Rechter Winkel

Winkel von 90°

Ein rechter Winkel, kurz auch Rechter, ist ein Winkel von 90° und damit der vierte Teil eines Vollwinkels zu 360°. Zwei Geraden oder Strecken, die sich in einem rechten Winkel schneiden oder berühren, werden als rechtwinklig, senkrecht oder orthogonal bezeichnet. Rechte Winkel treten in vielen geometrischen Figuren und Konstruktionen auf und werden in Zeichnungen durch einen kleinen Viertelkreis mit Punkt oder durch ein kleines Quadrat gekennzeichnet. Der rechte Winkel war neben dem Vollwinkel zeitweise eine gesetzliche Einheit in Deutschland und in der Schweiz.

Ein rechter Winkel

DefinitionBearbeiten

 
Zwei rechte Winkel

Sowohl Euklid in seinem Werk Die Elemente (ca. 300 v. Chr.), als auch David Hilbert in seinem Axiomensystem der euklidischen Geometrie (1899) definieren einen rechten Winkel als einen Winkel, der kongruent zu seinem Nebenwinkel ist:

„Wenn eine gerade Linie, auf eine gerade Linie gestellt, einander gleiche Nebenwinkel bildet, dann ist jeder der gleichen Nebenwinkel ein Rechter“

Euklid: Die Elemente: I.10; deutsche Übersetzung von Clemens Thaer[1]

Das Adjektiv „recht“ meint hierbei nicht rechts, sondern recht im Sinne von aufrecht (lateinisch rectus).[2] Alternativ dazu wird spätestens seit dem 16. Jahrhundert ein rechter Winkel auch als ein Winkel, zu dem ein Viertelkreis gehört, definiert.[2] Beide Definitionen sind zueinander äquivalent, denn zwei Nebenwinkel ergeben zusammen einen gestreckten Winkel, dem ein Halbkreis entspricht.

BeispieleBearbeiten

 
Je zwei Koordinatenachsen im kartesischen Koordinatensystem bilden miteinander einen rechten Winkel

In der Ebene bilden beispielsweise einen rechten Winkel:

Im Raum bilden beispielsweise einen rechten Winkel:

In einem orthogonalen Polygon oder einem orthogonalen Polyeder bilden alle benachbarten Kanten rechte Winkel.

Bestimmung rechter WinkelBearbeiten

 
In einem rechtwinkligen Dreieck gilt  
 
Die Graphen zweier linearer Funktionen schneiden sich in einem rechten Winkel, wenn das Produkt der Steigungen   ergibt

Zwischen StreckenBearbeiten

Zwei Strecken   und   bilden nach dem Satz des Pythagoras genau dann einen rechten Winkel, wenn für die Längen der Strecken

 

gilt. Die ganzzahligen Lösungen dieser Gleichung heißen pythagoreische Tripel. So bilden zwei Strecken, die sich in einem Punkt treffen und deren Längen   bzw.   Einheiten betragen, genau dann miteinander einen rechten Winkel, wenn die Verbindungsstrecke der beiden Endpunkte   Einheiten lang ist, denn

 . Die Harpedonapten (Seilspanner) im alten Ägypten verwendeten dies zur Konstruktion des rechten Winkels.[3]

Zwischen FunktionsgraphenBearbeiten

Die Graphen zweier linearer Funktionen   und   schneiden sich genau dann in einem rechten Winkel, wenn für das Produkt der Steigungen

 

gilt. Beispielsweise schneiden sich die Graphen der beiden linearen Funktionen   und   rechtwinklig, denn

 .

Allgemeiner schneiden sich die Graphen zweier differenzierbarer Funktionen   und   genau dann in einem rechten Winkel, wenn am Schnittpunkt   das Produkt der Ableitungen (der Tangentensteigungen)

 

ergibt. So schneiden sich beispielsweise die Graphen der Funktionen   und   an der Stelle   rechtwinklig, denn   und

 .

Zwischen KurvenBearbeiten

Zwei sich schneidende Geraden bilden in einem kartesischen Koordinatensystem genau dann einen rechten Winkel, wenn für das Skalarprodukt der Richtungsvektoren   und   der beiden Geraden

 

gilt. So stehen beispielsweise zwei Geraden mit den Richtungsvektoren   und   aufeinander senkrecht, da

 

ist. Allgemeiner bilden zwei sich schneidende differenzierbare Kurven miteinander einen rechten Winkel, wenn das Skalarprodukt ihrer Tangentialvektoren am Schnittpunkt verschwindet.

TrigonometrieBearbeiten

 
Die wichtigsten trigonometrischen Funktionen. Für einen rechten Winkel ist der Wert der horizontalen Achse  .

Für die trigonometrischen Funktionen Sinus und Kosinus, Tangens und Kotangens sowie Sekans und Kosekans eines rechten Winkels   gilt:

  •  
  •  
  •   und   sind nicht definiert

EinheitenBearbeiten

Ein rechter Winkel entspricht in den verschiedenen Winkelmaßen:

Vom 5. Juli 1970 bis zum 29. November 1973 war neben dem Vollwinkel (360 Grad) auch der rechte Winkel mit dem Einheitenzeichen in Deutschland eine gesetzliche Einheit.[4] Bis zum 31. Dezember 1996 war der rechte Winkel in der Schweiz gesetzliche Einheit.

Konstruktion zeichnerischBearbeiten

Hilfsmittel zum Zeichnen von rechtwinkligen Linien sind beispielsweise in der Schule ein mathematisches Papier oder ein Geodreieck. Zur Konstruktion mit Zirkel und Lineal siehe Lot (Mathematik). Beim technischen Zeichnen am Reißbrett wird ein Zeichenkopf mit Zeichenschienen eingesetzt. Im metall- und holzverarbeitenden Handwerk wird zur Abmessung rechter Winkel ein Winkelmaß oder eine Lehre verwendet.

   
Konstruktion eines rechten Winkels in einem Punkt   einer Gerade   mit Zirkel und Lineal
Konstruktion eines rechten Winkels in einem Punkt   (  frei wählbar) einer Halbgeraden  , bei eingeschränkten Platzverhältnissen, mit Hilfe des Thaleskreises, Animation

In der Praxis erhält man so natürlich immer nur Näherungen an das geometrische Konzept des rechten Winkels.

Konstruktion praktischBearbeiten

 
kleinster Tripel:  

Zur Konstruktion rechter Winkel über längere Distanzen hinweg wurden im Laufe der Zeit verschiedene mechanische Hilfsmittel entwickelt. Die einfachste Art, einen rechten Winkel zu konstruieren, erfolgt mit einer Schnur, die in 12 gleiche Teile abgeknotet ist (12-Knoten-Schnur oder Rechenseil). Diese spannt man zu einem Dreieck mit den Kantenlängen  . Zwischen den zwei kurzen Seiten (Katheten) liegt der Rechte Winkel (genau 90°). Diese Methode wurde schon im alten Ägypten und im Mittelalter in der Baukunst benutzt. Wenn man beispielsweise mit einer Schlauchwaage eine waagrechte Linie konstruieren kann, kann man so eine senkrechte Linie konstruieren. Oder wenn man mit dem Senkblei eine senkrechte Linie konstruieren kann, kann man so eine waagrechte Linie konstruieren. Das zugrundeliegende Prinzip heisst pythagoreisches Tripel.

In der römischen Bautechnik wurde bei der Limitation von Siedlungen eine Groma zur Absteckung rechter Winkel verwendet, in neuerer Zeit kam hierfür eine Kreuzscheibe zum Einsatz. In der Geodäsie kommt bei Katastervermessungen mit dem Orthogonalverfahren ein Winkelprisma oder ein Theodolit zum Einsatz.

Heute sind diese Geräte weitgehend durch elektro-optische Entfernungsmesser, wie beispielsweise Tachymeter, abgelöst worden.

Kennzeichnung und KodierungBearbeiten

   
Kennzeichnung eines rechten Winkels im deutsch- und im englischsprachigen Raum

Zur Kennzeichnung rechter Winkel in Zeichnungen wird im deutschsprachigen Raum sowie einer Reihe weiterer europäischer Länder ein beide Schenkel des Winkels verbindender Viertelkreis mit einem Punkt darin verwendet. Gelegentlich wird der Punkt auch weggelassen. Im englischsprachigen Raum wird zur Kennzeichnung ein beide Schenkel des Winkels verbindender und mit ihnen ein kleines Quadrat (bzw. bei schräger Darstellung Parallelogramm) bildender zweiter rechter Winkel eingezeichnet.

Im Zeichensatz werden rechte Winkel folgendermaßen definiert und kodiert:

Zeichenkodierungsstandard Unicode
und Internet-Dokumentenformat HTML
Zeichen Unicode Name HTML
Position Bezeichnung hexadezimal dezimal benannt
U+221F right angle Rechter Winkel ∟ ∟
U+299C right angle variant with square Variante eines rechten Winkels mit Quadrat ⦜
U+299D measured right angle with dot Gemessener rechter Winkel mit Punkt ⦝
U+22BE right angle with arc Rechter Winkel mit Bogen ⊾ ⊾

Das Zeichen ∟ für den rechten Winkel wurde erstmals von dem griechischen Mathematiker Pappos im 4. Jh. n. Chr. verwendet.[5]

HistorischesBearbeiten

 
Pfeilersteine aus Göbekli Tepe (um 9000 v. Chr.) im Archäologischen Museum Şanlıurfa

Rechte Winkel sind – wie der Kreis, die Gerade etc. – Abstraktionen des menschlichen Geistes in seiner permanenten Auseinandersetzung mit der Natur und seinen eigenen Bedürfnissen. Sie kommen in der belebten Natur nicht vor und sind auch in der unbelebten sichtbaren Natur äußerst selten. Wahrscheinlich realisierte der Mensch den rechten Winkel erstmals in der Flecht- und Webkunst (z. B. bei Matten und Stoffen). Auch beim immer wiederkehrenden Bau von Hütten gab es zwischen waagerechtem Boden und aufrecht stehenden Zweigen sowie zwischen senkrecht stehenden Pfosten und horizontaler Geflechtfüllung annähernd rechte Winkel. Dieses einmal gefundene Grundmuster schützte vor Wind und war blickdicht; es wurde immer weiter verfeinert und so entstanden Jahrtausende später die ersten Lehm- und Steinbauten mit rechtwinkligen Zugängen sowie Ecken und Ornamenten. Waren die Bauten von Göbekli Tepe noch abgerundet, so zeigen die dortigen großen Pfeiler eindeutig rechte Winkel; die Häuser von Catalhöyük (um 7000 v. Chr.) haben hingegen allesamt ein rechtwinkliges Grundmuster. Bei den Megalithbauten der Jungsteinzeit (um 3500 v. Chr.) sind exakt rechtwinklige Konstruktionen eher selten, doch spielen sie in Stonehenge und bei den Dolmen des Kaukasus durchaus eine bedeutende Rolle.

Während Ägypter, Griechen, Römer und selbst die mesoamerikanischen Kulturen den Rechten Winkel häufig verwenden, tritt er in einzelnen Phasen der indisch-asiatischen sowie der europäischen Baukunst (Gotik, Barock) oder bei einzelnen Architekten der Postmoderne (z. B. Frank Gehry) in den Hintergrund.

Auch in der Ornamentik kommen rechte Winkel in vielfältiger Weise zum Einsatz.

WeblinksBearbeiten

Commons: Rechte Winkel – Sammlung von Bildern, Videos und Audiodateien

EinzelnachweiseBearbeiten

  1. Clemens Thaer (Hrsg.): Die Elemente von Euklid (= Ostwalds Klassiker der exakten Wissenschaften. Band 235). Akademische Verlagsgesellschaft, Leipzig 1933.
  2. a b Johannes Tropfke: Geschichte der Elementarmathematik. Band 4: Ebene Geometrie. de Gruyter, Berlin 1940, ISBN 3-11-162150-2, S. 66 (Erstausgabe: 1903, Nachdruck).
  3. Hans-Joachim Schönknecht: Mythos – Wissenschaft – Philosophie: Zur Entstehung der okzidentalen Rationalität in der griechischen Antike Band 1-3; 2.4.1 Von der Praxis der Feldmessung zur mathematischen Geometrie, Tectum Wissenschaftsverlag, 2017, S. 98 ff. (eingeschränkte Vorschau in der Google-Buchsuche), abgerufen am 14. Mai 2020
  4. BGBl. 1970 I S. 981, 982, BGBl. 1973 I S. 1761
  5. Florian Cajori: A History of Mathematical Notations. Volume 1. Cosimo, 2013, ISBN 1-60206-685-X, S. 401.