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Drachenviereck (Deltoid, konvex)
Pfeilviereck (Deltoid, konkav)

Ein Drachenviereck (auch Drachen oder Deltoid[1]) ist ein ebenes Viereck,

oder (äquivalent)

  • das zwei Paare gleich langer benachbarter Seiten und besitzt.

Oft wird nur die konvexe Form des Deltoids als Drachenviereck bezeichnet und die nicht-konvexe Form als Pfeilviereck oder Windvogelviereck. (Die Bezeichnung „Drachenviereck“ verweist auf die Form vieler Flugdrachen.)

Ein spezielles Drachenviereck ist der Rhombus (auch die Raute): Es ist ein gleichseitiges Deltoid.

Inhaltsverzeichnis

EigenschaftenBearbeiten

Für jedes Deltoid gilt mit den Bezeichnungen aus der Grafik:

  • Die Diagonalen stehen senkrecht aufeinander (sie sind orthogonal: Das Deltoid ist ein orthodiagonales Viereck).
  • Die Diagonale  , die die Symmetrieachse ist, halbiert die andere Diagonale  .
  • Die einander gegenüberliegenden Winkel in den Eckpunkten   und   sind gleich groß.
  • Die Diagonale durch die Eckpunkte   und   halbiert in diesen die Winkel.

Für jedes konvexe Deltoid gilt:

Die Diagonale   ist Symmetrieachse und halbiert die Diagonale  . Sie teilt das Viereck   in zwei kongruente spiegelsymmetrische Dreiecke (  und  ). Die Diagonale   teilt das Viereck in zwei gleichschenklige Dreiecke (  und  ). Die Innenwinkel bei   und bei   sind gleich groß. Die Winkel bei   und bei   werden von der Diagonale halbiert.

FormelsammlungBearbeiten

Der Flächeninhalt   eines Drachenvierecks lässt sich leicht aus den Längen der Diagonalen   und   bestimmen:

 

oder:

 

Zur Herleitung letzterer Formel denkt man sich den Drachen an der Symmetrieachse in zwei kongruente Dreiecke zerlegt, die sich nach dem Spiegeln eines Dreiecks wieder zu einem flächengleichen Parallelogramm zusammensetzen lassen.

Der Umfang berechnet sich durch

 

Der Inkreisradius:

 

VerallgemeinerungenBearbeiten

Ein schräges Drachenviereck ist ein ebenes Viereck, in dem eine der Diagonalen durch die andere halbiert wird.[2] (Ein solches Viereck wird manchmal auch 'schief' genannt.[3]) Bei einem schrägen Drachenviereck stehen die Diagonalen also nicht zwangsläufig orthogonal zu einander. Das Deltoid ist in diesem Sinne ein gerader Drachen. Für das schräge Drachenviereck gilt eine über das Kreuzprodukt verallgemeinerte Formel für den Flächeninhalt.

Ein Viereck ist ein schiefes Drachenviereck genau dann, wenn es sich von einem inneren Punkt aus mit geraden Verbindungen zu den vier Ecken in vier flächengleiche Dreiecke zerlegen lässt.[4]

EinzelnachweiseBearbeiten

  1. Lehrpläne - Vorbereitungslehrgänge für Arbeitslehrerinnen
  2. Drachenvierecke, Mathematik, TU Freiberg
  3. Jürgen Köller: Hierarchie der Vierecke, Mathematische Basteleien
  4. Hans Walser: Viereck-Viertelung

WeblinksBearbeiten

  Commons: Drachenviereck – Sammlung von Bildern, Videos und Audiodateien
  Wiktionary: Drachenviereck – Bedeutungserklärungen, Wortherkunft, Synonyme, Übersetzungen