Oktaeder

Oktaeder
Art der Seitenflächen	gleichseitige Dreiecke
Anzahl der Flächen	8
Anzahl der Ecken	6
Anzahl der Kanten	12
Schläfli-Symbol	{3,4}
dual zu	Hexaeder (Würfel)
Körpernetz
Anzahl verschiedener Netze	11
Anzahl Kanten in einer Ecke	4
Anzahl Ecken einer Fläche	3

Drei senkrecht zueinander stehende Quadrate, die jeweils die Grundfläche einer Doppelpyramide bilden.

Das (auch, v. a. österr.: der) Oktaeder [ɔktaˈeːdɐ] (von griech. oktáedron ‚Achtflach‘, Achtflächner‘) ist einer der fünf platonischen Körper, genauer ein regelmäßiges Polyeder (Vielflach, Vielflächner) mit

• acht (kongruenten) gleichseitigen Dreiecken als Flächen
• zwölf (gleich langen) Kanten und
• sechs Ecken, in denen jeweils vier Flächen zusammentreffen

Das Oktaeder ist sowohl eine gleichseitige vierseitige Doppelpyramide (mit quadratischer Grundfläche) als auch ein gleichseitiges Antiprisma (mit einem gleichseitigen Dreieck als Grundfläche).

Symmetrie

Wegen seiner hohen Symmetrie – alle Ecken, Kanten und Flächen sind untereinander gleichartig – ist das Oktaeder ein reguläres Polyeder. Es hat:

• drei vierzählige Drehachsen (durch gegenüberliegende Ecken)
• vier dreizählige Drehachsen (durch die Mittelpunkte gegenüberliegender Flächen)
• sechs zweizählige Drehachsen (durch die Mittelpunkte gegenüberliegender Kanten)
• neun Symmetrieebenen (drei Ebenen durch je vier Ecken, sechs Ebenen durch jeweils zwei Ecken und zwei Kantenmittelpunkte)

und ist

• punktsymmetrisch (zentralsymmetrisch)

Insgesamt hat die Symmetriegruppe des Oktaeders – die Oktaeder- oder Würfelgruppe – 48 Elemente.

Beziehungen zu anderen Polyedern

Das Oktaeder ist das zum Hexaeder (Würfel) duale Polyeder (und umgekehrt).

Setzt man auf die Seiten des Oktaeders Tetraeder auf, entsteht das Sterntetraeder.

Mithilfe von Oktaeder und Würfel können zahlreiche Körper konstruiert werden, die ebenfalls die Würfelgruppe als Symmetriegruppe haben. So erhält man zum Beispiel

• das abgestumpfte Oktaeder mit 8 Sechsecken und 6 Quadraten
• das Kuboktaeder mit 8 Dreiecken und 6 Quadraten, also mit 14 Flächen, und 12 Ecken
• den abgestumpften Würfel mit 8 Dreiecken und 6 Achtecken

als Durchschnitte eines Oktaeders mit einem Würfel (siehe archimedische Körper) und

• das Rhombendodekaeder (mit 8 + 6 = 14 Ecken und 12 Rhomben als Flächen)

als konvexe Hülle einer Vereinigung eines Oktaeders mit einem Würfel.

Formeln

Größen eines Oktaeders mit Kantenlänge a
Volumen	$V={\frac {a^{3}}{3}}{\sqrt {2}}$
Oberflächeninhalt	$A_{O}=2a^{2}{\sqrt {3}}$
Umkugelradius	$R={\frac {a}{2}}{\sqrt {2}}$
Kantenkugelradius	$r={\frac {a}{2}}$
Inkugelradius	$\rho ={\frac {a}{6}}{\sqrt {6}}$
Verhältnis von Volumen  zu Umkugelvolumen	${\frac {V}{V_{UK}}}={\frac {1}{\pi }}$
Flächenwinkel  ≈ 109° 28′ 16″	$\cos \,\alpha =-{\frac {1}{3}}$
3D-Kanten-Winkel  = 90°	$\cos \,\gamma =0$
Ecken-Raumwinkel  ≈ 0,4327 π	$\cos \,\Omega ={\frac {17}{81}}$

Verallgemeinerung

Die Analoga des Oktaeders in beliebiger Dimension n werden als (n-dimensionale) Kreuzpolytope bezeichnet und sind ebenfalls reguläre Polytope. Das n-dimensionale Kreuzpolytop hat $2n$ Ecken und wird von $2^{n}$ (n−1)-dimensionalen Simplexen (als Facetten) begrenzt. Das vierdimensionale Kreuzpolytop hat 8 Ecken, 24 gleich lange Kanten, 32 gleichseitige Dreiecke als Seitenflächen und 16 Tetraeder als Facetten. (Das eindimensionale Kreuzpolytop ist eine Strecke, das zweidimensionale Kreuzpolytop ist das Quadrat.)

Ein Modell für das n-dimensionale Kreuzpolytop ist die Einheitskugel bezüglich der Summennorm

$\left\|x\right\|_{1}=\left\vert x_{1}\right\vert +\cdots +\left\vert x_{n}\right\vert$ für $x=(x_{1},\dots ,x_{n})\in \mathbb {R} ^{n}$

im Vektorraum $\mathbb {R} ^{n}$. Und zwar ist das (abgeschlossene) Kreuzpolytop daher

• die Menge

$\left\{x\in \mathbb {R} ^{n}\mid \left\|x\right\|_{1}\leq 1\right\}=\left\{(x_{1},\dots ,x_{n})\mid \left\vert x_{1}\right\vert +\cdots +\left\vert x_{n}\right\vert \leq 1\right\}$.

• die konvexe Hülle der $2n$ Eckpunkte $\pm e_{i}$, wobei $e_{i}$ die Einheitsvektoren sind.
• der Durchschnitt der $2^{n}$ Halbräume, die durch die Hyperebenen der Form

$\pm x_{1}\pm \cdots \pm x_{n}=1$

bestimmt werden und den Ursprung enthalten.

Das Volumen des n-dimensionalen Kreuzpolytops beträgt ${\frac {(2r)^{n}}{n!}}$, wobei $r>0$ der Radius der Kugel um den Ursprung bezüglich der Summennorm ist. Die Beziehung lässt sich mittels Rekursion und dem Satz von Fubini beweisen.

Anwendungen

Oktaedrische Alaunkristalle

In der Chemie können sich bei der Vorhersage von Molekülgeometrien nach dem VSEPR-Modell oktaedrische Moleküle ergeben. Auch in Kristallstrukturen, wie der kubisch flächenzentrierten Natriumchlorid-Struktur (Koordinationszahl 6), taucht das Oktaeder in der Elementarzelle auf; genauso in der Komplexchemie, falls sich 6 Liganden um ein Zentralatom lagern.

Einige in der Natur vorkommende Minerale, z. B. das Alaun, kristallisieren in oktaedrischer Form aus.

In Rollenspielen werden oktaedrische Spielewürfel verwendet und dort als „W8“, also als Würfel mit 8 Flächen, bezeichnet.

Weblinks

Commons: Oktaeder – Sammlung von Bildern, Videos und Audiodateien

Wiktionary: Oktaeder – Bedeutungserklärungen, Wortherkunft, Synonyme, Übersetzungen

• Oktaeder. – Mathematische Basteleien

Platonische Körper

Tetraeder · Würfel · Oktaeder · Dodekaeder · Ikosaeder