Satz des Thales

mathematischer Satz

Der Satz des Thales ist ein Satz der Geometrie und ein Spezialfall des Kreiswinkelsatzes. Vereinfacht lautet er: Alle von einem Halbkreis umschriebenen Dreiecke sind rechtwinklig.

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Der erste Beweis wird dem antiken griechischen Mathematiker und Philosophen Thales von Milet zugeschrieben.[1] Die Aussage des Satzes war bereits vorher in Ägypten und Babylonien bekannt.

Formulierung des Satzes und seiner UmkehrungBearbeiten

Exakte Formulierung: Konstruiert man ein Dreieck aus den beiden Endpunkten des Durchmessers eines Halbkreises (Thaleskreis) und einem weiteren Punkt dieses Halbkreises, so erhält man immer ein rechtwinkliges Dreieck.

Oder: Liegt der Punkt   eines Dreiecks   auf einem Halbkreis über der Strecke  , dann hat das Dreieck bei   immer einen rechten Winkel.

Auch die Umkehrung des Satzes ist korrekt: Der Mittelpunkt des Umkreises eines rechtwinkligen Dreiecks liegt immer in der Mitte der Hypotenuse, also der längsten Seite des Dreiecks, die dem rechten Winkel gegenüberliegt.

Oder: Hat das Dreieck   bei   einen rechten Winkel, so liegt   auf einem Kreis mit der Hypotenuse   als Durchmesser.

BeweiseBearbeiten

Beweis mit gleichschenkligen DreieckenBearbeiten

Euklid leitet den Satz des Thales im dritten Band seiner Elemente mit Hilfe folgender Sätze, die ebenfalls Thales zugeschrieben werden und im ersten Band enthalten sind, her:[2]

 
Zerlegung des Dreiecks unter dem Halbkreis in zwei gleichschenklige Dreiecke. Die Winkel   und   ergänzen sich zu 180°, die Winkel   und   also zu 90°

ABC sei ein Dreieck innerhalb eines Kreises mit   als Kreisdurchmesser und dem Radius  . Dann ist der Mittelpunkt M der Strecke   auch der Kreismittelpunkt. Die Streckenlängen  ,   und   sind also gleich dem Radius  .

Die Strecke   teilt das Dreieck   in zwei Dreiecke   und   auf, die gleichschenklig sind. Die Basiswinkel dieser Dreiecke, also die Winkel an der Grundseite   bzw.  , sind daher jeweils gleich (  beziehungsweise   in der Abbildung).

Die Winkelsumme im Dreieck   beträgt 180°:

 
 

Dividiert man diese Gleichung auf beiden Seiten durch 2, so ergibt sich

 .

Damit ist gezeigt, dass der Winkel     mit Scheitel   ein rechter Winkel ist.

Die Umkehrung des Satzes von Thales lässt sich auf die Aussage zurückführen, dass die Diagonalen eines Rechtecks gleich lang sind und sich gegenseitig halbieren.

Beweis mit Vervollständigung zum RechteckBearbeiten

 
Der Punkt   entsteht durch Spiegelung vom Punkt   am Durchmesser   und an der Mittelsenkrechten von  . Das Viereck   ist ein Rechteck.

Wird der Punkt   am Durchmesser   und anschließend an der Mittelsenkrechten von   gespiegelt, dann liegt der Bildpunkt   wegen Symmetrie auf dem unteren Halbkreis über der Seite  . Das ist eine Punktspiegelung am Kreismittelpunkt  . Daher sind die Seiten und   und   sowie   und   parallel und das Viereck   ist ein Parallelogramm. Weil die Diagonalen   und   Durchmesser des Kreises und daher gleich lang sind, ist das Parallelogramm ein Rechteck und der Winkel bei   ein rechter Winkel.

Beweis mit kartesischen KoordinatenBearbeiten

Der Kreismittelpunkt sei der Koordinatenursprung. Sind der der Radius   und die Punkte  ,   und   mit kartesischen Koordinaten gegeben, dann gilt nach dem Satz des Pythagoras  . Wegen   und   gilt im Dreieck   die Gleichung  . Aus der Umkehrung des Satz des Pythagoras folgt, dass das Dreieck   im Punkt   rechtwinklig ist.

Mit dem Satz des Pythagoras kann auch gezeigt werden, dass das Skalarprodukt der Vektoren   und   gleich Null ist:

Es ist   und  .

  =     =  ,

woraus folgt, dass der Kosinus des Winkels im Punkt C gleich Null ist und somit das Dreieck ABC einen Rechten Winkel in C hat.

Trigonometrischer BeweisBearbeiten

Sind der Winkel  , der der Radius   und die Punkte  ,   mit kartesischen Koordinaten gegeben, dann hat der Punkt   die Koordinaten  . Die Seite   hat die Steigung   und die Seite   hat die Steigung  . Wegen   ist das Produkt der Steigungen gleich  . Daraus folgt, dass die Seiten   und   zueinander orthogonal sind und einen rechten Winkel bilden.

Einen weiteren Beweis findet man hier: Wikibooks: Beweisarchiv.

AnwendungenBearbeiten

Konstruktion einer KreistangenteBearbeiten

 
Konstruktion der Kreistangenten

Eine wichtige Anwendung des Satzes von Thales ist u. a. die Konstruktion der beiden Tangenten an einen Kreis k durch einen außerhalb dieses Kreises gelegenen Punkt  .

Gegeben sei der Radius   vom Kreis   mit seinem Mittelpunkt   sowie der Abstand des Punktes   von  . Vom Punkt   wissen wir nur, dass er auf der Kreislinie, irgendwo im ersten Viertel vom Kreis  , liegen muss. Würde man nur diese Bedingung berücksichtigen, könnte man unendlich viele Dreiecke   einzeichnen.

Da die obere durch   verlaufende Tangente   den Kreis   genau im Punkt   berührt, muss das Dreieck   einen rechten Winkel am Punkt   haben (Grundeigenschaft der Kreistangente), oder anders formuliert: Die Strecke   muss senkrecht auf der Tangente   stehen.

Um ein Dreieck   zu finden, das auch rechtwinklig ist, ermitteln wir von der Strecke   den Mittelpunkt   mithilfe der Mittelsenkrechten, zeichnen einen Kreis mit dem Radius   um den Mittelpunkt   und machen uns das Prinzip des Thaleskreises zunutze: Alle Dreiecke mit der Grundseite   deren dritter Eckpunkt auf dem Thaleskreis liegt, sind rechtwinklig. Dies gilt natürlich auch für das Dreieck  .

Der Berührpunkt   kann deshalb nur der Schnittpunkt des Kreises   mit dem hellgrauen Kreis sein. Durch Verbinden von   mit   erhält man nun die gesuchte Tangente   (in der Zeichnung rot).

Es existiert eine zweite, symmetrische Lösung in der unteren Hälfte des Kreises. Die Tangente   (ebenfalls rot gezeichnet) berührt den Kreis ebenfalls, und zwar im Punkt  .

Quadratur des RechtecksBearbeiten

Eine weitere Anwendung ist die Quadratur des Rechtecks.

Konstruktion reeller QuadratwurzelnBearbeiten

Mithilfe des Satzes des Thales lassen sich die folgenden Quadratwurzeln konstruieren:[4]

  •   aus   und   aus   (siehe Zahl größer als 1).
  •   aus   aus   und   aus   (siehe Zahl kleiner als 1).

Zahl größer als 1Bearbeiten

 
Zahl größer als 1: Konstruktion von   und   mit Zirkel und Lineal

Soll die Quadratwurzel einer reellen Zahl, die größer als 1 ist, gefunden werden, ohne vorherige Aufteilung der Zahl in  - und  -Anteile, eignet sich dafür die Methode die das nebenstehende Bild zeigt. Im Prinzip sind damit auch Quadratwurzeln von Zahlen, die kleiner als 1 sind, vorstellbar.

Es beginnt mit dem Einzeichnen der Strecke   mit Länge   auf einer hier nicht näher bezeichneten Geraden. Ist die gegebene Zahl   eine ganze Zahl, wird das Produkt   ab dem Punkt   auf die Gerade abgetragen; d. h. ist z. B. die Zahl  , wird die Strecke   achtmal abgetragen. Der dadurch entstehende Schnittpunkt   bringt die Hypotenuse   des entstehenden Dreiecks  .

Ist   eine reelle Zahl, besteht u. a. auch die Möglichkeit   mithilfe des dritten Strahlensatzes zu konstruieren.

Es folgen die Senkrechte auf   im Punkt   und die Halbierung der Seite   in  . Abschließend wird der Thaleskreis um   gezogen.

  • Nach dem Höhensatz des Euklid gilt  , daraus folgt  ,
somit ist die Höhe des rechtwinkligen Dreiecks   gleich der Quadratwurzel aus  .
  • Nach dem Kathetensatz des Euklid gilt   daraus folgt  
somit ist die Seitenlänge   des rechtwinkligen Dreiecks   gleich der Quadratwurzel aus  .

Zahl kleiner als 1Bearbeiten

 
Zahl kleiner als 1: Konstruktion von   und   mit Zirkel und Lineal

Ist die Quadratwurzel einer Zahl die kleiner als   ist gesucht, eignet sich dafür die Methode, die das nebenstehende Bild zeigt.

Es beginnt ab dem Punkt   (Wert  ) mit einer Halbgeraden. Darauf wird die Strecke   mit Länge   und die Strecke   mit Länge   bestimmt. Dabei ergibt sich die Hypotenuse   des entstehenden Dreiecks   Hat die gegebene Dezimalzahl   nur eine Nachkommastelle, wird das Produkt   ab dem Punkt   abgetragen; d. h. ist z. B.   wird die Strecke   achtmal abgetragen. Der dadurch entstehende Schnittpunkt   bringt  

Wenn die gegebene Dezimalzahl   mehr als eine Nachkommastelle hat, z. B.  , besteht u. a. die Möglichkeit, wie bereits oben im Abschnitt Zahl größer als 1 darauf hingewiesen,   mithilfe des dritten Strahlensatzes zu konstruieren.

Es folgen die Senkrechte auf die Strecke   im Punkt   und die Halbierung der Seite   in   Abschließend wird der Thaleskreis (Radius  ) um   gezogen.

  • Nach dem Höhensatz des Euklid gilt  
somit ist die Höhe   des rechtwinkligen Dreiecks   gleich der Quadratwurzel aus  .
Wegen   gilt auch:
Im rechtwinkligen Dreieck   ist die Länge   das geometrische Mittel der Längen   und  .
 , darin ist  , damit ergibt sich
 
 
 
somit ist die Seitenlänge   des rechtwinkligen Dreiecks   gleich der Quadratwurzel aus  .
Für die Seitenlänge  
Mit den entsprechenden Werten für die Seitenlänge   ergibt sich
 
somit ist die Seitenlänge   des rechtwinkligen Dreiecks   gleich der Quadratwurzel aus  

LiteraturBearbeiten

WeblinksBearbeiten

Commons: Satz des Thales – Sammlung von Bildern, Videos und Audiodateien

EinzelnachweiseBearbeiten

  1. Diogenes Laertius: Leben und Meinungen berühmter Philosophen. Erster Band, Buch I−VI; Verlag von Felix Meiner, Leipzig 1921, S. 12, Ziffer 24, abgerufen am 18. April 2017.
  2. Thomas Heath: A History of Greek Mathematics. Band 1: From Thales to Euclid. Dover Publications, New York 1981, ISBN 0-486-24073-8.
  3. Proklos. In: Euklid: Die Elemente. I,250,20
  4. Jan Kohlhase: Konstruktion von Quadratwurzeln. In: Die Quadratur des Kreises. Universität Duisburg-Essen, 28. Juni 2014, abgerufen am 14. Februar 2021.