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Ein Tangentenviereck ABCD mit Inkreis k

Ein Tangentenviereck ist ein Viereck, dessen Seiten Tangenten eines Kreises sind. Diesen Kreis nennt man den Inkreis des Tangentenvierecks. Ein solches Tangentenviereck ist immer konvex. Vierecke, bei denen lediglich die verlängerten Seiten Tangenten eines Kreises sind und die damit auch nicht notwendigerweise konvex sein müssen, sind keine Tangentenvierecke im Sinne der hiesigen Definition.

Die (hier grün dargestellten) Senkrechten vom Inkreismittelpunkt (M) auf die vier Seiten zerlegen das Tangentenviereck in vier Drachenvierecke (mit grau gezeichneten Symmetrieachsen).

In einem Tangentenviereck ist die Summe zweier gegenüberliegender Seiten (z. B. und ) gleich der Summe der anderen beiden Seiten ( und ). Es gilt also

(Satz von Pitot)

Umgekehrt gilt auch, dass jedes konvexe Viereck mit dieser Eigenschaft () einen Inkreis besitzt und somit ein Tangentenviereck ist. Der Satz von Pitot und seine Umkehrung werden zusammen auch als Satz vom Tangentenviereck bezeichnet.

Der Mittelpunkt M des Inkreises befindet sich im Schnittpunkt der Winkelhalbierenden (hier grau gezeichnet) aller vier Eckwinkel (ABCD). Deshalb müssen sich beim Tangentenviereck alle Winkelhalbierenden auch in einem Punkt schneiden.

Formel zum Tangentenviereck
Flächeninhalt
Seitenlängen
Inkreisradius

Ein interessanter Spezialfall liegt vor, wenn ein Tangentenviereck die Bedingung

erfüllt. Unter dieser Voraussetzung ist das Tangentenviereck zugleich ein Sehnenviereck, also ein Viereck mit Umkreis; dieser stimmt (logischerweise) nicht mit dem Inkreis überein. Die Flächenformel für Sehnenvierecke liefert in diesem Fall das einfache Ergebnis

Spezielle Tangentenvierecke sind die Raute, das Quadrat und das Drachenviereck.

Siehe auchBearbeiten

LiteraturBearbeiten

  • Hartmut Wellstein, Peter Kirsche: Elementargeometrie. Springer, 2009, ISBN 9783834808561, S. 60-61
  • Siegfried Krauter, Christine Bescherer: Erlebnis Elementargeometrie: Ein Arbeitsbuch zum selbstständigen und aktiven Entdecken. Springer, 2012, ISBN 9783827430250, S. 77-78
  • Lorenz Halbeisen, Norbert Hungerbühler, Juan Läuchli: Mit harmonischen Verhältnissen zu Kegelschnitten: Perlen der klassischen Geometrie. Springer 2016, ISBN 9783662530344, S. 21 (Auszug)

WeblinksBearbeiten

  Commons: Tangentenviereck – Sammlung von Bildern, Videos und Audiodateien
  Wiktionary: Tangentenviereck – Bedeutungserklärungen, Wortherkunft, Synonyme, Übersetzungen