Seiteneinteilung

Begriff aus der Geometrie

In der elementaren Geometrie der Zeichenebene zerlegt jede Gerade die Ebene in zwei (offene) Halbebenen, die Seiten der Gerade, diese Beobachtung ist zunächst der Anschauung entnommen. Diese Seiteneinteilung lässt sich mathematisch beschreiben als Äquivalenzrelation auf der Menge aller Punkte der Ebene, die nicht auf der einteilenden Gerade liegen.

Eine Gerade d und die zwei durch sie bestimmten Halbebenen. M und N liegen auf der gleichen Seite von d, während M und P auf verschiedenen Seiten liegen.

In der analytischen Geometrie kann dies präzisiert und verallgemeinert werden: In einem -dimensionalen affinen Raum über einem geordneten Körper liefert jede Hyperebene, also jeder -dimensionale Teilraum eine Seiteneinteilung des Gesamtraums in zwei Halbräume.

In der synthetischen Geometrie können alle Seiteneinteilungen, die von Geraden einer affinen Ebene bestimmt sind, durch axiomatische Beschreibung einer Seiteneinteilungsfunktion eingeführt werden, mit der die Ebene zu einer schwach angeordneten Ebene wird. Eine solche Seiteneinteilungsfunktion erlaubt es dann, auf dieser Ebene eine schwache Zwischenbeziehung einzuführen, die durch ein zusätzliches Axiom zu einer Zwischenbeziehung im Sinne von Hilberts Axiomensystem der euklidischen Geometrie wird.[1] Ebenen mit einer „starken“ Zwischenbeziehung, die den Hilbertschen Anordnungsaxiomen genügt, heißen angeordnete Ebenen. Schwache Seiteneinteilungsfunktionen existieren für desarguesche affine Ebenen genau dann, wenn der Koordinatenschiefkörper der Ebene einen nichttrivialen quadratischen Charakter zulässt und lassen sich durch einen solchen Charakter eindeutig beschreiben. Jede Anordnung einer desargueschen Ebene entspricht eineindeutig einer Anordnung ihres Koordinatenschiefkörpers.

Dieser Artikel beschreibt hauptsächlich die Seiteneinteilung in einer affinen Ebene im Sinne der synthetischen Geometrie. Dabei wird der Begriff der Seiteneinteilung aus der analytischen Geometrie, der für Ebenen ein Spezialfall des synthetischen Begriffes ist, als Leitidee vorangestellt.

DefinitionenBearbeiten

Analytische GeometrieBearbeiten

Für eine übersichtliche Darstellung wird hier ein dreidimensionaler Raum zugrundegelegt. Die Seiteneinteilung kann in gleicher Weise in jedem endlichdimensionalen Raum mit einer Hyperebene anstelle der Ebene vorgenommen werden. Sei   ein geordneter Körper und   der dreidimensionale affine Raum mit dem Koordinatenvektorraum  . Jede Ebene lässt sich durch eine inhomogene Koordinatengleichung   beschreiben. Das Vorzeichen der affinen Funktion   liefert die Seiteneinteilung. Liefert diese Funktion für die Ortsvektoren von zwei Punkten Werte größer 0, dann liegen sie auf derselben Seite der durch   beschriebenen (Hyper-)Ebene, ebenso, wenn beide Werte kleiner als 0 sind. Ist einer der Werte kleiner und einer größer als 0, dann liegen die Punkte auf verschiedenen Seiten.

Obgleich die Punktkoordinaten und die (Hyper-)Ebenengleichung von dem gewählten Koordinatensystem abhängen, ändert sich die Seiteneinteilung bei einem Wechsel des Koordinatensystems nicht. Sie hängt allein von der Ordnung des geordneten Körpers ab und bestimmt diese sogar eindeutig.

Synthetische GeometrieBearbeiten

 
Zum 3. Axiom: Zwei verschiedene Geraden (rot), die die Verbindungsgerade PQ (blau) im gleichen Punkt T schneiden, liefern den gleichen Wert der Seiteneinteilungsfunktion für P und Q. Dies ermöglicht es, die Seiteneinteilungsfunktion zu einer (schwachen) Zwischenfunktion zu machen.

Sei   eine affine Inzidenzebene,   die Menge ihrer Geraden und   die Menge der Tripel

 

dann heißt eine Abbildung   in die zyklische Gruppe   eine (schwache) Seiteneinteilungsfunktion, wenn folgende Axiome erfüllt sind:

  1.  
  2.  
  3. Sind   und   kopunktal, dann ist  
  4. Sind   und  , so ist  
  5. Für jede Gerade   existieren Punkte mit   und  

Eine affine Inzidenzebene mit einer Seiteneinteilungsfunktion heißt schwach angeordnet.

Aus den ersten beiden Axiomen folgt, dass die Eigenschaft   („auf der gleichen Seite liegen“) bei fester Gerade   eine Äquivalenzrelation für Punkte ist, die nicht auf der Geraden liegen. Das 4. Axiom besagt, dass Parallelen einer Geraden ganz auf einer Seite der Geraden liegen, das 5. Axiom fordert, dass es zu jeder Geraden zwei verschiedene Seiten gibt. Das 3. Axiom, das auch als Geradenrelation bezeichnet wird, fordert, dass die Seiteneinteilung, die eine schneidende Gerade   auf einer bestimmten Geraden   einführt, nur von dem Schnittpunkt   abhängt.

Zusammenhang zwischen den DefinitionenBearbeiten

Definiert man für eine affine Ebene über einem geordneten Körper die Seiteneinteilungsfunktion durch

 

wobei   die Vorzeichenfunktion ist,   eine Gleichung der Gerade   und     die Koordinaten der Punkte sind, dann wird diese affine Ebene damit zu einer schwach angeordneten (sogar einer angeordneten) Ebene im Sinne der synthetischen Geometrie und alle abgeleiteten Begriffe sind anwendbar. Insbesondere sind die Seiteneinteilungen, die zwei unterschiedliche Geraden erzeugen, miteinander verträglich im Sinne des 3. Axioms – für schneidende Geraden – bzw. des 4. Axioms – für parallele Geraden.

Eigenschaften und abgeleitete BegriffeBearbeiten

 
Zum Begriff der Halbebene und Halbgerade. Die im Text beschriebene Halbebene Y ist hier nicht gekennzeichnet: Sie besteht aus allen Punkten der Geraden t (grün) und den Punkten „rechts“ von t.

Die im Folgenden angegebenen Begriffe sind so im Lehrbuch von Degen[2] definiert. Abweichend hiervon gibt es in der Literatur unterschiedlich Konventionen darüber, ob eine Halbebene ohne Attribute „offen“ oder „abgeschlossen“ sein soll, also ob sie ihre „Randgerade“ enthält, ebenso darüber, ob eine „Halbgerade“ ihren Anfangspunkt enthält.[3]

  • Für jede Gerade   existieren zwei disjunkte, nichtleere Mengen, die Seiten von  , wobei zwei Punkte   genau dann zur gleichen Seite gehören, wenn   ist.
  • Die Seite von  , die einen bestimmten Punkt   enthält, wird als   (vergleiche die Abbildung rechts: die Punktmenge   ist rötlich gefärbt), die andere Seite als   notiert.
  • Es gilt  
  • Die Vereinigung   wird als (abgeschlossene) Halbebene bezeichnet, die Seite als deren Inneres  , die Gerade als deren Rand  .
  • Die Halbebenen   und   heißen zueinander entgegengesetzt.
  • Der Schnitt zweier entgegengesetzter Halbebenen ist ihr gemeinsamer Rand.
  • Eine Gerade, die zum Rand einer Halbebene parallel ist und mit der Halbebene mindestens einen Punkt gemeinsam hat, liegt ganz in der Halbebene.
  • Eine Gerade ist genau dann nicht parallel zum Rand einer Halbebene, wenn sie Punkte der Halbebene enthält, aber nicht ganz in der Halbebene liegt.
  • Der Durchschnitt einer Halbebene   mit einer Geraden  , die nicht parallel zum Rand   ist, wird als Halbgerade bezeichnet,   als ihr Anfangspunkt,   als Trägergerade der Halbgeraden. (Vergleiche die Abbildung oben rechts: Die die Halbgerade h „ausschneidende Gerade“ t ist dort grün gekennzeichnet.) Zwei Halbgeraden, die als Durchschnitte von   mit zwei entgegengesetzten Halbebenen entstehen, heißen entgegengesetzt.
  • Aufgrund des 3. Axioms der Seiteneinteilungsfunktion gibt es zu einer Geraden   und einem Anfangspunkt   genau zwei Halbgeraden und diese hängen als Mengen nicht davon ab, welche Gerade   ( ) durch   die definierenden entgegengesetzten Halbebenen ausschneidet.

Die hier definierten Begriffe lehnen sich an topologische Begriffe („Inneres“, „Rand“) an. Legt man die Menge aller Seiten (das „Innere“ für alle Halbebenen) als Subbasis zugrunde, dann wird dadurch auf der Ebene tatsächlich eine Topologie definiert. Enthält die Ebene unendlich viele Punkte, was für eine affine Ebene über einem geordneten Körper stets der Fall ist, dann gelten die definierten Begriffe auch im topologischen Sinn. In einer endlichen Ebene entsteht allerdings eine triviale, nämlich die diskrete Topologie.

ZwischenrelationBearbeiten

Zu jeder Seiteneinteilungsfunktion   auf einer affinen Ebene gibt es eine eindeutig bestimmte Abbildung   auf der Menge der kollinearen Punktetripel der Ebene

 

Sie wird definiert, indem für irgendeine Gerade   durch  , die weder durch   noch durch   geht,

 

gesetzt wird. Dass diese Definition unabhängig von der Wahl von   ist, folgt aus dem 3. Axiom für die Seiteneinteilungsfunktion. Die surjektive Funktion   heißt die von der Seiteinteilungsfunktion induzierte schwache Zwischenfunktion. Die schwache Zwischenfunktion ist invariant unter Parallelprojektionen.

 
Zum Axiom (Z) einer schwachen Zwischenfunktion: In einem nichtentarteten Dreieck (rote Punkte) bilden 3 Punkte (blau), die zwischen unterschiedlichen Punktepaaren des Ausgangsdreiecks liegen, wieder ein nichtentartetes Dreieck.

Man sagt dann, „  liegt zwischen   und  “, wenn   und   ist und nennt diese dreistellige Relation schwache Zwischenbeziehung. Diese Relation erfüllt folgende Axiome (→ vergleiche dazu Axiome der Anordnung (Gruppe II) in Hilberts Axiomensystem):

(A1) Liegt   zwischen   und  , dann sind die drei Punkte kollinear und   liegt auch zwischen   und  .
(A2) Sind   und   verschiedene Punkte, so existiert ein Punkt  , der zwischen ihnen liegt.
(A4, Axiom von Pasch) Sind   drei nicht kollineare Punkte, und ist   eine Gerade, die durch keinen dieser Punkte geht und einen Punkt zwischen   und   enthält, dann enthält   auch einen Punkt zwischen   und   oder einen zwischen   und  .
(Z) Sind   drei nicht kollineare Punkte und   Zwischenpunkte der drei Verbindungsstrecken dieses Dreiecks, dann sind auch   nicht kollinear.

Das Axiom (Z) lässt sich auch gleichwertig als Ergänzung zu (A4), dem Axiom von Pasch formulieren: „…dann enthält   auch einen Punkt zwischen   und   oder einen zwischen   und  , niemals beides!“ – Das „Oder“ in dem Axiom (A4) wird also durch (Z) zum ausschließenden Oder.

Nun gilt: Genügt eine dreistellige Relation in einer affinen Inzidenzebene den Axiomen (A1), (A2), (A4) und (Z), dann existiert eine eindeutig bestimmte Seiteneinteilungsfunktion  , aus der sich diese Zwischenbeziehung über die von   induzierte Zwischenfunktion wie oben beschrieben definieren lässt. Die Seiteneinteilungsfunktion kann aus der Zwischenfunktion direkt berechnet werden:

 

Schwache Anordnung auf desargueschen EbenenBearbeiten

Eine desarguesche Ebene ist isomorph zu einer Koordinatenebene über einem Schiefkörper  . Zu drei kollinearen Punkten   mit   gibt es immer genau ein Element  , den Streckungsfaktor   mit  , umgekehrt gibt es zu jedem   ein kollineares Punktetripel mit   (→ siehe dazu Affine Translationsebene). Weil sowohl der Streckungsfaktor als auch die Zwischenfunktion invariant unter Parallelprojektionen ist, kann man eine wohldefinierte Zuordnung

 

definieren, die ein nichttrivialer quadratischer Charakter von   ist.

Umgekehrt kann jeder nichttriviale quadratische Charakter   des Schiefkörpers zur Definition einer schwachen Zwischenfunktion verwendet werden:

 

Jede schwache Seiteneinteilung auf einer desargueschen Ebene wird so durch einen nichttrivialen quadratischen Charakter des Koordinatenschiefkörpers induziert und umgekehrt. Auf einer desargueschen Ebene existiert also genau dann eine schwache Seiteneinteilungsfunktion, wenn sein Koordinatenschiefkörper einen nichttrivialen quadratischen Charakter zulässt und zu jedem solchen Charakter existiert eine schwache Anordnung der Ebene.

Angeordnete EbeneBearbeiten

Das dritte Hilbertsche Anordnungsaxiom lautet

(A3) Liegt   zwischen   und  , so liegt   nicht zwischen   und  .

Aus den Hilbertschen Axiomen (A1) bis (A4) folgt das Axiom (Z). Eine affine Ebene mit einer Zwischenrelation, die die Axiome (A1) bis (A4) und damit automatisch auch (Z) erfüllt, wird als angeordnete Ebene bezeichnet.

EigenschaftenBearbeiten

  • In einer angeordneten affinen Inzidenzebene liegt von drei verschiedenen kollinearen Punkten genau einer zwischen den beiden anderen.
  • Jede angeordnete affine Inzidenzebene ist auch schwach angeordnet.
  • Die Anordnung (Zwischenbeziehung) lässt sich mit einer eindeutig durch sie bestimmten Seiteneinteilungsfunktion bzw. mit der durch sie bestimmten Zwischenfunktion beschreiben. Sie ist also im Falle einer desargueschen Ebene wie die schwache Anordnung durch einen nichttrivialen quadratischen Charakter eindeutig bestimmt.
  • In einer angeordneten Ebene und in einer endlichen, schwach angeordneten Ebene gilt das affine Fano-Axiom, daher existiert in diesen Fällen zu zwei beliebigen Punkten stets ein Mittelpunkt. Dieser Mittelpunkt liegt dann immer (im Sinne der jeweiligen Zwischenbeziehung) zwischen den beiden Punkten.
  • Kann die affine Translationsebene, die durch Schlitzen aus einer Moufangebene entsteht, zu einer angeordneten Ebene gemacht werden, dann sind beide Ebenen desarguesch.[4]

Desarguesche angeordnete EbeneBearbeiten

Die Anordnung eines Schiefkörpers   muss die gleichen Axiome erfüllen wie die Ordnung eines geordneten Körpers, woraus folgt, dass sie durch einen Positivbereich   eindeutig bestimmt ist, der folgende Eigenschaften hat (→ vergleiche geordneter Körper):

  1.  
  2.  
  3. für jedes   gilt genau eine der Beziehungen  .

Durch jeden solchen Positivbereich ist ein quadratischer Charakter   bestimmt, der auf   positiv, auf   negativ ist und   erfüllt. Umgekehrt bestimmt jeder quadratische Charakter mit   einen Bereich  , der allerdings im Allgemeinen nur die 2. und 3. Eigenschaft eines Positivbereiches hat.

Der folgende Satz klärt den Zusammenhang zwischen der Anordnung einer desargueschen Ebene und der Anordnung ihres Koordinatenschiefkörpers:

Der Koordinatenschiefkörper einer angeordneten desargueschen Ebene lässt eine Anordnung zu. Umgekehrt lässt die affine Ebene über einem angeordneten Schiefkörper sich anordnen. Jede Anordnung des Schiefkörpers induziert eine „starke“ Zwischenfunktion auf der Ebene und umgekehrt. Der Zusammenhang wird durch die Gleichwertigkeit
 
für alle   vermittelt.

BeispieleBearbeiten

  • Die affine Ebene über einem geordneten Körper wird durch die oben beschriebene Seiteneinteilungsfunktion zu einer angeordneten Ebene. Der quadratische Charakter ordnet jeder Zahl des Körpers außer 0 ihr Vorzeichen als Zahl in   zu.
  • Ein formal reeller Körper lässt mindestens eine Ordnung zu, die ihn zu einem geordneten Körper macht. Jede dieser Körperordnungen bestimmt wie im vorigen Beispiel einen nichttrivialen quadratischen Charakter und damit eine Anordnung der affinen Ebene über dem Körper.
  • Ein euklidischer Körper lässt nur einen nichttrivialen quadratischen Charakter zu, der jeder Quadratzahl 1 und jeder Nichtquadratzahl −1 zuordnet, (siehe dazu auch Quadratklasse). Daher ist auf der affinen Ebene über einem solchen Körper genau eine schwache Seiteneinteilung möglich, mit der diese Ebene zu einer „stark“ angeordneten Ebene wird.
  • Der Körper der komplexen Zahlen und allgemeiner jeder algebraisch abgeschlossene Körper lässt nur den trivialen Charakter als quadratischen Charakter zu. Daher ist auf einer affinen Ebene über einem solchen Körper keine schwache Anordnung möglich.
  • Auf dem Körper der rationalen Zahlen können unendlich viele nichttriviale quadratische Charaktere definiert werden: Teilt man die Menge der Primzahlen willkürlich in zwei disjunkte Teilmengen   und   auf, dann wird durch   und die Wahl eines Vorzeichens für   ein Charakter   eindeutig bestimmt. Damit sind alle quadratischen Charaktere von   beschrieben. Jeder dieser Charaktere außer dem trivialen ( ) bestimmt eine schwache Anordnung der affinen Ebene über  . Genau für den durch   beschriebenen Charakter ist die schwache Anordnung eine Anordnung, die „gewöhnliche“ Anordnung der rationalen Ebene.
  • Jeder Restklassenkörper   zu einer ungeraden Primzahl   besitzt ein Element  , das die zyklische multiplikative Gruppe   des Körpers erzeugt. Durch   ist ein nichttrivialer quadratischer Charakter auf   als Gruppenhomomorphismus eindeutig definiert. Dies ist der einzige nichttriviale quadratische Charakter des Körpers, daher kann die desarguesche Ebene über einem solchen Körper auf genau eine Art schwach angeordnet werden.
  • Die affine Ebene über dem Restklassenkörper   wird durch ihren einzigen nichttrivialen quadratischen Charakter zu einer schwach angeordneten Ebene. 2 ist ein erzeugendes Element von  . Für ein Punktetripel   mit   ändert sich die Zwischenfunktion bei zyklischer Vertauschung der Punkte in dem Tripel nicht. Daher liegt keiner der drei verschiedenen kollinearen Punkte zwischen den beiden anderen.[5]
  • Ist   ein beliebiger Körper und   der rationale Funktionenkörper über diesem Körper, dann kann durch den Grad der rationalen Funktion   ein nichttrivialer quadratischer Charakter auf   eingeführt werden:   genau dann, wenn   ungerade ist. Durch diesen Charakter lässt sich die affine Ebene über   schwach anordnen. – Dies ist also auch über gewissen unendlichen Körpern mit Charakteristik 2 möglich!
  • Ein endlicher Körper mit Charakteristik 2 lässt keinen nichttrivialen quadratischen Charakter zu, daher existiert auf einer affinen Ebene über einem solchen Körper nie eine Seiteneinteilung.

LiteraturBearbeiten

Originalliteratur
  • David Hilbert: Grundlagen der Geometrie. 14. Auflage. Teubner, Stuttgart/Leipzig 1899, ISBN 3-519-00237-X (Online-Kopie der Ausgabe von 1903 [abgerufen am 25. Juli 2013]).
  • Erich Glock: Die Orientierungsfunktionen eines affinen Raumes. In: Mathematische Zeitschrift. Band 78, 1962, S. 319–360.
  • Erich Glock: Ordnungsfunktionen, die auf Seiteneinteilungen besonderer Art führen. In: Mathematics and Statistics, Archiv der Mathematik. Band 12, Nr. 1, S. 71–77, doi:10.1007/BF01650526.
  • Emanuel Sperner: Die Ordnungsfunktionen einer Geometrie. In: Math. Ann. Band 121, 1949, S. 107–130.
  • Emanuel Sperner: Beziehungen zwischen geometrischer und algebraischer Anordnung. In: Sitzungsbericht Heidelberger Akad. Wiss. Math. Naturwiss. Kl. 1949, S. 413–448.
Lehrbücher

EinzelnachweiseBearbeiten

  1. Hilbert (1899), 1 §3: Axiome der Anordnung
  2. Degen (1976)
  3. Dazu etwa Lüneburg (1999)
  4. Pickert (1975) S. 240
  5. Degen (1976) S. 105