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Ein Sehnenviereck ABCD mit Umkreis k

Ein Sehnenviereck ist ein Viereck, dessen Eckpunkte auf einem Kreis liegen, dem Umkreis des Vierecks. Folglich sind alle Seiten des Sehnenvierecks Sehnen des Umkreises. Üblicherweise meint man mit Sehnenviereck ein nicht überschlagenes Sehnenviereck, dieses ist notwendigerweise konvex.

Inhaltsverzeichnis

Sätze über Sehnenvierecke (Auswahl)Bearbeiten

Das Sehnenviereck wird mit ABCD bezeichnet.

  1. Sehnensatz: Die Produkte je zweier gegenüberliegender Diagonalenabschnitte sind gleich groß. Das heißt, wenn   der Schnittpunkt der beiden Diagonalen   und   ist, so gilt  .

Die folgenden Sätze gelten nur für nicht überschlagene Sehnenvierecke ABCD:

  1. Gegenüberliegende Winkel ergänzen sich zu 180°, also   (Nachweis weiter unten).
  2. Satz von Ptolemäus: Die Summe der Produkte gegenüberliegender Seiten des Sehnenvierecks ist gleich dem Produkt der Diagonalen:  .
Formeln zum Sehnenviereck
Flächeninhalt  
Flächeninhalt  
Seitenlängen  
Halber Umfang  
Diagonalenlängen  
Umkreisradius  

Die zuerst genannte Flächenformel ist eine Verallgemeinerung der Heron'schen Flächenformel für Dreiecke und wird auch als Satz von Brahmagupta oder Formel von Brahmagupta bezeichnet. Hierbei fasst man ein Dreieck als ein ausgeartetes Sehnenviereck auf, dessen vierte Seite die Länge 0 besitzt, d. h. zwei seiner Eckpunkte liegen aufeinander. Die Formel von Brahmagupta kann zur Formel von Bretschneider verallgemeinert werden, diese fügt Brahmaguptas Formel einen Korrekturterm, der im Falle eines Sehnenvierecks 0 ist, hinzu und gilt dann für beliebige Vierecke.

Ein Viereck (und jedes andere Vieleck auch) mit festen, geordneten Seitenlängen hat genau dann den größtmöglichen Flächeninhalt, wenn es ein Sehnenviereck (bzw. -vieleck) ist.[1]

Gegenüberliegende Winkel im SehnenviereckBearbeiten

Im Sehnenviereck beträgt die Winkelsumme der gegenüberliegenden Winkel 180°.

 
 

Der Beweis ergibt sich unmittelbar aus dem Kreiswinkelsatz, da zwei gegenüberliegende Winkel des Sehnenvierecks Umfangswinkel über zwei komplementären Kreisbögen sind, deren Mittelpunktswinkel sich zu 360° ergänzen. Da Umfangswinkel halb so groß sind wie Mittelpunktswinkel über dem gleichen Bogen, müssen sich die Umfangswinkel zu 360°/2 = 180° ergänzen.

Ein anderer Beweis findet sich im Beweisarchiv.

Die Umkehrung dieser Aussage stimmt auch, d. h. ist in einem Viereck die Summe gegenüberliegender Winkel 180°, so ist es ein Sehnenviereck.

Verwandte ViereckeBearbeiten

Ein Sehnenviereck, das gleichzeitig Trapez ist, heißt gleichschenkliges Trapez. Jedes Rechteck ist ein gleichschenkliges Trapez und damit ein Sehnenviereck.

Ein Viereck, das einen Inkreis hat, heißt Tangentenviereck.

Siehe auchBearbeiten

QuellenBearbeiten

WeblinksBearbeiten

EinzelnachweiseBearbeiten

  1. Titu Andreescu, Oleg Mushkarov, Luchezar N. Stoyanov: Geometric Problems on Maxima and Minima. Birkhäuser, Boston u. a. 2006, ISBN 0-8176-3517-3, S. 69 (Auszug (Google)).