Rechtwinkliges Dreieck

Dreieck mit einem rechten Winkel
(Weitergeleitet von Kathete)

Ein rechtwinkliges Dreieck ist ein Dreieck mit einem rechten Winkel.

Dreieck mit dem rechten Winkel und der Ankathete und der Gegenkathete von

BezeichnungenBearbeiten

Als Hypotenuse[1] bezeichnet man die längste Seite eines rechtwinkligen Dreiecks. Sie liegt dem rechten Winkel gegenüber.

Als Kathete (aus dem griechischen káthetos, das Herabgelassene, Senkblei) wird jede der beiden kürzeren Seiten in einem rechtwinkligen Dreieck bezeichnet. Die Katheten sind also die beiden Seiten des rechtwinkligen Dreiecks, die den rechten Winkel bilden. In Bezug auf einen der beiden spitzen Winkel (in der Skizze  ) des Dreiecks unterscheidet man die Ankathete dieses Winkels (die dem Winkel anliegende Kathete) und die Gegenkathete (die dem Winkel gegenüberliegende Kathete).

SätzeBearbeiten

  • Die Beziehung zwischen den Längen der Katheten und der Hypotenuse beschreibt der Satz des Pythagoras, der auch als Hypotenusensatz bezeichnet wird. (Der Satz lautet: Sind   und   die Seitenlängen der Katheten eines rechtwinkligen Dreiecks und ist   die Seitenlänge der Hypotenuse, so gilt die Gleichung  ). Der Satz des Pythagoras ist ein Spezialfall des Kosinussatzes. Der Kosinus von   ist 0, wodurch sich die Formel deutlich vereinfacht.
  • Anders formuliert besagt der Satz des Pythagoras, dass die Summe der Flächeninhalte der beiden Quadrate über den Katheten gleich dem Flächeninhalt des Quadrats über der Hypotenuse ist. Aus dieser Tatsache folgen der Kathetensatz und der Höhensatz (siehe auch Satzgruppe des Pythagoras). Die Höhe   eines rechtwinkligen Dreiecks teilt die Hypotenuse in zwei Teile   und  , sodass die beiden Teildreiecke mit den Seiten  ,  ,   und  ,  ,   wiederum rechtwinklig sind. Bei Kenntnis zweier der sechs Angaben ( ,  ,  ,  ,   und  ) lassen sich die fehlenden vier anderen Werte aus den in folgender Tabelle aufgeführten Formeln berechnen.
Satz des Pythagoras    
Kathetensatz  
 
Höhensatz  

Berechnung und KonstruktionBearbeiten

 
Konstruktion SWW-Fall, gegeben sind Hypotenuse   und Winkel  
 
SSS-Fall: kleinster Tripel:  

Ein rechtwinkliges Dreieck ist durch drei Bestimmungsstücke vollständig bestimmt: den rechten Winkel, eine Seite sowie eine weitere Seite oder einen weiteren Winkel.

  • Sind beide Katheten gegeben, so lässt sich das Dreieck nach dem SWS-Fall behandeln.
Die Kathete   senkrecht auf die Kathete   anordnen. Der Abstand   ergibt die fehlende Hypotenuse   und somit das Dreieck  .
  • Sind eine Kathete und die Hypotenuse gegeben, so wird der SSW-Fall angewandt.
Die Hypotenuse halbieren und über den Mittelpunkt   den Thaleskreis ziehen. Ist z. B. die Kathete   gegeben, schneidet der Kreisbogen um   mit dem Radius   den Thaleskreis in  . Die Verbindung   mit   vollendet das Dreieck  .
  • Sind eine Seite und ein nicht-rechter Winkel gegeben, so lässt sich über die Winkelsumme der dritte Winkel bestimmen. Danach kann man das Dreieck nach dem WSW- bzw. SWW-Fall behandeln.
Ist z. B. die Kathete   und der Winkel   gegeben (WSW-Fall), wird ab   eine gerade Linie gezogen, die mit der Kathete   den Winkel   bildet. Die abschließende Senkrechte auf   ab   schneidet die gerade Linie in   und erzeugt somit das Dreieck  .
Ist z. B., wie im nebenstehenden Bild zu sehen, die Hypotenuse   und der Winkel   gegeben (SWW-Fall), wird   halbiert und über den Mittelpunkt   der Thaleskreis gezogen. Beim Festlegen des Winkels   mit Scheitel   ergibt sich   auf dem Thaleskreis und damit die Kathete  . Die Verbindung   mit   liefert die Kathete   und vollendet somit das rechtwinklige Dreieck  .
  • Stehen im SSS-Fall die Seiten zueinander im Verhältnis gleich dem eines pythagoreischen Tripels, beispielsweise  , ist das Dreieck rechtwinklig.

Im rechtwinkligen Dreieck sind die Höhen   und   jeweils gleich den Katheten   bzw.  .

Mathematische Formeln zum rechtwinkligen Dreieck
Flächeninhalt  

 

Hypotenuse    
Kathete    
   
Umfang  
Höhe    
Winkel    
 
Inkreisradius  
Umkreisradius  

UngleichungenBearbeiten

Für die Katheten   und   gilt  , also  . Addition von   ergibt  , also  . Nach dem Satz des Pythagoras folgt daraus   und die Ungleichungen

 

Die rechte Ungleichung ist ein Spezialfall der Ungleichung vom arithmetischen und geometrischen Mittel.

Division von   durch die linke Ungleichung ergibt  . Wegen   folgt daraus

 

Aus   folgt wegen  ,  ,   für die Kehrwerte , also  . Multiplikation mit   auf beiden Seiten ergibt  . Wegen   folgen daraus die genaueren Ungleichungen

 

Die Gleichungen   und   gelten genau dann, wenn  , also für ein rechtwinkliges und gleichschenkliges Dreieck mit den Innenwinkeln  ,   und  .

Ausgezeichnete PunkteBearbeiten

Wie aus dem Bild ersichtlich, liegt von den vier „klassischen“ ausgezeichneten Punkten im rechtwinkligen Dreieck, der Höhenschnittpunkt   (hellbraun) direkt im Scheitel des rechten Winkles, Eckpunkt  , und der Umkreismittelpunkt   (hellgrün) in der Mitte der Dreieckseite   Der Schwerpunkt   (dunkelblau) sowie der Inkreismittelpunkt   (rot) sind innerhalb des Dreiecks.

Der Mittelpunkt   des Feuerbachkreises (beides hellblau) ist in der Mitte der Strecke   und ebenfalls innerhalb des Dreiecks. Auf dem Feuerbachkreis liegen dessen neun ausgezeichnete Punkte, von denen aber, aufgrund der Position des Höhenschnittpunktes   nur fünf zu sehen sind. Es sind dies die Seitenmittelpunkte   und   sowie die Höhenfußpunkte   und   Zwei der drei Mittelpunkte der sogenannten oberen Höhenabschnitte, nämlich   und   liegen auf den Seitenmittelpunkten   bzw.   Der dazugehörende dritte Mittelpunkt   liegt auf dem Scheitelpunkt   Schließlich findet man den dritten Höhenfußpunkt   auf dem Höhenschnittpunkt  

Die Bezeichnungen der ausgezeichneten Punkte und deren Positionen sind mit denen des spitzwinkligen Dreiecks vergleichbar.[2]

Die Punkte  ,  ,   und   befinden sich, wie bei allen Dreiecken, auf der Eulerschen Gerade   (rot).

 
Rechtwinkliges Dreieck mit den vier „klassischen“ ausgezeichneten Punkten  ,  ,   und   darüber hinaus der Mittelpunkt des Feuerbachkreises   mit dessen neun ausgezeichneten Punkten (davon nur fünf sichtbar) und der Eulerschen Geraden  

Satz von EddyBearbeiten

Der Satz wurde erst im Jahr 1991 formuliert, „ist aber sicher schon sehr viel älter“.[3]

 
Bild 2: Beweis durch Kreiswinkelsatz (Zentriwinkelsatz)
 
Bild 1: Beweis durch Symmetrie

Die Winkelhalbierende des rechten Winkels eines rechtwinkligen Dreiecks teilt das Hypotenusenquadrat in zwei kongruente Flächen.

Es sei ein beliebiges Dreieck   mit der Hypotenuse   dem Hypotenusenquadrat   und mit der Winkelhalbierenden   des rechten Winkels am Scheitel   Die Winkelhalbierende   schneidet im Punkt   sowie im Punkt   das Hypotenusenquadrat   in zwei Vierecke   und  

Beweise

A) Beweis durch Symmetrie, Bild 1,[3][4] gleichermaßen der Geometrischer Beweis durch Ergänzung für den Satz des Pythagoras.

B) Ansatz für einen alternativen Beweis, Bild 2:

  • Die beiden Dreiecke   und   müssen kongruent sein.
  • Dies trifft nur zu, wenn die Winkelhalbierende   durch den Mittelpunkt des Hypotenusenquadrates   verläuft.

Zuerst wird der Mittelpunkt   der Hypotenuse   bestimmt, anschließend der Kreis   mit dem Radius   um   eingezeichnet und die Mittelsenkrechte des Durchmessers   mit den soeben erzeugten Schnittpunkten     und   eingetragen. Der Schnittpunkt   entspricht dem Mittelpunkt des Hypotenusenquadrates   Abschließend noch den Punkt   mit   verbinden.

Das einbeschriebene Dreieck   hat am Scheitel   den Zentriwinkel mit der Winkelweite gleich   Nach dem Kreiswinkelsatz (Zentriwinkelsatz) hat der Winkel   folglich die Winkelweite   damit verläuft die Winkelhalbierende   ebenfalls durch den Mittelpunkt   des Hypotenusenquadrates  

Somit bestätigt sich, die beiden Dreiecke   und   sind kongruent, demzufolge haben auch die Vierecke   und   gleiche Flächeninhalte.

Siehe auchBearbeiten

WeblinksBearbeiten

Commons: Rechtwinkliges Dreieck – Sammlung von Bildern, Videos und Audiodateien
Wiktionary: Hypotenuse – Bedeutungserklärungen, Wortherkunft, Synonyme, Übersetzungen
Wiktionary: Kathete – Bedeutungserklärungen, Wortherkunft, Synonyme, Übersetzungen

Anmerkungen und EinzelnachweiseBearbeiten

  1. Die Bezeichnung „Hypotenuse“ kommt von dem gleichbedeutenden, altgriechischen Begriff ὑποτείνουσα, hypoteinousa, der von: hypo – unter und teinein – spannen, sich erstrecken abgeleitet ist.
  2. Arne Madincea: Der Feuerbachkreis … Der Satz über den 9-Punkte-Kreis: Aufgabe 1, S. 2 ff. (PDF) In: Materialien für Mathematikunterricht. Herder-Gymnasium Berlin, S. 7, abgerufen am 25. November 2018.
  3. a b Wolfgang Zeuge: Nützliche und schöne Geometrie: Eine etwas andere Einführung in die Euklidische Geometrie. Springer Spektrum, Wiesbaden 2018, ISBN 978-3-658-22832-3, 2.7 Der Satz von Eddy, S. 30 (eingeschränkte Vorschau in der Google-Buchsuche [abgerufen am 16. August 2019]).
  4. Jörg Meyer: Symmetrie. 3.Symmetrie beim Problemlösen. Universität des Saarlandes, Fachrichtung Mathematik, S. 4, abgerufen am 15. August 2019.