Mit der (Innen-)Winkelsumme einer ebenen geometrischen Figur ist meistens die Summe aller Innenwinkel der Figur gemeint.

Winkelsumme in der euklidischen GeometrieBearbeiten

Liegt das Polygon in einer euklidischen Ebene, ist die Winkelsumme durch die Formel

 

gegeben, wobei   für die Zahl der Ecken des Polygons steht.

BeispieleBearbeiten

Aus der Formel ergeben sich für die Werte der Winkelsummen für Drei-, Vier- und Fünfecke:

  • für Dreiecke ( ):  
  • für Vierecke ( ):  
  • für Fünfecke ( ):  

Herleitung der FormelBearbeiten

DreieckeBearbeiten

 
Zum Beweis der Winkelsumme im Dreieck

Dass die Summe der Innenwinkel im Dreieck 180° ist, folgt aus den Axiomen der euklidischen Geometrie.[1]

AllgemeinBearbeiten

Man kann ein konvexes  -Eck mit Hilfe eines Punktes im Innern in   Teildreiecke teilen, die dann insgesamt eine Winkelsumme von   haben. Allerdings muss man hiervon noch den Vollwinkel um diesen Punkt abziehen, also

 

Alternativ kann man sagen, dass von einer Ecke aus   Diagonalen ausgehen, die das Polygon in   Teildreiecke teilen, deren Winkelsumme also   ist. Damit ist die Formel gezeigt.

Winkelsumme in der nichteuklidischen GeometrieBearbeiten

In einer nichteuklidischen Ebene mit positiver Krümmung, beispielsweise auf der Oberfläche einer Kugel, beträgt die Winkelsumme stets mehr als die angegebenen Werte. Je größer das Polygon, desto größer ist im Allgemeinen die Abweichung. Beispiel: Auf der Erde hat das Dreieck, das vom Äquator, vom Nullmeridian und vom 90. Längengrad gebildet wird, die Winkelsumme 270°.

In einer nichteuklidischen Ebene mit negativer Krümmung, zum Beispiel auf einer Sattelfläche, beträgt die Winkelsumme stets weniger als die angegebenen Werte. Sie kann sogar Werte annehmen, die beliebig nahe bei 0 liegen.

EinzelnachweiseBearbeiten

  1. Übersetzung des Beweises aus Euklids "Elemente": I.32 auf I 31 (Memento vom 24. Juni 2013 im Internet Archive).