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Der Höhensatz des Euklid, benannt nach Euklid von Alexandria, ist eine Aussage der Elementargeometrie, die in einem rechtwinkligen Dreieck eine Beziehung zwischen der dem rechten Winkel gegenüberliegenden Seite und ihrer zugehörigen Höhe beschreibt. Zusammen mit dem Satz des Pythagoras und dem Kathetensatz bildet er die sogenannte Satzgruppe des Pythagoras.

Inhaltsverzeichnis

Satz, Anwendungen und GeschichteBearbeiten

 
Fläche graues Quadrat = Fläche graues Rechteck
 
 
Höhensatz als Spezialfall des Sehnensatzes:
 

In einem rechtwinkligen Dreieck teilt die zur Hypotenuse gehörige Höhe   diese in zwei Abschnitte   und  , dabei entspricht die Länge der Höhe dem geometrischen Mittel der Längen der Abschnitte   und  , das heißt es gilt:

 .

Oft drückt man den Satz auch als Flächen- anstatt als Längenbeziehung aus. In diesem Fall entspricht dann die Fläche des Höhenquadrats der Fläche des mit den Hypotenusenabschnitten   und   gebildeten Rechtecks:

 .

Letztere Darstellung liefert ein Verfahren zur Quadratur eines Rechtecks mit Zirkel und Lineal, das heißt, man kann mit Hilfe des Höhensatzes zu einem gegebenen Rechteck ein exakt flächengleiches Quadrat nur mit Hilfe von Zirkel und Lineal konstruieren. Dabei geht man wie folgt vor (siehe dazu auch die Zeichnung rechts): Zu einem gegebenen Rechteck mit den Seiten   und   bezeichne   einen Eckpunkt. Nun verlängert man in   die Seite   um  , womit   die neue Strecke   mit der Länge   teilt. Dann zeichnet man einen Halbkreis mit   als Durchmesser und errichtet in   eine Senkrechte zu  , die den Halbkreis in dem Punkt   schneidet. Nach dem Satz des Thales formen der Punkt   und der Durchmesser   ein rechtwinkliges Dreieck, dessen Höhenquadrat mit Seitenlänge   flächengleich zum Ausgangsrechteck ist.

Man kann den Höhensatz auch als einen Spezialfall des Sehnensatzes auffassen. Wenn nämlich die erste Sehne dem Durchmesser des Kreises entspricht und die zweite Sehne senkrecht auf ihr steht, dann entsprechen deren Sehnenabschnitte aufgrund des Satzes von Thales der Höhe in einem rechtwinklingen Dreieck mit der ersten Sehne als Hypotenuse. Zudem sind wegen der Symmetrie des Kreises beide Sehnenabschnitte der zweiten Sehne gleich lang. Damit liefert der Sehnensatz in diesem Fall genau die Gleichung des Höhensatzes.

Der Höhensatz wird traditionell dem griechischen Mathematiker Euklid zugeschrieben, der ihn in seinen Elementen beschreibt. Dort wird es als Korollar zu Proposition 8 in Buch VI hergeleitet. In Proposition 14 in Buch II gibt Euklid zudem eine Methode zu der Quadrierung eines Rechtecks an, die im Wesentlichen der hier beschriebenen Methode entspricht. Allerdings liefert Euklid dort einen etwas komplizierteren Nachweis für ihre Korrektheit, da er dabei nicht auf den Höhensatz als Beweismittel zurückgreift.

Es gilt auch die Umkehrung des Höhensatzes. Wenn in einem beliebigen Dreieck für die Höhe   und die von ihre erzeugten Seitenabschnitte   und   die Beziehung   gilt, so ist das Dreieck rechtwinklig.

BeweisBearbeiten

Anhand von ähnlichen DreieckenBearbeiten

Beweis des Satzes:

Die Dreiecke   und   sind ähnlich, da beide ähnlich zum Dreieck   sind. Letzteres ist der Fall, da sie jeweils in zwei Winkeln mit dem Dreieck   übereinstimmen. Die Ähnlichkeit der beiden Dreiecke liefert das folgende Seitenverhältnis und der Satz ergibt sich einer Äquivalenzumformung der Verhältnisgleichung:

 

Beweis der Umkehrung:

Hier ist zu zeigen, dass ein beliebiges Dreieck   mit der Eigenschaft   einen rechten Winkel in   besitzt. Aufgrund der Gleichung für die Höhe gilt auch die folgende Verhältnisgleichung  . Damit haben die Dreiecke   and   beiden einen rechten Winkel und stimmen im Seitenverhältnis der an dem rechten Winkel anliegenden Seiten überein. Also folgt aus Ähnlichkeitssätzen für Dreiecke (SWS-Satz), dass die beiden Dreiecke ähnlich sind für ähnliche Dreiecke und es gilt aufgrund der Winkelsumme im Dreieck:

 

Über ZerlegungenBearbeiten

Man schneidet das rechtwinklige Dreieck entlang der Höhe   auf und kann dann die beiden Teildreiecke auf zwei unterschiedliche Arten zu einem rechtwinkligen Dreieck mit den Katheten   und   arrangieren, bei denen jeweils ein drittes Teilstück fehlt. Im einen Fall hat das fehlende Teilstück die Fläche  , im anderen  . Da beiden fehlenden Stücke die Teildreiecke jeweils zu dem gleichen Dreieck ergänzen, müssen sie flächengleich sein; das heißt, es gilt  .

Mit dem Satz des PythagorasBearbeiten

In der Konfiguration des Höhensatzes hat man die drei rechtwinkligen Dreiecke  ,   und  , in denen jeweils der Satz des Pythagoras gilt. Damit erhält man:

  und  

und somit auch

 .

Division durch zwei liefert dann den Höhensatz.

Über ScherungenBearbeiten

Das Höhenquadrat kann durch drei Scherungen in ein flächengleiches Rechteck mit Seitenlängen p und q überführt werden.

 
Scherungen mit zugehörigen Fixgeraden (gestrichelt), von links nach rechts überführen Scherungen Parallelogramme in flächengleiche Parallelogramme

LiteraturBearbeiten

WeblinksBearbeiten

  Commons: Geometric mean theorem – Sammlung von Bildern, Videos und Audiodateien