Viereck

Einige Typen von Vierecken

Ein Viereck (auch Tetragon, Quadrangel oder Quadrilateral) ist eine Figur der ebenen Geometrie, nämlich ein Vieleck mit vier Ecken und vier Seiten. In der Mathematik definiert man (ebene) Vierecke als Polygone mit vier Ecken, und (daher auch) vier Kanten (oder Seiten). Analog zu Dreiecken ist auch eine Verallgemeinerung des Vierecksbegriffes auf nichteuklidische Geometrien (gekrümmte Vierecke) möglich. In der projektiven Geometrie spielen vollständige Vierecke und die dazu dualen vollständigen Vierseite eine wichtige Rolle. In der endlichen Geometrie werden Inzidenzeigenschaften des Vierecks zur Definition des Begriffs „Verallgemeinertes Viereck“ verwendet.

Das regelmäßige (oder reguläre) Viereck ist das Quadrat (auch Geviert).

Ein Viereck hat zwei Diagonalen. Liegen beide Diagonalen innerhalb des Vierecks, so ist das Viereck konvex (konvexes Viereck), liegt genau eine Diagonale außerhalb, so hat das Viereck eine konkave Ecke (nicht-konvexes Viereck). Überhaupt ist das Viereck das "erste" Vieleck, das konkav sein kann. Bei einem überschlagenen (auch: verschränkten) Viereck liegen beide Diagonalen außerhalb des Vierecks (als Beispiel siehe verschränktes Trapez). Überschlagene Vierecke sind verallgemeinerte Polygone und werden normalerweise nicht zu den (normalen oder „echten“) Vierecken gerechnet. Gleiches gilt für entartete Vierecke, bei denen zwei oder mehr Eckpunkte zusammenfallen oder mehr als zwei Eckpunkte auf einer Geraden liegen.

• Die Summe der Innenwinkel in einem Viereck beträgt 360 Grad bzw. 2π.

Spezielle Vierecke

Hierarchie der Vierecke

Mengendiagramm ohne Tangentenvierecke

Mengendiagramm ohne Drachenvierecke

Ein Trapez ist ein Viereck mit mindestens zwei parallelen Seiten. Sind je zwei einander gegenüberliegende Seiten parallel, spricht man vom Parallelogramm. Ein Viereck, welches vier gleich große (Innen-)Winkel (90°, siehe rechter Winkel) hat, ist ein Rechteck. Beim Drachenviereck (Deltoid) stehen die Diagonalen senkrecht aufeinander, und eine Diagonale wird durch die andere halbiert. Dies ist gleichbedeutend damit, dass es zwei Paare benachbarter Seiten gibt, die jeweils gleich lang sind. Bei vier gleich langen Seiten spricht man von einer Raute (Rhombus). Ein Quadrat hat vier gleich lange Seiten und auch vier gleich große (Innen-)Winkel (90°). Bei einem Sehnenviereck sind die vier Seiten Sehnen des Umkreises. Sind die vier Seiten Tangenten eines Inkreises, so spricht man von einem Tangentenviereck.

Zwischen den einzelnen Vierecktypen gelten diverse Mengenrelationen, insbesondere die in der Grafik dargestellten Teilmengenbeziehungen, wie zum Beispiel:

• Quadrate ⊂ Rechtecke ⊂ Parallelogramme ⊂ Trapeze ⊂ konvexe Vierecke

(Dabei steht jeweils der Begriff X synonym für Menge aller X)

Ferner gelten auch noch folgende Beziehungen:

• Quadrate = Rechtecke ∩ Rauten
• Quadrate = Drachenvierecke ∩ gleichschenklige Trapeze
• Rechtecke = Sehnenvierecke ∩ Parallelogramme
• Rauten = Drachenvierecke ∩ Trapeze
• Rauten = Tangentenvierecke ∩ Parallelogramme
• Gleichschenklige Trapeze = Sehnenvierecke ∩ Trapeze

Klassifikation

Die ebenen Vierecke werden nach verschiedenen Gesichtspunkten eingeteilt:

• nach Eigenschaften des Inneren:
  • konvex
  • nicht konvex

• nach Symmetrie-Eigenschaften:
  • eine Diagonale ist Symmetrieachse: Deltoid (Drachenviereck)
  • beide Diagonalen sind Symmetrieachsen: Raute (Rhombus)
  • die Mittelsenkrechte einer Seite ist eine Symmetrieachse: gleichschenkliges Trapez
  • die Mittelsenkrechten zweier Seiten sind Symmetrieachsen: Rechteck
  • vier Symmetrieachsen: Quadrat
  • zweizählige Symmetrie (punktsymmetrisch): Parallelogramm
  • vierzählige Symmetrie: Quadrat

• nach der Länge der Seiten:
  • zwei Paare gleich langer gegenüberliegender Seiten: Parallelogramm
  • zwei Paare gleich langer benachbarter Seiten: Deltoid (Drachenviereck)
  • gleichseitiges Viereck: Raute (Rhombus)
  • die Summe der Längen gegenüberliegender Seiten ist gleich: Tangentenviereck

• nach der Größe der Winkel:
  • zwei Paare gleich großer gegenüberliegender Winkel: Parallelogramm
  • zwei Paare gleich großer benachbarter Winkel: gleichschenkliges Trapez
  • gleichwinkeliges Viereck: Rechteck
  • die Summe gegenüberliegender Winkel ergibt 180°: Sehnenviereck

• nach der Lage der Seiten:
  • ein Paar paralleler Seiten: Trapez
  • zwei Paar paralleler Seiten: Parallelogramm
  • die Seiten berühren denselben Kreis (den Inkreis): Tangentenviereck

• nach der Lage der Ecken:
  • die Ecken liegen auf einem Kreis (dem Umkreis): Sehnenviereck

Formeln

Bezeichnungen am Viereck

$\alpha +\beta +\gamma +\delta =360^{\circ }$

$\theta =90^{\circ }\Longleftrightarrow a^{2}+c^{2}=b^{2}+d^{2}$

Die Vierecksfläche A lässt sich ermitteln aus

$A={\frac {1}{2}}ef\sin \theta$

$A={\frac {1}{4}}\left(b^{2}+d^{2}-a^{2}-c^{2}\right)\tan \theta$

$A={\frac {1}{4}}{\sqrt {4e^{2}f^{2}-\left(b^{2}+d^{2}-a^{2}-c^{2}\right)^{2}}}$

$A={\frac {1}{2}}{\sqrt {|{\vec {e}}|^{2}|{\vec {f}}|^{2}-({\vec {e}}\cdot {\vec {f}})^{2}}}$

$A={\frac {1}{2}}(ad\sin \alpha +bc\sin \gamma )={\frac {1}{2}}(ab\sin \beta +cd\sin \delta )$

Sind die Koordinaten der Eckpunkte gegeben, so erhält man mit der gaußschen Trapezformel den einfachen Ausdruck

$\mathrm {A} ={\frac {1}{2}}\left|(y_{A}-y_{C})\cdot (x_{D}-x_{B})+(y_{B}-y_{D})\cdot (x_{A}-x_{C})\right|$.

Ein konvexes Viereck kann durch fünf voneinander unabhängige Bestimmungsstücke wie

• Winkel an den Ecken (Innenwinkel),
• Länge der Seiten,
• Länge der Diagonalen,
• Umfang oder
• Flächeninhalt

beschrieben werden. Ein Beispiel nicht unabhängiger Größen sind die vier Innenwinkel, weil sich der vierte Innenwinkel aus den drei anderen und der Innenwinkelsumme von 360° berechnen lässt. Sind auch nichtkonvexe Vierecke zugelassen, gibt es mehrdeutige Kombinationen, z. B. „vier Seiten und ein Innenwinkel“, da die dem gegebenen Winkel gegenüberliegende Ecke konvex oder konkav sein kann.

Wenn ein spezielles Viereck vorliegt, reichen weniger Größen aus, um seine Form zu beschreiben:

• vier bei einem Tangentenviereck, Sehnenviereck oder Trapez,
• drei bei einem Parallelogramm, Deltoid, rechtwinkligen Trapez oder gleichschenkligen Trapez,
• zwei bei einer Raute oder einem Rechteck.
• eine bei einem Quadrat.

Schwerpunkt

Schwerpunkt im Viereck
Die gepunkteten Linien, der Punkt $H$ und die Schwerpunkte $S_{3}$ und $S_{4}$ sind für die alternative Lösung nicht erforderlich, sie dienen lediglich der Verdeutlichung, z. B. der Parallelität der Halbgeraden zur Diagonalen.
Animation siehe hier

Bei punktsymmetrischen Vierecken (Parallelogrammen) ist der Schwerpunkt das Symmetriezentrum, also der Diagonalenschnittpunkt.

Im Allgemeinen muss man unterscheiden zwischen dem Eckenschwerpunkt (alle Masse sitzt in den Ecken, jede Ecke hat die gleiche Masse) und dem Flächenschwerpunkt (die Masse ist gleichmäßig über die Fläche des Vierecks verteilt.) Beim Dreieck stimmen diese beiden Schwerpunkte überein. Daneben gibt es noch den Kantenschwerpunkt (die Masse ist gleichmäßig auf die Kanten verteilt, die Masse jeder Kante ist proportional zu ihrer Länge). Der Kantenschwerpunkt wird jedoch selten betrachtet. Er stimmt auch beim Dreieck nicht mit dem Flächen- und Eckenschwerpunkt überein, sondern entspricht dort dem Inkreismittelpunkt des Mittendreiecks.

Den Flächenschwerpunkt eines Vierecks kann man wie folgt konstruieren: Man zerlegt das Viereck durch eine Diagonale in zwei Dreiecke und bestimmt jeweils deren Schwerpunkt als Schnittpunkt der Seitenhalbierenden. Diese beiden Punkte verbindet man durch eine Gerade. Dasselbe wiederholt man, indem man das Viereck durch die andere Diagonale teilt. Der Schnittpunkt der beiden Verbindungsgeraden ist der Schwerpunkt des Vierecks.

Begründung: Die Gerade durch die beiden Dreiecksschwerpunkte ist eine Schwerlinie beider Dreiecke und damit auch des Vierecks. Also muss der Schwerpunkt auf dieser Geraden liegen.

Den Eckenschwerpunkt erhält man, indem man die Mittelpunkte gegenüberliegender Seiten verbindet. Der Schnittpunkt der beiden Verbindungslinien ist der Eckenschwerpunkt. Ist ein kartesisches Koordinatensystem gegeben, so kann man die Koordinaten des Eckenschwerpunkts $S(x_{S}|y_{S})$ aus den Koordinaten der Ecken $A(x_{A}|y_{A}),B(x_{B}|y_{B}),C(x_{C}|y_{C}),D(x_{D}|y_{D})$ berechnen:

$x_{S}={\tfrac {1}{4}}(x_{A}+x_{B}+x_{C}+x_{D});\quad y_{S}={\tfrac {1}{4}}(y_{A}+y_{B}+y_{C}+y_{D})$

Die nebenstehende Darstellung, konstruiert ähnlich wie oben beschrieben, beinhaltet auch eine alternative Vorgehensweise. Dazu sind in zwei sich kreuzenden Dreiecken deren Schwerpunkte $S_{1}$ und $S_{2}$ zu ermitteln. Abschließend wird eine Halbgerade ab $S_{1}$ parallel zur Diagonale ${\overline {BD}}$ und eine Halbgerade ab $S_{2}$ parallel zur Diagonale ${\overline {AC}}$ gezogen. Somit ist der Schnittpunkt der beiden Halbgeraden der Flächenschwerpunkt $S$ des Vierecks. Dies bedeutet, die gepunkteten Linien, der Punkt $H$ und die Schwerpunkte $S_{3}$ und $S_{4}$ sind für die alternative Vorgehensweise nicht erforderlich.

Siehe auch

• Ungleichungen in Vierecken
• Zu den Begriffen vollständiges Viereck und vollständiges Vierseit in der projektiven Geometrie siehe deren Definition im Artikel Fano-Axiom

Weblinks

 Commons: Viereck – Sammlung von Bildern, Videos und Audiodateien

Wiktionary: Viereck – Bedeutungserklärungen, Wortherkunft, Synonyme, Übersetzungen

• Online-Berechnung von ebenen Vierecken mit graphischer Ausgabe