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Drei reflexive Relationen, als gerichtete Graphen dargestellt

Die Reflexivität einer zweistelligen Relation auf einer Menge ist gegeben, wenn für alle Elemente der Menge gilt, also jedes Element in Relation zu sich selbst steht. Man nennt dann reflexiv.

Eine Relation heißt irreflexiv, wenn die Beziehung für kein Element der Menge gilt, also kein Element in Relation zu sich selbst steht. Es gibt auch Relationen, die weder reflexiv noch irreflexiv sind, wenn die Beziehung für einige Elemente der Menge gilt, doch nicht für alle.

Die Reflexivität ist eine der Voraussetzungen für eine Äquivalenzrelation oder eine Ordnungsrelation; die Irreflexivität ist eine der Voraussetzungen für eine strikte Ordnungsrelation.

Formale DefinitionBearbeiten

Ist   eine Menge und   eine zweistellige Relation auf  , dann definiert man (unter Verwendung der Infixnotation):

  ist reflexiv : 
  ist irreflexiv : 

BeispieleBearbeiten

ReflexivBearbeiten

  • Die Kleiner-Gleich-Relation   auf den reellen Zahlen ist reflexiv, da stets   gilt. Sie ist darüber hinaus eine Totalordnung. Gleiches gilt für die Relation  .
  • Die gewöhnliche Gleichheit   auf den reellen Zahlen ist reflexiv, da stets   gilt. Sie ist darüber hinaus eine Äquivalenzrelation.
  • Die Teilmengenbeziehung   zwischen Mengen ist reflexiv, da stets   gilt. Sie ist darüber hinaus eine Halbordnung.

IrreflexivBearbeiten

  • Die Kleiner-Relation   auf den reellen Zahlen ist irreflexiv, da nie   gilt. Sie ist darüber hinaus eine strenge Totalordnung. Gleiches gilt für die Relation  .
  • Die Ungleichheit   auf den reellen Zahlen ist irreflexiv, da nie   gilt.

Weder reflexiv noch irreflexivBearbeiten

Die folgende Relation auf der Menge der reellen Zahlen ist weder reflexiv noch irreflexiv:

 

Grund: Für   gilt  , für   gilt  .

Darstellung als gerichteter GraphBearbeiten

Jede beliebige Relation   auf einer Menge   kann als gerichteter Graph aufgefasst werden (Beispiel siehe oben). Die Knoten des Graphen sind dabei die Elemente von  . Vom Knoten   zum Knoten   wird genau dann eine gerichtete Kante (ein Pfeil  ) gezogen, wenn   gilt.

Die Reflexivität von   lässt sich im Graphen nun so charakterisieren: Für jeden Knoten   gibt es eine Schleife  . Entsprechend ist die Irreflexivität dadurch gegeben, dass es für keinen Knoten   eine Schleife   gibt.

EigenschaftenBearbeiten

  • Mit Hilfe der identischen Relation   (die aus allen Paaren   besteht) kann man die Begriffe auch so charakterisieren:
      ist reflexiv  
      ist irreflexiv  
  • Ist die Relation   reflexiv bzw. irreflexiv, dann gilt dies auch für die konverse Relation  . Beispiele: die zu   konverse Relation ist  , die zu   konverse ist  .
  • Ist die Relation   reflexiv, dann ist die komplementäre Relation   irreflexiv. Ist   irreflexiv, dann ist   reflexiv. Dabei ist die komplementäre Relation definiert durch
     .
  • Die Relation auf der leeren Menge ist als einzige Relation sowohl reflexiv als auch irreflexiv.

Siehe auchBearbeiten