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Hilberts Axiomensystem der euklidischen Geometrie

David Hilbert verwendet für seine Axiomatische Grundlegung der euklidischen Geometrie (im dreidimensionalen Raum) „drei verschiedene Systeme von Dingen“, nämlich Punkte, Geraden und Ebenen, und „drei grundlegende Beziehungen“, nämlich liegen, zwischen und kongruent. Über die Natur dieser „Dinge“ und auch ihrer „Beziehungen“ macht Hilbert als Formalist keinerlei Annahmen. Sie sind ausschließlich implizit definiert, nämlich durch ihre Verknüpfung in einem Axiomensystem.

Hilbert soll einmal gesagt haben, man könne statt „Punkte, Geraden und Ebenen“ jederzeit auch „Tische, Stühle und Bierseidel“ sagen; es komme nur darauf an, dass die Axiome erfüllt sind. Allerdings hat er große Mühe darauf verwandt, dass seine „Tische, Stühle und Bierseidel“ all die Gesetzmäßigkeiten erfüllen, die die Geometer der vorhergegangenen zweitausend Jahre für „Punkte, Geraden und Ebenen“ herausgefunden haben.[1][2] Die Stärke der axiomatischen Vorgehensweise liegt nicht darin, dass sie von der Wirklichkeit absieht. Sie erlaubt es aber, durch Abänderung der Axiome und Analyse ihres Zusammenhangs die logische Struktur, der diese Wirklichkeit folgt, in einer vorher nicht denkbaren Weise zu durchleuchten.

Auf ein gegenüber dem Hilbertschen System abgeschwächtes Axiomensystem ohne Parallelenaxiom, lässt sich die absolute Geometrie begründen: Dort gibt es dann entweder keine Parallelen (elliptische Geometrie) oder durch einen Punkt außerhalb einer Geraden beliebig viele Parallelen (hyperbolische Geometrie). Die hyperbolische Geometrie erfüllt Hilberts Axiomengruppen I-III und V, die elliptische Geometrie I, II und V und eine schwächere Version der Kongruenzaxiome (III).[3]

Inhaltsverzeichnis

Die AxiomeBearbeiten

Zu diesem Zweck verknüpft Hilbert die „Dinge“ und „Beziehungen“ durch 20 Axiome in fünf Gruppen:

Axiome der Verknüpfung (oder Inzidenz), Gruppe IBearbeiten

Mit diesen Axiomen soll der Begriff liegen implizit definiert werden. Hilbert verwendet hier den Begriff bestimmen oder zusammengehören und eine Reihe anderer Sprechweisen:   geht durch  ,   verbindet   und  ,   liegt auf  ,   ist ein Punkt von  , auf   gibt es den Punkt   usw. Heute spricht man in der Mathematik von Inzidenz: „  inzidiert  “ (formal:  ).

  • I.1. Zwei voneinander verschiedene Punkte   und   bestimmen stets eine Gerade  .
  • I.2. Irgend zwei voneinander verschiedene Punkte einer Geraden bestimmen diese Gerade.
  • I.3. Auf einer Geraden gibt es stets wenigstens zwei Punkte, in einer Ebene gibt es stets wenigstens drei nicht auf einer Geraden gelegene Punkte.
  • I.4. Drei nicht auf ein und derselben Geraden liegende Punkte   bestimmen stets eine Ebene.
  • I.5. Irgend drei Punkte einer Ebene, die nicht auf ein und derselben Geraden liegen, bestimmen diese Ebene.
  • I.6. Wenn zwei Punkte   und   einer Geraden   in einer Ebene   liegen, so liegt jeder Punkt von   in  .
  • I.7. Wenn zwei Ebenen   und   einen Punkt   gemeinsam haben, so haben sie wenigstens noch einen weiteren Punkt   gemeinsam.
  • I.8. Es gibt wenigstens vier nicht in einer Ebene gelegene Punkte.

Die Axiome 1–3 heißen ebene Axiome der Gruppe I und Axiome 4–8 räumliche Axiome der Gruppe I.

Aus diesen Axiomen allein lässt sich zum Beispiel folgern,

  • dass zwei verschiedene Geraden sich in genau einem Punkt oder überhaupt nicht schneiden,
  • dass zwei verschiedene Ebenen sich in genau einer Geraden oder überhaupt nicht schneiden,
  • dass eine Ebene und eine nicht in ihr liegende Gerade sich in genau einem Punkt oder überhaupt nicht schneiden,
  • dass eine Gerade und ein nicht auf ihr liegender Punkt eine Ebene bestimmen,
  • dass zwei sich schneidende Geraden eine Ebene bestimmen.

Axiome der Anordnung (Gruppe II)Bearbeiten

Mit diesen wird der Begriff zwischen definiert als eine Beziehung zwischen drei Punkten. Wird von drei Punkten gesagt, dass der eine zwischen den beiden anderen liegt, so ist damit stets ausgedrückt, dass es verschiedene Punkte sind, und dass sie auf einer Geraden liegen. Unter dieser Voraussetzung lassen sich die folgenden Axiome sehr kurz formulieren:

  • II.1. Wenn   zwischen   und   liegt, so liegt   auch zwischen   und  .
  • II.2. Zu zwei Punkten   und   gibt es stets wenigstens einen Punkt  , der zwischen   und   liegt, und wenigstens einen Punkt  , so dass   zwischen   und   liegt.
  • II.3. Unter irgend drei Punkten einer Geraden gibt es stets einen und nur einen Punkt, der zwischen den beiden anderen liegt.

Auf Grund dieser Axiome lässt sich definieren, was eine Strecke   ist: Die Menge aller Punkte, die zwischen   und   liegen. (Die Strecken   und   sind nach dieser Definition identisch.) Der Begriff Strecke wird benötigt, um das folgende Axiom zu formulieren:

  • II.4. Es seien   drei nicht in gerader Linie gelegene Punkte und   eine Gerade in der Ebene  , die keinen dieser drei Punkte trifft; wenn dann die Gerade   durch einen Punkt der Strecke   geht, so geht sie gewiss auch entweder durch einen Punkt der Strecke   oder durch einen Punkt der Strecke  .
Dieses Axiom heißt auch das Axiom von Pasch; es hat eine besondere wissenschaftsgeschichtliche Bedeutung, da es bei Euklid nicht vorkommt.

Aus den Axiomen der Verknüpfung (Inzidenz) und der Anordnung folgt bereits, dass zwischen zwei gegebenen Punkten einer Geraden stets noch unendlich viele weitere Punkte liegen, dass die Punkte einer Geraden also in sich dicht liegen. Ferner lässt sich zeigen, dass jede Gerade als Punktmenge auf genau zwei Weisen geordnet werden kann, so dass ein Punkt   genau dann zwischen den Punkten   und   liegt, wenn   oder   ist.

Weiter lässt sich folgern, dass jede Gerade (und jeder in einer Ebene gelegene und sich nicht selbst schneidende Streckenzug) eine Ebene in zwei Gebiete aufteilt. Genauso trennt jede Ebene den Raum in zwei Gebiete.

Siehe auch: Ordnung und Seiteneinteilung

Axiome der Kongruenz (Gruppe III)Bearbeiten

Die dritte Axiomgruppe definiert den Begriff kongruent als eine Beziehung zwischen Strecken und zwischen Winkeln. Eine andere Bezeichnung hierfür ist gleich oder (bei Strecken) gleich lang. Als Zeichen hierfür verwendet Hilbert  .

  • III.1. Wenn   und   zwei Punkte auf einer Geraden   sind und ferner   ein Punkt auf derselben oder einer anderen Geraden   ist, so kann man auf einer gegebenen Seite der Geraden   von   stets einen Punkt   finden, so dass die Strecke   der Strecke   kongruent (oder gleich) ist, in Zeichen:  .

Von jedem Punkt aus kann also jede beliebige Strecke abgetragen werden. Dass diese Abtragung eindeutig ist, lässt sich aus der Gesamtheit der Axiome I - III beweisen, ebenso, dass AB ≡ AB ist und dass aus   stets  folgt (Reflexivität und Symmetrie).

  • III.2. Wenn eine Strecke zu zwei anderen Strecken kongruent ist, so sind diese auch zueinander kongruent; formaler: wenn   und  , so ist  .

Es wird also gefordert, dass die Kongruenz-Relation transitiv ist. Damit ist sie eine Äquivalenzrelation.

  • III.3. Es seien   und   zwei Strecken ohne gemeinsame Punkte auf der Geraden   und ferner   und   zwei Strecken auf derselben oder einer anderen Geraden   ebenfalls ohne gemeinsame Punkte; wenn dann   und  , so ist auch stets  .

Beim Zusammenfügen (Addieren) von Strecken bleibt die Kongruenz also erhalten.

Ein Winkel wird nun definiert als ein ungeordnetes (!) Paar von Halbgeraden, die von einem gemeinsamen Punkt   ausgehen und nicht zur selben Geraden gehören. (Zwischen   und   wird also nicht unterschieden; auch gibt es nach dieser Definition weder überstumpfe noch gestreckte Winkel.) Es kann auch definiert werden, was das Innere eines Winkels   ist: Es sind dies all diejenigen Punkte der von   und   aufgespannten Ebene, die mit   zusammen auf der gleichen Seite von   und mit   zusammen auf der gleichen Seite von   liegen. Ein Winkel umfasst stets weniger als eine Halbebene.

  • III.4. Es sei ein Winkel   in einer Ebene   und eine Gerade   in einer Ebene  , sowie eine bestimmte Seite von   auf   gegeben. Es bedeute   einen Halbstrahl der Geraden  ; dann gibt es in der Ebene   einen und nur einen Halbstrahl  , so dass der Winkel   kongruent (oder gleich) dem Winkel   ist und zugleich alle inneren Punkte des Winkels   auf der gegebenen Seite von   liegen.
    In Zeichen:  .
    Jeder Winkel ist sich selbst kongruent, das heißt, es ist stets  .

Kurz gesagt bedeutet dies: Ein jeder Winkel kann in einer gegebenen Ebene an einen gegebenen Halbstrahl nach einer gegebenen Seite dieses Halbstrahls auf eine eindeutig bestimmte Weise abgetragen werden.

Es fällt auf, dass die Eindeutigkeit der Konstruktion und die Selbstkongruenz hier (im Gegensatz zu der Kongruenz von Strecken) axiomatisch festgelegt werden muss.

  • III.5. Aus   und   folgt  .

Aus diesem Axiom folgt mit der Selbstkongruenz, dass die Kongruenz für Winkel eine transitive und symmetrische Relation ist.

Nachdem in naheliegender Weise definiert wurde, was unter   zu verstehen ist, lässt sich auch das letzte Kongruenzaxiom formulieren:

  • III.6. Wenn für zwei Dreiecke   und   die Kongruenzen
     
gelten, so sind auch stets die Kongruenzen
 
erfüllt.

Es handelt sich hier um den Kongruenzsatzsws“, den Hilbert als Axiom setzt. Euklid formuliert hierfür einen „Beweis“ (I L. 1), gegen den Peletarius 1557 erstmals Bedenken formuliert hat.[4] Hilbert hat gezeigt, dass dieser Satz, oder jedenfalls sein wesentlicher Inhalt, als Axiom unentbehrlich ist.

Die übrigen Kongruenzsätze lassen sich hieraus beweisen, ebenso die Addierbarkeit von Winkeln. Es lässt sich eine  -Beziehung unter Winkeln definieren, die mit der Kongruenz verträglich ist.

Weiter definiert Hilbert den Begriff Nebenwinkel in naheliegender Weise, und den Begriff rechter Winkel als einen Winkel, der mit seinem Nebenwinkel kongruent ist.

Es lässt sich dann zeigen, dass alle rechten Winkel zueinander kongruent sind. Euklid hatte dies – wohl unnötigerweise – als Axiom gesetzt.

Siehe auch: Kongruenz und präeuklidische Ebene

Axiom der Parallelen (Gruppe IV)Bearbeiten

  • IV. (auch Euklidisches Axiom.) Es sei   eine beliebige Gerade und   ein Punkt außerhalb von  . Dann gibt es in der durch   und   bestimmten Ebene höchstens eine Gerade  , die durch   verläuft und   nicht schneidet.

Dass es mindestens eine solche Gerade gibt, folgt aus den Axiomen I - III und unmittelbar aus dem daraus hergeleiteten Satz vom Außenwinkel. Diese einzige Gerade   heißt die Parallele zu   durch  .

Dieses Axiom mit seinen Voraussetzungen und Folgerungen ist wahrscheinlich der meistdiskutierte Gegenstand der Geometrie. Siehe dazu auch: Parallelenproblem

Als ein zum Parallelenaxiom äquivalentes Axiom gibt Hilbert an:

Schneiden zwei Geraden   eine dritte Gerade   nicht, obwohl diese mit ihnen in der gleichen Ebene liegt, so schneiden sie sich auch untereinander nicht.

Ferner folgt aus den Axiomen I-IV, dass die Winkelsumme im Dreieck zwei Rechte beträgt. Ein Äquivalent zum Parallelenaxiom wird dieser Winkelsummensatz erst, wenn man das Archimedische Axiom (V.1) hinzuzieht.

Unter diesen Voraussetzungen lässt sich das Axiom auch gleichwertig so formulieren (vergleiche dazu Saccheri-Viereck):

Es existiert ein Rechteck!

Axiome der Stetigkeit (Gruppe V)Bearbeiten

  • V.1. (Axiom des Messens oder Archimedisches Axiom). Sind   und   irgendwelche Strecken, so gibt es eine Anzahl   derart, dass das  -malige Hintereinanderabtragen der Strecke   von   aus auf den durch   gehenden Halbstrahl über den Punkt   hinausführt.

Durch jede noch so kleine Strecke   lässt sich also, wenn man sie nur oft genug aneinandersetzt, jede noch so große Strecke   übertreffen. Man könnte auch sagen: Es gibt keine „unendlich kleinen“ oder „unendlich großen“ Strecken; die natürlichen Zahlen reichen aus, um alle Strecken vergleichbar (im Sinne von größer, kleiner, gleich) zu machen.

  • V.2. (Axiom der (linearen) Vollständigkeit) Zu den Punkten einer Geraden können, bei Erhalt ihrer Anordnungs- und Kongruenzbeziehungen, keine weiteren Punkte hinzugefügt werden, ohne dass die unter den vorherigen Elementen bestehenden Beziehungen, die aus den Axiomen I-III folgenden Grundeigenschaften der linearen Anordnung und Kongruenz oder aber das Axiom V.1 verletzt wird.

Die euklidische Geometrie ist also die größtmögliche Geometrie, die den vorhergehenden Axiomen entspricht. Sie ist damit vollständig im gleichen Sinne, wie reelle Zahlen vollständig sind. Deshalb lässt sich auch die analytische Geometrie des   als Modell für die euklidische Geometrie verwenden.

Deutlicher wird dies noch in dem – aus V.2 folgenden – „Vollständigkeitssatz“:

  • Die Elemente (Punkte, Geraden und Ebenen) der Geometrie bilden ein System, das bei Aufrechterhaltung sämtlicher Axiome zu keiner Erweiterung durch zusätzliche Punkte, Geraden und/oder Ebenen mehr fähig ist.

Ohne das Archimedische Axiom ist diese Forderung nicht erfüllbar. Vielmehr lässt sich jede Geometrie, die den Axiomen I–IV, aber nicht V.1, entspricht, noch durch zusätzliche Elemente erweitern. Es entstehen dann Nichtstandard-Systeme.

Andererseits ist auch das Vollständigkeitsaxiom V.2 unentbehrlich, es lässt sich nicht aus den Axiomen I–V.1 ableiten. Gleichwohl lässt sich ein großer Teil der euklidischen Geometrie ohne das Axiom V.2 entwickeln.

Siehe auch: Euklidischer Körper

Widerspruchsfreiheit und UnabhängigkeitBearbeiten

Relative WiderspruchsfreiheitBearbeiten

Hilbert bewies auch, dass sein Axiomensystem widerspruchsfrei ist, wenn man unterstellt, dass sich die reellen Zahlen widerspruchsfrei begründen lassen.

Als ein Modell für das Axiomensystem dient dann, wie erwähnt, die analytische Geometrie des  , also die Menge aller Tripel reeller Zahlen, zusammen mit den üblichen Definitionen für Geraden und Ebenen als lineare Punktmengen, das heißt als Nebenklassen ein- bzw. zweidimensionaler Unterräume. Die Inzidenz in diesem Modell ist das mengentheoretische Enthaltensein und zwei Strecken sind kongruent, wenn sie dieselbe Länge im Sinne des euklidischen Abstands haben.

Unabhängigkeit der Axiome untereinanderBearbeiten

Erklärtes Ziel Hilberts war es, sein Axiomensystem so aufzubauen, dass die Axiome voneinander logisch unabhängig sind, dass also keines entbehrlich ist, weil es sich aus den anderen beweisen lässt.

Für die Axiome der Gruppe I und II untereinander lässt sich dies leicht zeigen; ebenso sind die Axiome der Gruppe III untereinander unabhängig. Es geht also darum zu zeigen, dass die Axiome der Gruppen III, IV und V von den übrigen unabhängig sind, sowie um die Unabhängigkeit von V.1 und V.2.

Das Beweisverfahren besteht grundsätzlich darin, ein Modell (oder, mit Hilberts Worten: „ein System von Dingen“) anzugeben, für das alle Axiome gelten, mit Ausnahme des als unabhängig nachzuweisenden Axioms A. Offenbar könnte es ein solches Modell nicht geben, wenn A eine logische Folgerung aus den übrigen Axiomen wäre.

Auf diese Weise zeigt Hilbert u. a., dass das Axiom III.5 (der Kongruenzsatz „sws“) unentbehrlich ist.

Die Unabhängigkeit des Parallelenaxioms IV ergibt sich aus dem Nachweis der Existenz von nichteuklidischen Geometrien, die Unabhängigkeit des Archimedischen Axioms V.1 aus der Existenz von Nichtstandard-Systemen, und die Unabhängigkeit des Vollständigkeitsaxioms V.2 z. B. aus der Existenz einer analytischen Geometrie über dem Körper der reellen algebraischen Zahlen. (→ Siehe dazu auch euklidischer Körper)

Es lässt sich zeigen, dass eine Geometrie, welche diese Axiome erfüllt, bis auf Isomorphie eindeutig bestimmt ist: In der Sprache der linearen Algebra gilt für diese Geometrie:

Eine Geometrie, die Hilberts Axiomensystem erfüllt, ist ein affiner Raum, dessen Vektorraum der Verschiebungen ein dreidimensionaler euklidischer Vektorraum, also isomorph zu   mit einem Skalarprodukt ist.

LiteraturBearbeiten

EinzelnachweiseBearbeiten

  1. Susanne Müller-Philipp, Hans-Joachim Gorski: Leitfaden Geometrie: Für Studierende der Lehrämter. Vieweg+Teubner 2008, ISBN 978-3-8348-0097-8, S. 67 (Auszug in der Google-Buchsuche)
  2. Hans Wußing: 6000 Jahre Mathematik: Eine kulturgeschichtliche Zeitreise. Von Euler bis zur Gegenwart. Springer 2008, ISBN 9783540773139, S. 174 (Auszug in der Google-Buchsuche)
  3. Klotzek (2001)
  4. Jacobus Peletarius: In Euclidis Elementa Geometrica Demonstrationum Libri sex. J. Tornaesius; G. Gazeius: Lugduni 1557