich,
folglich gilt nach dem 2. Strahlensatz
(1)  
rechtwinkliges Dreieck   und Tangens  
(2)  
Teile der Gleichung (2) quadriert
(3)  
umgeformt ergibt sich
(4)  
rechtwinkliges Dreieck   nach Satz des Pythagoras
(5)  
Wert von (5) eingesetzt in (4)
(6)  
 
 
umgeformt ergibt sich
(7)  
nach der Vereinfachung
(8)  
folgt daraus schließlich
(9)  
In Worten:
Das Volumen des Würfels   mit der Kantenlänge   ist gleich dem doppelten Volumen   des Ausgangswürfels mit der Kantenlänge  

Albrecht Dürers Konstruktion mithilfe eines Lineals mit StrichskaleBearbeiten

Albrecht Dürer veröffentlichte 1525 in seinem Werk Underweysung der Messung, mit dem Zirckel und Richtscheyt, in Linien, Ebenen unnd gantzen corporen, neben einer Näherungskonstruktion zur Dreiteilung des Winkels auch eine theoretisch exakte Lösung zur Würfelverdoppelung.[30] Als zusätzliches Hilfsmittel verwendete er dafür ein Lineal mit aufgezeichneter Strichskale.

GrundkonstruktionBearbeiten

 
Würfelverdoppelung nach Dürer

Zunächst stellt man sich zwei exakt aufeinanderliegende Würfel mit gleicher Kantenlänge vor, z. B. mit  . Auf ihrer gemeinsamen Mittelachse bestimmen sie somit die Punkte   und  . Der anschließende Halbkreis mit dem Radius   um   erzeugt den Durchmesser  , der mit der Mittelachse einen rechten Winkel bildet. Die nächste Linie wird ab Punkt   durch   gezogen, bis sie den Halbkreis in   schneidet. Die Grundkonstruktion ist somit fertiggestellt.

Nun ist die Aufgabe gestellt, mithilfe eines Lineals die Punkte   und   so zu bestimmen, dass die Strecken   und   die gleiche Länge aufweisen.

Ermittlung der gleichen Strecken |GH| und |HI|Bearbeiten

 
Würfelverdoppelung nach Dürer, Animation
Ermittlung der Strecken   mit zwei möglichen Vorgehensweisen, dazwischen und am Ende jeweils 15 sek. Pause
  • Dafür nimmt man ein schmales Lineal und bringt an einer Kante eine Strichskale mit gekennzeichneter Mitte an. Nun dreht und schiebt man das Lineal Schritt für Schritt vom Punkt   in Richtung Punkt  , dabei verläuft die Kante des Lineals stets durch den Punkt   und die Skalenmitte (roter Strich) bewegt sich auf der Mittelachse  . Das Ziel   ist erreicht, wenn beide Punkte   und   den gleichen Abstand zur Skalenmitte haben.
  • Denkbar ist hierfür auch eine Vorgehensweise, bei der man ein unmarkiertes Lineal und einen Zirkel verwendet. Hierzu dreht man das Lineal wieder Schritt für Schritt vom Punkt   in Richtung Punkt  , dabei verläuft die Kante des Lineals stets durch den Punkt  . Nach jedem dieser Schritte werden die Schnittpunkte   und   markiert und danach ein Kontrollkreisbogen (strichlierte Linie) mit dem Radius   um   eingetragen. Das Ziel   ist erreicht, wenn beide Punkte   und   auf dem Kontrollkreisbogen liegen.

Fertigstellung der KonstruktionBearbeiten

Weiter geht es mit dem Ziehen des Viertelkreises um   mit Radius  , bis er die Strecke   in   schneidet. Es folgt die Halbierung der Strecke   in  . Schließlich liefert ein Halbkreis über der Strecke   die theoretisch exakte Kantenlänge   des verdoppelten Würfels.

Beweis der RichtigkeitBearbeiten

Wird angenommen, dass   wahr ist (siehe Berechnungsskizze), dann ist ein möglicher Beweis für   =  , wenn die Behauptung   =   wahr ist.

 
Würfelverdoppelung nach Dürer, Berechnungsskizze

Hierfür werden vier rechtwinklige und – wegen ihrer gleichen Innenwinkel – zueinander ähnliche Dreiecke  ,  ,   und   verwendet.

Rechtwinkliges Dreieck  , darin ist   und  .
Nach dem Satz des Pythagoras gilt:
(1)  .
Rechtwinkliges Dreieck  , wegen   gilt nach dem 2. Strahlensatz
(2)  , sowie
(3)  .
Rechtwinkliges Dreieck  , darin ist  , wegen   gilt
(4)  
Rechtwinkliges Dreieck  , wegen   gilt
(5)  ,
wegen   gilt
(6)  .
Nun bedarf es nur noch zweier Differenzen von Strecken
(7)  .
(8)  
Daraus folgt
(9)  .
Somit ist  , was zu beweisen war.

Ermittlung der zwei mittleren Proportionalen mithilfe eines mechanischen WerkzeugsBearbeiten

Die Verwendung der beiden im Folgenden beschriebenen mechanischen Werkzeuge liefert die sogenannten zwei mittleren Proportionalen   und   des Hippokrates von Chios.[31] Sie werden für die Verdoppelung des Ausgangswürfels mit der Kantenlänge   benötigt. Die mittlere Proportionale   entspricht der gesuchten Kantenlänge   des verdoppelten Würfels.

Platons mechanische MethodeBearbeiten

 
Würfelverdoppelung nach Platon (Prinzipdarstellung),
  = Kantenlänge des Ausgangswürfels,   und   = Kantenlänge des verdoppelten Würfels, Animation am Ende 25 s Pause.

Wie in der Einleitung erwähnt, benennt Eutokios Platon als den Ersten, der die folgende Methode zur Lösung des Problems der Würfelverdoppelung anwandte. Zwar sprechen neuzeitliche Kommentatoren Platon dies wegen seiner vehementen Ablehnung mechanischer Hilfsmittel ab,[32] aber Lattmann beschreibt in seiner Studie Mathematische Modellierung bei Platon zwischen Thales und Euklid aus dem Jahr 2019 ausführlich, warum die Lösung zu Recht Platon zugeschrieben werden kann.[33]

„Konträr zur communis opinio steht fest, dass die Anekdote vom Delischen Problem weder insgesamt noch partiell fiktiv ist, sondern mit aller Wahrscheinlichkeit historisch korrekt ist. Auf dieser Grundlage kann in einem zweiten Schritt der in der Überlieferung Platon zugeschriebene Ansatz zum Delischen Problem als potentiell genuines, wenn auch indirekt überliefertes Platon-Zeugnis in den Blick genommen werden.“

Claas Lattmann: Verdoppeln ohne Verdoppeln: Platon und das Delische Problem[34]

Das mechanische Werkzeug (ohne eine Werkstoffangabe) besteht z. B. aus zwei U-förmigen Linealen. Damit das lose Lineal exakt parallel zu seinem Gegenüber verschiebbar ist, wird es in den beiden Seitenteilen entsprechend geführt.[25] Für eine gute Übersichtlichkeit ist das Werkzeug in der Aufsicht dargestellt. In der nebenstehenden Zeichnung wurden die originären teilweise griechischen Punktebezeichnungen verwendet.

VorgehensweiseBearbeiten

Zuerst werden die beiden gegebenen Variablen   und   senkrecht zueinander und mit Verlängerungen ab dem Punkt   gezeichnet.

Das Werkzeug wird nun auf folgende Art und Weise auf der Zeichnung bewegt (siehe Animation), bis die zwei mittleren Proportionalen   und   gefunden sind:

Die Innenkante des Grundelements   verläuft stets durch Punkt   und der Punkt   liegt stets auf der Verlängerung der Strecke   bevor der Punkt   des Lineals   auf die Verlängerung der Strecke   geschoben wird.

 
Platons mechanische Methode,
Nachweis

Als Ergebnis liefert das mechanische Werkzeug

  und  
NachweisBearbeiten

Wegen der Parallelität   und vier rechter Winkel am Scheitel   haben die folgenden Dreiecke gleiche Winkel und sind daher zueinander ähnlich:[32]

Euklid, Elemente, 1, 29:[35]

 

Da der Scheitel   einen rechten Winkel hat, sind folgende Winkel gleich:

Euklid, Elemente, 1, 32:[36]

 

Weil der Scheitel   einen rechten Winkel hat, sind auch folgende Winkel gleich:

 

Nach Euklid, Elemente 6, 4 ergeben sich somit die Proportionen:[37]

 

Eratosthenes’ mechanische MethodeBearbeiten

Eratosthenes von Kyrene ersann (basierend auf dem Satz des Hippokrates) ein mechanisches Werkzeug, das er in dem Brief an König Ptolemaios beschrieb als eine:

„[…] mechanische Vorrichtung zur Bestimmung, mittels deren wir zwischen zwei gegebenen geraden Linien nicht nur zwei mittlere Proportionale finden werden, sondern soviele man zu finden anordnet.“[38]

Die mechanische Vorrichtung ist vorstellbar als ein Kasten, gefertigt aus Holz, Bronze oder Elfenbein, mit drei sehr dünnen Täfelchen in Form identischer rechtwinkliger Dreiecke, die mithilfe von Rillen nach rechts oder links verschoben werden können. Bei einer Aufgabe, in der zu zwei Variablen mehr als zwei mittlere Proportionale gesucht sind, ist die erforderliche Anzahl der Dreiecke stets um eins größer als die Anzahl der gesuchten mittleren Proportionalen.[39] Eratosthenes ließ seine Lösung der Würfelverdoppelung im Tempel der Ptolemäer in Alexandria in Stein meißeln.[40]

 
Würfelverdoppelung nach Eratosthenes (Prinzipdarstellung),
  = Kantenlänge des Ausgangswürfels,   und   = Kantenlänge des verdoppelten Würfels,
Animation am Ende 10 s Pause.

Die im nebenstehenden Diagramm abstrahiert dargestellte mechanische Vorrichtung – wie Eratosthenes sie nennt – zeigt zwei parallele Strahlen   und   sie symbolisieren zwei Lineale. Zwischen den Linealen sind drei rechtwinklige Dreiecke, das erste ist fest am Punkt   die beiden anderen sind bis   verschiebbar geführt. Alternativ sind auch drei Rechtecke mit eingezeichneten Diagonalen möglich. Die hochkant gezeichneten Dreiecke haben als Höhe die Variable   und eine kleine Kathete mit frei wählbarer Länge (im Diagramm  ). Auf der zu   senkrecht stehenden Strecke  , im Punkt   des dritten Dreiecks, ist die Länge der zweiten Variablen   als Strecke   abgetragen.[41] Ein (nicht eingezeichneter) Strahl ab Punkt   durch   schneidet in   die Linie  , erzeugt die Strecke   und lässt somit die Grundidee der Vorrichtung, nämlich den Strahlensatz, erkennen.

VorgehensweiseBearbeiten

Nur wenige Schritte sind erforderlich, wenn z. B. das zweite Dreieck (blau) und das dritte Dreieck (gelb) auf folgende Art und Weise zwischen den Linealen bewegt werden, bis die zwei mittleren Proportionalen   und   gefunden sind (siehe Animation):

Stets zuerst das zweite Dreieck (blau) so in Richtung Punkt   verschieben, dass sich dessen Hypotenuse  , die Strecke   (rot) und die Senkrechte   im Punkt   schneiden. Erst im nächsten Schritt das dritte Dreieck (gelb) so nachschieben, dass sich dessen Hypotenuse  , die Strecke   (rot) und die Senkrechte   im Punkt   schneiden. Wiederholungen dieser Schritte liefern die zwei mittleren Proportionalen   und  

NachweisBearbeiten

Wenn sich die beiden Strahlen durch   bzw. durch   in   schneiden, dann ist

 
Würfelverdoppelung nach Eratosthenes (Prinzipdarstellung), Nachweis[41]
 

und

 ,

während

 

deshalb

 

Ähnlich

 

Damit sind   und   in kontinuierlicher Proportion sowie   und   die zwei mittleren Proportionalen.

Konstruktion über spezielle KurvenBearbeiten

Soll ein Würfel mit der Kantenlänge   bezüglich seines Volumens   mit   als Kantenlänge des größeren Würfels verdoppelt werden, so gilt zur Bestimmung der zwei mittleren Proportionalen   und   der Satz des Hippokrates von Chios:[31]

 

Eliminiert man  , so ergibt sich:

 

daraus folgt:[31]

(1)  

Eliminiert man  , so ergibt sich:

 

daraus folgt:

(2)  

Aus Gründen des besonderen Schwierigkeitsgrades – Dreidimensionalität, erste Hälfte des 4. Jahrhunderts v. Chr. – wird im Folgenden die Lösung des Problems mithilfe der Kurve des Archytas ausführlich beschrieben.

Kurve des ArchytasBearbeiten

 
Situation: Die zwei mittleren Proportionalen sind gefunden.
Gekennzeichnet ist dies durch den Kreuzungspunkt   (grün) der beiden Durchdringungskurven, die durch das Zusammenspiel der drei Figuren entstehen: Halbzylinder mit Kurve des Archytas (rot gepunktet), Achtel eines Horntorus (anthrazit) und Kegelausschnitt   (gelb) mit dreieckiger Schnittfläche (blau). Durchmesser  

Ein paar Jahrzehnte früher als Archytas gelang Hippokrates von Chios die Verdoppelung des Würfels, indem er sie auf ein Problem der Konstruktion von Verhältnissen zurückführte.[9] Archytas von Tarent gelang deren theoretische Konstruktion mit einer nach ihm benannten speziellen Kurve. Für deren Visualisierung bzw. Anwendung bedarf es folgender drei Figuren[42] (siehe nebenstehendes Diagramm):

  • Halbzylinder, steht auf einem Halbkreis   mit Radius   und Durchmesser   Die Höhe des Halbzylinders beträgt ca.  
  • Achtel eines sogenannten Horntorus[43], quasi ein Torus ohne „Loch“ mit Radius  
  • Kegelausschnitt  , entnommen vom Kegel mit Radius   und Höhe  , mit dem Dreieck   als dessen Schnittfläche. Der Kegelausschnitt erreicht seine maximale Größe, nämlich ein Viertel des Gesamtkegels, wenn das Dreieck   mit dem Dreieck   einen Winkel von   einschließt und damit auf der rechteckigen Fläche des Halbzylinders liegt.

Die Kurve des Archytas ist eine sogenannte Schnittkurve, die entsteht, wenn ein Halbzylinder ein Achtel eines Horntorus durchdringt. Wie im Diagramm erkennbar, durchdringt das Viertel des Kegels   die beiden benachbarten Figuren und erzeugt dadurch eine, mit der Kurve des Archytas kreuzende, zweite Schnittkurve.

Die zwei mittleren Proportionalen sind dann gefunden, wenn die Hypotenuse   der dreieckigen (blauen) Schnittfläche des Kegels die Kurve des Archytas im (grünen) Punkt   schneidet. Der Punkt   liegt auf der Mantelfläche des Halbzylinders (auf der Kurve des Archytas), auf der dreieckigen Schnittfläche des Kegelausschnitts und auf der halbkreisförmigen Schnittfläche des Horntorus.

Geometrische VorüberlegungBearbeiten

 
Geometrische Vorüberlegung bezüglich der zwei mittleren Proportionalen   (rot) und   (blau)

Das nebenstehende Bild sowie das dazu ähnliche Bild im folgenden Abschnitt zeigen den geometrischen Ansatz, den Archytas nutzte, um damit die von ihm gefundene Kurve mithilfe von zwei mittleren Proportionalen zu beschreiben.[44] Die Figur besteht u. a. aus zwei rechtwinkligen, zueinander ähnlichen Dreiecken   und   mit je einem Thaleskreis. Der zur Grundfläche des Halbzylinders senkrecht stehende und um Punkt   drehbare Halbkreis – mit den zwei mittleren Proportionalen   und   – hat den Durchmesser   der Durchmesser des Halbzylinders (s. Bild Kurve des Archytas) ist  

Mit eingesetzten Werten aus (1) und (2) gilt nach Hippokrates von Chios:

(3)  
(4)  

Es gelten die folgende Streckenverhältnisse:

(5)  
(6)  

Konstruktion der Kantenlänge des verdoppelten WürfelsBearbeiten

 
Würfelverdoppelung mit einem Teil der Kurve des Archytas (rot);
zwecks Übersichtlichkeit ist der Horntorus im Abschnitt Kurve des Archytas dargestellt. Ist in der Animation   erreicht, entspricht dies dem in der kleinen Skizze dargestellten geometrischen Ansatz des Archytas.
Animation, dazwischen 15 s und am Ende 25 s Pause.
  Siehe Animation der Konstruktion

Für eine zeichnerische Darstellung – wie im nebenstehenden Bild – verwendet man eine sogenannte Dynamische Geometrie Software (DGS).[42]

Es beginnt mit dem Zeichnen des Einheitskreises mit Durchmesser  . Der anschließende Radius   um   schneidet den Kreis in   Es folgen eine Tangente durch   und die Verlängerung der Strecke   beide schneiden sich im Punkt   Eine Parallele zu   ab   schneidet den Durchmesser   in   und den Kreis in  

Als Nächstes wird ein kurzer Kreisbogen um   mit dem Radius   gezogen und darauf der Punkt   mit frei wählbarer Position festgelegt. Nach dem Verbinden des Punktes   mit   ergibt dies die Schnittpunkte   auf   sowie   auf dem Halbkreis   Es folgen ein Halbkreis über   und eine Senkrechte auf   in   sie ergeben den Schnittpunkt   auf dem Halbkreis über   Der nächste Halbkreis über   und eine Senkrechte auf   in   ergeben den Schnittpunkt   auf dem Halbkreis über   Das Errichten des Halbzylinders (Höhe ca. 2,5) über dem Halbkreis   schließt sich an.

Es geht weiter mit dem Ziehen eines Kreisbogens um den Punkt   mit dem Radius   er schneidet in   die Verlängerung der Kante des Halbzylinders, die zu   führt. Nun wird der Punkt   mit   verbunden. Eine Linie von   durch den Punkt   bis zum Kreisbogen   gezogen ergibt den Schnittpunkt   Die Verbindung   mit   erzeugt das mit dem Dreieck   kongruente Dreieck   Dies ist möglich, da der Halbkreis über   und der Viertelkreis   zueinander parallel sind. Betrachtet man im Kontext die beiden ebenfalls kongruenten Dreiecke   und   sowie den Kreisbogen   um   so ist das Viertel eines Kegels mit dessen Höhe   zu erkennen. Nach dem Verbinden der Punkte   mit   sowie   mit   ergeben sich schließlich die beiden maßgeblichen rechtwinkligen Dreiecke   und  

Der Halbkreis über   – die Schnittfläche eines nicht eingezeichneten Horntorus – soll nun um den Punkt   so weit gegen den Uhrzeigersinn gedreht werden, bis die Hypotenuse   des ebenfalls, aber im Uhrzeigersinn, gedrehten Dreiecks   den Halbkreis über   in   schneidet. Es ist zu beachten, dass die Strecken   und   senkrecht aufeinander stehen. Nach dem Höhensatz von Euklid ergibt sich damit

 

Es folgt aus  , dass der Winkel   in dieser Stellung gleich   ist. Die vier Dreiecke  ,   und   sowie   sind daher zueinander ähnlich. Die so einregulierte Strecke   entspricht der gesuchten Kantenlänge   des verdoppelten Würfels, siehe oben.

Der Punkt   im Dreieck   bestimmt während der Drehung des Halbkreises über   die (rote) Kurve des Archytas auf der Mantelfläche des Halbzylinders.

  • Für einen exakten Haltepunkt (Punkt   trifft auf die Hypotenuse   des Dreiecks  ) der animierten Drehung des Halbkreises über   wird die Strecke   mithilfe der DGS[45] bestimmt.

Parabel nach MenaichmosBearbeiten

 
Menaichmos: Der Schnittpunkt   der zwei Parabeln liefert die beiden mittleren Proportionalen   und  
somit gilt auch  
sowie   und  

Menaichmos löste das Problem bezüglich Konstruktion der zwei erforderlichen mittleren Proportionen als Schnitt zweier Kegelschnitte (basierend auf Hippokrates’ Umformung des Problems).[46]

Dazu schreibt Johann Christoph Sturm:
(typographisch normalisiert)

Auflösung.
So nun gegeben sind zwey gerade Lineen AB und BC, zwischen welchen zwey mittlere
gleichverhaltende sollen gefunden werden/ so setze die beyde gegebene winkelrecht auf einander/
und verlängere sie gegen D und E, ohne Maaß/ hinaus; beschreibe so dann/ nach Erforderung
der Lini BC, umb BE eine Parabel/ (also nehmlich/ daß die Vierung einek jeden/ von ihrem
Umbkreiß auf BE senkrecht gezogenen/ Lini (als hier die Vierung EF) gleich sey dem Recht-
ekk aus BC und bem [dem][47] Teihl der Mittel-Lini zwischen B und der vorigen senkrechten (hier BE)
Besihe unten die Anmerkung. Wiederumb beschreibe/ voriger massen/ umb BD, nach
Erforderung der Lini AB eine andere Parabel/ und aus dem Punct F, in welchem sie einander
durchschneiden/ ziehe die senkrechte Lineen FD und FE, so werden BE und BD die begehrte
zwey mittlere gleichverhaltende seyn.“

Johann Christoph Sturm: Des Unvergleichlichen ARCHIMEDIS Kunst-Bücher. 1670[48]

Parabel nach J. BolyaiBearbeiten

 
Johann Bolyai, Verdoppelung des Würfels mit nur einer Parabel  

Johann Bolyai machte während seiner Studienzeit Aufzeichnungen über die Winkeldreiteilung (1898 von Paul Stäckel gefunden) und wie erst später entdeckt, auch zur Würfelverdoppelung. Sein Hauptaugenmerk lag insbesondere auf das n-malige Vervielfachen des Volumens eines Ausgangswürfels. Er generierte dazu Lösungen mithilfe einer Hyperbel, zweier Parabeln sowie mit einer von ihm entwickelten Zissoide. Dabei fand er auch eine offensichtlich sehr einfache Lösung zur Verdoppelung, die mit einer einzigen Parabel, wie im Folgenden beschrieben, auskommt.[49]

Die Aufzeichnungen darüber veröffentlichte Róbert Oláh-Gál im Jahr 2007 in einem Aufsatz. Er weist darauf hin, dass die von Bolyai verwendeten Bezeichnungen auf den heutigen Gebrauch umgeschrieben, und wo es nötig war, ergänzt wurden.[49]

Vorgehensweise

In einem kartesischen Koordinatensystem wird zuerst auf die x-Achse, ab dem Koordinatenursprung   die Seitenlänge   des Ausgangswürfels zweimal abgetragen; dabei ergeben sich die Strecken   und  . Nach der Halbierung der Strecke   in   folgt das Errichten der senkrechten Strecke   auf  . Der Kreis um   durch die Punkte   und   schließt sich an. Abschließend wird die Parabel   generiert; dabei ergibt sich der Schnittpunkt  , und das Lot auf   mit dem Fußpunkt   gefällt. Die so gefundene Strecke   ist die Seitenlänge des verdoppelten Würfels.

Die gepunkteten Linien sowie die Punkte   und   sind nicht Teil der Lösung, sie dienen lediglich für den Beweis nach Oláh-Gál.[50]

Zissoide des DioklesBearbeiten

 
Bild 1: Zissoide des Diokles, Animation

Diokles löste das Problem der beiden mittleren Proportionalen mit der nach ihm benannten Kurve, auch bekannt als Kissoide des Diokles.

Bezeichnet man die beiden Proportionalen mit   und   so ergibt sich als zu lösendes Konstruktionsproblem „die doppelte Proportion zwischen a und 2a“.[15]

 

Darin ist   die gesuchte Seitenlänge (im Bild 2 mit   bezeichnet), es gilt

 [15]
Vorüberlegung
 
Bild 2: Würfelverdoppelung mithilfe der Zissoide des Diokles

Die kartesischen Koordinaten der Zissoide sind z. B.

 [51]

Die Konstruktion wird vereinfacht, wenn der Wert des Faktors   in den kartesischen Koordinaten der Zissoide gleich dem der Kantenlänge   des Ausgangswürfels ist. Es wird nur der Teil des Graphen der Zissoide benötigt, der im 1. Quadranten eines kartesischen Koordinatensystems liegt.

Vorgehensweise

Es sei   der Koordinatenursprung,   der Mittelpunkt des Halbkreises mit beliebigem Radius   und   der Durchmesser.

Um einen Punkt auf der Zissoide zu bestimmen (siehe Bild 1), bedarf es der zwei Parallelen   und  . Sie stehen senkrecht auf dem Durchmesser   und haben aufgrund des Halbkreises die gleiche Länge sowie den gleichen Abstand zum Mittelpunkt  . Wird die Parallele   bewegt, so liefert die Halbgerade ab   mithilfe des Punktes   – entweder direkt auf der Parallelen   oder auf deren Verlängerung – den auf der Zissoide liegenden Punkt  .

Eine kontinuierliche Veränderung des Abstandes der beiden Parallelen   und   zueinander erzeugt, wegen des dadurch bewegten Punktes  , im Koordinatenursprung   den Graphen der Zissoide im 1. Quadranten.

Es geht weiter (siehe Bild 2) mit der auf dem Durchmesser   senkrecht stehenden Strecke   mit der Länge gleich   Die Verbindung des Punktes   mit   schneidet den Graphen der Zissoide in   Die abschließende Verbindung des Punktes   mit   liefert mit   die gesuchte Seite   des verdoppelten Würfels.

Die parallel zu   strichliert eingezeichnete Strecke   dient lediglich der Beweisführung.[15]

Würfelverdoppelung mit OrigamiBearbeiten

Die Verdoppelung des Würfels kann auch – so wie die Dreiteilung des Winkels – mit dem zusätzlichen Hilfsmittel Origami konstruiert werden. Verwendet wird hierfür ein quadratisches oder rechteckiges Blatt Papier.[52]

Beim fertigen Origami ist zu berücksichtigen, dass das Ergebnis der Faltungen nicht die Kantenlänge   eines vorgegebenen Ausgangswürfels berücksichtigt. Das Ergebnis zeigt eine Strecke, die im Verhältnis   geteilt ist und deren Längenwerte unbekannt sind. Erst die anschließende sogenannte zentrische Streckung mit der vorgegebenen Kantenlänge   des Ausgangswürfels als Basis, liefert die gesuchte Kantenlänge   des verdoppelten Würfels.

Vorgehensweise

Um drei gleiche Teile der Blatthöhe   als Faltlinien zu erhalten, wird zuerst das Blatt in der Mitte gefaltet (siehe Bild 1); dabei ergeben sich an den beiden Blattkanten   und   die Punkte   bzw.  . Es folgen die diagonale Falte   und die Falte   sie schneiden sich im Punkt   Die nächste Falte durch den Punkt   und parallel zur Blattkante   bestimmt das erste Drittel der Blatthöhe; dabei ergeben sich an den beiden Blattkanten   und   die Punkte   bzw.  . Für das zweite und dritte Drittel der Blatthöhe legt man die Blattkante   auf die Falte   dabei ergeben sich an den beiden Blattkanten   und   die Punkte   bzw.  .

Als Nächstes wird die Falte   so gelegt (siehe Bild 2), dass die Ecke   des Blattes auf der Kante   und der Punkt   auf der Falte   zum Liegen kommt. Somit teilt   die Strecke   im Verhältnis  

Für das Bestimmen der Kantenlänge   (siehe Bild 3) bedarf es – wie oben begründet – der Übertragung der Strecke   inklusive des Teilungspunktes   als Orthogonale (Senkrechte) auf einer Geraden  , einer ebenfalls senkrecht zu   angeordneten Kantenlänge   des Ausgangswürfels sowie des Punktes   auf   Es folgt ein Strahl ab dem Punkt   durch   bis er die Maßhilfslinie der Kantenlänge   in   schneidet. Anschließend wird im Punkt   eine Senkrechte auf die Maßhilfslinie errichtet. Der abschließende zweite Strahl ab   durch   liefert die Strecke   mit der Länge   als die gesuchte Kantenlänge des verdoppelten Würfels.

Iterative Näherungskonstruktion der Kubikwurzel aus 2Bearbeiten

Aus oben bereits beschriebenen Gründen kann das Ergebnis der Kubikwurzel   nicht mit Zirkel und Lineal mit endlichen Konstruktionsschritten exakt dargestellt werden.

Einen Weg für sehr gute Näherungen ermöglicht das Newtonverfahren.[53] Im Folgenden wird es verwendet, um für die Würfelverdoppelung die reelle Nullstelle der Funktion

 
Die Funktion   liefert zwar den exakten Wert der  , ist aber nicht allein mit Zirkel und Lineal konstruierbar.
 

als Näherung mit wenigen Iterationsschritten zu erreichen.

Als Startwert kann   genommen werden. Die Iterationsschritte des Algorithmus sind durch

 

definiert.

Weil der Ausdruck für   nur die Grundrechenarten enthält, lässt sich das Ergebnis jedes Iterationsschritts als Strecke mit Zirkel und Lineal konstruieren.

Berechnung der IterationsschritteBearbeiten

In der Formel

 

liefert der Term auf der rechten Seite der Gleichung das Ergebnis des  -ten Iterationsschrittes. Ein Iterationsschritt setzt sich aus sechs algebraische Operationen zusammen, von denen stets die Fünfte der Zähler und die Zweite der Nenner eines unechten Bruchs sind.

 

1. Iterationsschritt  , fünf Operationen haben   z. B.   eingesetzter Wert für  

 
 
 
Verdeutlichung der berechneten Werte:
  entspricht dem 1. Interationsschritt mit   sowie
  dem 3. Iterationsschritt mit  
Der nicht eingezeichnete 2. Iterationsschritt mit   liegt bereits sehr nahe an  

2. Iterationsschritt  , fünf Operationen haben   z. B.   eingesetzter Wert für  

 
 

3. Iterationsschritt  , fünf Operationen haben   z. B.   eingesetzter Wert für  

 

Dieser Ablauf lässt sich beliebig oft wiederholen. Es liegt quadratische Konvergenzgeschwindigkeit vor, was das Verfahren vergleichsweise effizient macht.

Konstruktion mit Zirkel und LinealBearbeiten

Bereits nach zwei Iterationsschritten ist die Effizienz der Anwendung des Newtonverfahrens gut erkennbar, der bis dahin erreichte Näherungswert ist   Es folgt nun eine konstruktive Weiterführung bis zum Erreichen des 3. Iterationsschritts mit dem Näherungswert  .

Zuerst wird der unechte Bruch   umformuliert in den (unechten) Dezimalbruch   und anschließend als exakte Länge   auf einer Zahlengerade (Bild 1) abgebildet. Dazu eignet sich z. B. die Methode Konstruktion einer Dezimalzahl mithilfe des 3. Strahlensatzes. Wegen der Größenverhältnisse ist es von Vorteil, dies in einem eigenen Bild zu zeigen.

Im nächsten Schritt wird die Länge   (rot) aus Bild 1 in das Bild 2 (grün, Ziffer 2) übertragen. Es folgt das Bestimmen der Quadratzahl (Ziffer 3) und der Kubikzahl (Ziffer 4) von   Im fünften Schritt wird die Kubikzahl von   mit dem Faktor   multipliziert und die Zahl   addiert. Abschließend (Ziffer 6) wird der Quotient   (rot) ermittelt:

 
 
Bild 1
Konstruktion des 3. Iterationsschritts, Operation 1: Bruch  
 
Bild 2
Konstruktion des 3. Iterationsschritts, Operationen 2–6 liefern  

Beispiel, um den Fehler zu verdeutlichen

 

Bei einem Ausgangswürfel mit der Kantenlänge   m wäre die Kante des nur näherungsweise verdoppelten Würfels ca.   mm zu lang.

  • Nur einen Iterationsschritt mehr, sprich, mit den Operationen 7–11 in einem Bild 3, würde man bereits den sehr genauen Wert   (vergleiche Sollwert) erhalten.[54]
Damit wäre bei einem Ausgangswürfel mit der Kantenlänge   km die Kante des nur näherungsweise verdoppelten Würfels ca.   mm zu lang.[55]

LiteraturBearbeiten

WeblinksBearbeiten

Commons: Würfelverdoppelung – Sammlung von Bildern
Wikibooks: Verdoppelung des Würfels – Lern- und Lehrmaterialien
  Wikisource: Delisches Problem – Artikel der 4. Auflage von Meyers Konversations-Lexikon

EinzelnachweiseBearbeiten

  1. Reviel Netz: The Works of Archimedes, Translated into English, together with Eutocius’ commentaries, ... Band 1: The Two Books On the Sphere and the Cylinder. Cambridge University Press, New York 2004, ISBN 0-521-66160-9, S. 270–306.
  2. Zur Echtheit des bei Eutokios überlieferten Brieftextes W. R. Knorr: The Ancient Tradition of Geometric Problems. Boston 1986, S. 17–24. Zur Frage, welcher König Ptolemaios gemeint ist, siehe etwa W. R. Knorr: Textual Studies in Ancient and Medieval Geometry. Boston 1989, S. 144 f.
  3. a b c Reviel Netz: The Works of Archimedes, Translated into English, together with Eutocius’ commentaries, ... Band 1: The Two Books On the Sphere and the Cylinder. Cambridge University Press, New York 2004, ISBN 0-521-66160-9, S. 294.
  4. Richard Kannicht, Bruno Snell: Tragicorum Graecorum Fragmenta. 2. Auflage. Band 2. Vandenhoeck & Ruprecht, Göttingen 2007, S. 62, Fragment Adespota F 166; zur Behandlung des Glaukos-Stoffes bei den Tragödiendichtern siehe Georg Weicker: Glaukos 23. In: Paulys Realencyclopädie der classischen Altertumswissenschaft (RE). Band VII,1, Stuttgart 1910, Sp. 1415 f.
  5. Eine ausführliche Analyse des antiken Quellenmaterials zur Delier-Anekdote und den möglichen historischen Grundlagen bietet Claas Lattmann: Mathematische Modellierung bei Platon zwischen Thales und Euklid (= Science, Technology, and Medicine in Ancient Cultures. Band 9). De Gruyter, Berlin/Boston 2019, S. 187–206; zu den drei mechanischen Ansätzen und Platons Kritik ebd., S. 220–241.
  6. Reviel Netz: The Works of Archimedes, Translated into English, together with Eutocius’ commentaries, ... Band 1: The Two Books On the Sphere and the Cylinder. Cambridge University Press, New York 2004, ISBN 0-521-66160-9, S. 273. Anmerkung 17
  7. Zum Beispiel Joseph: The crest of the peacock. Princeton UP, 2001, S. 330.
  8. Horst Hischer: Moritz Cantor und die krumme Linie des Archytas von Tarent. In: Lisa Hefendehl-Hebeker, Stephan Hußmann (Hrsg.): Mathematikdidaktik zwischen Fachorientierung und Empirie. Festschrift für Norbert Knoche. Franzbecker, Hildesheim/Berlin 2003, ISBN 978-3-88120-364-7, S. 74 (uni-sb.de [PDF; 1,6 MB; abgerufen am 25. Juli 2022]).
  9. a b Horst Hischer: Moritz Cantor und die krumme Linie des Archytas von Tarent. In: Lisa Hefendehl-Hebeker, Stephan Hußmann (Hrsg.): Mathematikdidaktik zwischen Fachorientierung und Empirie. Festschrift für Norbert Knoche. Franzbecker, Hildesheim/Berlin 2003, ISBN 978-3-88120-364-7, S. 78 (uni-sb.de [PDF; 1,6 MB; abgerufen am 25. Juli 2022]).
  10. Horst Hischer: 5.1 Lösungswerkzeug: Holzrahmen-Apparat (vermutlich von Eratosthenes). Zum Problem der Würfelverdoppelung in der Darstellung durch Johann Christoph Sturm 1670. Hrsg.: Universität des Saarlandes. Saarbrücken 2015, S. 5 (uni-sb.de [PDF; abgerufen am 25. Juli 2022]).
  11. François Lasserre (Hrsg.): Die Fragmente des Eudoxos von Knidos. Berlin 1966, S. 20–22, 163–166.
  12. Horst Hischer: 6.1 Lösungsweg: Schnittpunkt von zwei Parabeln nach Menaichmos. Zum Problem der Würfelverdoppelung in der Darstellung durch Johann Christoph Sturm 1670. Hrsg.: Universität des Saarlandes. Saarbrücken 2015, S. 9 (uni-sb.de [PDF; abgerufen am 25. Juli 2022]).
  13. Reviel Netz: The Works of Archimedes, Translated into English, together with Eutocius’ commentaries, ... Band 1: The Two Books On the Sphere and the Cylinder. Cambridge University Press, New York 2004, ISBN 0-521-66160-9, S. 295.
  14. Horst Hischer: 5.2 Lösungswerkzeug: das Mesolabium des Eratosthenes. Zum Problem der Würfelverdoppelung in der Darstellung durch Johann Christoph Sturm 1670. Hrsg.: Universität des Saarlandes. Saarbrücken 2015, S. 7 (uni-sb.de [PDF; abgerufen am 25. Juli 2022]).
  15. a b c d Pascal Praß, Adrian De Lont: Würfelverdoppelung mit der Kissoiden. Allgemeine Kissoiden, Seminar über höhere Kurven. Universität Mainz, 2016, S. 12, abgerufen am 5. Juli 2021.
  16. A. D. Steele: Über die Rolle von Zirkel und Lineal in der griechischen Mathematik. In: Quellen und Studien zur Geschichte der Mathematik, Astronomie und Physik. Band B 3, 1936, S. 287–369 (auch speziell zum Problem der Würfelverdopplung).
  17. Pierre Wantzel: Recherches sur les moyens de reconnaître si un Problème de Géométrie peut se résoudre avec la règle et le compas (= Journal de mathématiques pures et appliquées (Liouville’s Journal). Band 2). 1837, S. 366–372.
  18. Adhémar Jean Claude Barré de Saint-Venant: Biographie. Wantzel. In: Nouvelles Annales de Mathématiques. Série 1. Band 7, 1848, ZDB-ID 426713-8, S. 321–331, S. 329: Publikationen im Journal des mathématiques pures (französisch, numdam.org [PDF; 780 kB; abgerufen am 10. April 2021]).
  19. Jesper Lützen:: Why was Wantzel overlooked for a century? The changing importance of an impossibility result. (PDF) In: Historia Mathematica 36. Universität W&M, 28. Oktober 2009, S. 378–379, abgerufen am 31. Mai 2022 (englisch).
  20. Jesper Lützen:: Why was Wantzel overlooked for a century? The changing importance of an impossibility result. (PDF) In: Historia Mathematica 36. Universität W&M, 28. Oktober 2009, S. 379, abgerufen am 31. Mai 2022 (englisch).
  21. Jesper Lützen:: Why was Wantzel overlooked for a century? The changing importance of an impossibility result. (PDF) In: Historia Mathematica 36. Universität W&M, 28. Oktober 2009, S. 391, abgerufen am 31. Mai 2022 (englisch).
  22. Jesper Lützen:: Why was Wantzel overlooked for a century? The changing importance of an impossibility result. (PDF) In: Historia Mathematica 36. Universität W&M, 28. Oktober 2009, S. 387, abgerufen am 31. Mai 2022 (englisch).
  23. Christoph J. Scriba, Peter Schreiber: 5000 Jahre Geometrie. 3. Auflage. Springer-Verlag, Berlin/Heidelberg 2010, ISBN 978-3-642-02361-3, S. 405.
  24. Falko Lorenz: Algebra Volume I: Fields and Galois Theory, Springer, S. 6–13.
  25. a b Claas Lattmann: Mathematische Modellierung bei Platon zwischen Thales und Euklid. 5.3 Platons Würfelverdopplung und der mechanische Beweis (= Science, Technology, and Medicine in Ancient Cultures. Band 9). Walter de Gruyter, Berlin/Boston 2019, ISBN 978-3-11-061382-7, S. 213 (eingeschränkte Vorschau in der Google-Buchsuche).
  26. Klaus Volkert: Geschichte der geometrischen Konstruktionsprobleme I. (PDF; 1,5 MB) In: Vorlesung, Universität zu Köln im WS 06/07; […] Siebeneck. Universität Wuppertal, 2006, S. 20, abgerufen am 15. September 2018.
  27. Heinrich Dörrie: 35. The Delian Cube-doubling Problem. In: 100 Great Problems of Elementary Mathematics. New York, Dover Publications, Inc., 1965, S. 170–171, abgerufen am 5. Mai 2019.
  28. Isaac Newton, Übersetzer Ralphson: Universal Arithmetick: Or, A Treatise of Arithmetical Composition and Resolution. In: Appentix. The Linear Construction of Equations . 1728, S. 242 (eingeschränkte Vorschau in der Google-Buchsuche) Letzter Absatz, Tab: VII, Fig. 99, abgerufen am 24. März 2022.
  29. Skip Lester: History of Mathematics. (PDF; 14,2 MB) 7. Isaac Newton (1642–1727) suggested the following construction for duplicating the cube. University of Washington, S. 11, abgerufen am 8. November 2019.
  30. Albrecht Dürer: Underweysung der messung mit dem zirckel un[d] richtscheyt, in Linien ebnen unnd gantzen corporen. SLUB, Digitale Sammlungen, 1525, S. 157–158, abgerufen am 24. Mai 2022.
  31. a b c Horst Hischer: Moritz Cantor und die krumme Linie des Archytas von Tarent. (PDF; 1,5 MB) Universität des Saarlandes, 2003, S. 76, abgerufen am 30. Oktober 2020.
  32. a b Claas Lattmann: Mathematische Modellierung bei Platon zwischen Thales und Euklid. 5.3 Platons Würfelverdopplung und der mechanische Beweis (= Science, Technology, and Medicine in Ancient Cultures. Band 9). Walter de Gruyter, Berlin/Boston 2019, ISBN 978-3-11-061382-7, S. 215 ff. (eingeschränkte Vorschau in der Google-Buchsuche).
  33. Claas Lattmann: Mathematische Modellierung bei Platon zwischen Thales und Euklid. 5.23 Die archäologische und historische Perspektive (= Science, Technology, and Medicine in Ancient Cultures. Band 9). Walter de Gruyter, Berlin/Boston 2019, ISBN 978-3-11-061382-7, S. 199–212 (eingeschränkte Vorschau in der Google-Buchsuche).
  34. Claas Lattmann: Mathematische Modellierung bei Platon zwischen Thales und Euklid, 5 Platon und das Delische Problem, 5.2.4 Fazit. Walter de Gruyter, Berlin/Boston 2019, S. 207, letzter Absatz (eingeschränkte Vorschau in der Google-Buchsuche)
  35. Euklid: Elemente Stoicheia. Buch 1, Proposition 29. Edition Opera-Platonis, Markgröningen 2017, S. 17 (opera-platonis.de [PDF; 469 kB; abgerufen am 12. April 2021]).
  36. Euklid: Elemente Stoicheia. Buch 1, Proposition 32. Edition Opera-Platonis, Markgröningen 2017, S. 19 (opera-platonis.de [PDF; 469 kB]).
  37. Euklid: Elemente Stoicheia. Buch 6, Proposition 4. Edition Opera-Platonis, Markgröningen 2017, S. 4 (opera-platonis.de [PDF; 529 kB; abgerufen am 11. April 2021]).
  38. Übersetzung nach Claas Lattmann: Mathematische Modellierung bei Platon zwischen Thales und Euklid. Walter de Gruyter, Berlin/Boston 2019, ISBN 978-3-11-061382-7, S. 182 (eingeschränkte Vorschau in der Google-Buchsuche).
  39. Reviel Netz: The Works of Archimedes, Translated into English, together with Eutocius’ commentaries, ... Band 1: The Two Books On the Sphere and the Cylinder. Cambridge University Press, New York 2004, ISBN 0-521-66160-9, S. 294–298.
  40. Bartel Leendert van der Waerden: Science Awakening. 1956, 230 f. Drei Rechtecke oder Dreiecke, die längs eines Lineals verschoben werden konnten, dessen eine Seite frei drehbar war.
  41. a b Thomas Heath: A History of Greek Mathematics. The Duplication Of The Cube, (ζ) Eratosthenes. Band 1. The Clarendon Press, Oxford 1921, S. 259 (englisch, Scan – Internet Archive).
  42. a b Horst Hischer: Moritz Cantor und die krumme Linie des Archytas von Tarent. (PDF; 1,5 MB) Universität des Saarlandes, 2003, S. 79 ff., abgerufen am 1. November 2020.
  43. Weisstein, Eric W.: Horn Torus. WolframMathWorld, abgerufen am 30. Mai 2022.
  44. Rudolf Stopfer: Die Verdoppelung des Würfels, 5. Lösung nach Archytas. Seminar: Klassische Probleme der Antike. Universität Bayreuth, 8. Juni 1997, archiviert vom Original am 27. Februar 2016; abgerufen am 8. März 2022.
  45. Didaktik der Mathematik, Dynamische Geometriesoftware. Universität Würzburg, abgerufen am 4. August 2021.
  46. Horst Hischer: 6.1 Lösungsweg: Schnittpunkt von zwei Parabeln nach Menaichmos. (PDF; 1,2 MB) Zum Problem der Würfelverdoppelung in der Darstellung durch Johann Christoph Sturm 1670. Universität Saarland, 2015, S. 9–10, abgerufen am 1. Mai 2019 (Preprint Nr. 367).
  47. Emendation ergibt sich aus dem Satzzusammenhang.
  48. Johann Christoph Sturm: Der zweyte kunſtrichtige oder Geometriſche Weg … [Der zweyte kunstrichtige oder Geometrische Weg …] In: Des Unvergleichlichen ARCHJMEDJS Kunſt-Bücher. [Des Unvergleichlichen ARCHIMEDIS Kunst-Bücher.] Nürnberg 1670. DTA Deutsches Textarchiv, S. 118 ff., hier S. 119, urn:nbn:de:kobv:b4-20590-8 (Digitalisat und Volltext im Deutschen Textarchiv, abgerufen am 2. November 2020).
  49. a b Róbert Oláh-Gál: Die aus der Studienzeit stammenden Aufzeichnungen des Johann Bolyai über die Würfelverdoppelung. researchgate.net, 16. Februar 2007, S. 3, abgerufen am 12. Januar 2022.
  50. Róbert Oláh-Gál: Die aus der Studienzeit stammenden Aufzeichnungen des Johann Bolyai über die Würfelverdoppelung. researchgate.net, 16. Februar 2007, S. 7, abgerufen am 12. Januar 2022.
  51. Pascal Praß, Adrian De Lont: Würfelverdoppelung mit der Kissoiden. Allgemeine Kissoiden, Seminar über höhere Kurven. Universität Mainz, 2016, S. 9, abgerufen am 5. Juli 2021.
  52. Michael Strobl: Lösungen von Konstruktionsproblemen durch Origami. In: Konstruktion mit Zirkel und Lineal vs. Origami. Universität Innsbruck, 2018, S. 56–60, abgerufen am 4. November 2021.
  53. Daniel Mathews, Sue Finch u. a.: Newton's method. In: AMSI. 2. August 2019, abgerufen am 16. Mai 2022 (englisch).
  54. 4. Iterationsschritt auf wolframalpha.com.
  55. Absoluter Fehler von   auf wolframalpha.com.