Oktaeder

Vielflächner höchster Symmetrie

Das (auch, v. a. österr.: der) Oktaeder [ɔktaˈeːdɐ] (von altgriechisch ὀκτάεδρος oktáedros, deutsch ‚achtseitig‘)[1] ist einer der fünf platonischen Körper, genauer ein regelmäßiges Polyeder (Vielflach, Vielflächner) mit

Oktaeder
Animation
Art der Seitenflächen gleichseitige Dreiecke
Anzahl der Flächen 8
Anzahl der Ecken 6
Anzahl der Kanten 12
Schläfli-Symbol {3,4}
dual zu Hexaeder (Würfel)
Körpernetz Octahedron flat.svg
Anzahl verschiedener Netze 11
Anzahl Kanten in einer Ecke 4
Anzahl Ecken einer Fläche 3
Oktaeder im STL-Format

Es ist sowohl eine gleichseitige vierseitige Doppelpyramide mit quadratischer Grundfläche – in seiner Eigenschaft als das regelmäßige Kreuzpolytop der dritten Dimension – als auch ein gleichseitiges Antiprisma mit einem gleichseitigen Dreieck als Grundfläche.

SymmetrieBearbeiten

 
Drei senkrecht zueinander stehende Quadrate, die jeweils die Grundfläche einer Doppelpyramide bilden.
 
Oktaeder mit Beispielen der Drehachsen   und zwei Symmetrieebenen (rot bzw. grün)

Wegen seiner hohen Symmetrie – alle Ecken, Kanten und Flächen sind untereinander gleichartig – ist das Oktaeder ein reguläres Polyeder. Es hat:

  • 3 vierzählige Drehachsen   (durch gegenüberliegende Ecken)
  • 4 dreizählige Drehachsen   (durch die Mittelpunkte gegenüberliegender Flächen)
  • 6 zweizählige Drehachsen   (durch die Mittelpunkte gegenüberliegender Kanten)
  • 9 Symmetrieebenen (3 Ebenen durch je vier Ecken (z. B. rot), 6 Ebenen durch jeweils zwei Ecken und zwei Kantenmittelpunkte (z. B. grün))
  • 14 Drehspiegelungen (6 um 90° mit den Ebenen durch je vier Ecken und 8 um 60° mit Ebenen durch je sechs Kantenmitten)

und ist

Insgesamt hat die Symmetriegruppe des Oktaeders – die Oktaedergruppe oder Würfelgruppe – 48 Elemente.

Beziehungen zu anderen PolyedernBearbeiten

Das Oktaeder ist das zum Hexaeder (Würfel) duale Polyeder (Bild 1) und umgekehrt.

 
Bild 2: Zwei regelmäßige Tetraeder in einem Würfel einbeschrieben ergeben einen Sterntetraeder
 
Bild 1: Oktaeder mit dualem Würfel. Die Mittelpunkte der Quadrate sind die Ecken des Oktaeders.

Zwei regelmäßige Tetraeder (siehe Bild 2: ein Tetraeder in Rottönen, das andere in Grüntönen) können in einem Würfel so einbeschrieben werden, dass die Ecken zugleich Würfelecken und die Kanten Diagonalen der Würfelflächen sind. Die Vereinigungsmenge ist ein Sterntetraeder

Die dreidimensionale Schnittmenge der zwei Tetraeder (Bild 3) ist ein Oktaeder mit halber Seitenlänge. Setzt man auf die 8 Seitenflächen des Oktaeders Tetraeder auf, entsteht ebenfalls ein Sterntetraeder.

Wird ein Oktaeder von einem regelmäßigen Tetraeder umschrieben (Bild 4), sind die 6 Ecken des Oktaeders die Mittelpunkte der 6 Tetraederkanten und liegen 4 der 8 Oktaederflächen in den Seitenflächen eines der beiden möglichen Tetraeder. Das Oktaeder entsteht also, wenn von einem Tetraeder mit doppelter Kantenlänge 4 Tetraeder mit derselben Seitenlänge abgeschnitten werden.

Mithilfe von Oktaeder und Würfel können zahlreiche Körper konstruiert werden, die ebenfalls die Oktaedergruppe als Symmetriegruppe haben. So erhält man zum Beispiel

als Durchschnitte eines Oktaeders mit einem Würfel (siehe archimedische Körper) und

als konvexe Hülle einer Vereinigung eines Oktaeders mit einem Würfel.

 
Bild 3: Zwei Tetraeder im Würfel haben als dreidimensionale Schnittmenge ein Oktaeder mit halber Seitenlänge.
 
Bild 4: Ein regelmäßiges Tetraeder mit doppelter Seitenlänge umschreibt ein Oktaeder. Die 6 Ecken des Oktaeders sind dann die Mittelpunkte der 6 Tetraederkanten.

FormelnBearbeiten

Größen eines Oktaeders mit Kantenlänge a
Volumen  

 

 ohne Raumwinkel   in den Ecken
Oberflächeninhalt  
Umkugelradius  
Kantenkugelradius  
Inkugelradius  [2]
Verhältnis von Volumen
 zu Umkugelvolumen
 
Innenwinkel des
gleichseitigen Dreiecks
 
Winkel zwischen
benachbarten Flächen
    
Winkel zwischen
Kante und Fläche
 
3D-Kanten-Winkel  
Raumwinkel in den Ecken  
Sphärizität  

Berechnung des regelmäßigen OktaedersBearbeiten

VolumenBearbeiten

Das Oktaeder besteht quasi aus zwei zusammengesetzten Pyramiden mit quadratischer Grundfläche   und Kantenlänge  

Für Pyramiden und somit für das halbe Volumen des Oktaeders gilt

 

darin ist die Grundfläche (Quadrat)

 

und die Höhe der Pyramide

 

mit eingesetzten Variablen und dem Faktor 2 wird

 

Ist das Volumen eines regelmäßige Tetraeders in abhängig von der Kantenlänge bekannt, dann kann das Volumen des Oktaeders auch als Differenz des Volumens eines umbeschriebenen Tetraeders mit der Kantenlänge   und 4 kongruenten Tetraedern mit der Kantenlänge   berechnet werden. Es ergibt sich logischerweise dasselbe Volumen

 

OberflächeninhaltBearbeiten

Für den Oberflächeninhalt   des Oktaeders (acht gleichseitige Dreiecke) gilt

 

PyramidenhöheBearbeiten

Die Höhe der Pyramide   ist mithilfe des folgenden rechtwinkligen Dreiecks bestimmbar.

Die Seitenlängen dieses Dreiecks sind (siehe Bild in Formeln): Seitenhöhe   als Hypotenuse, Pyramidenhöhe   als große Kathete und halbe Kantenlänge der Pyramide   als kleine Kathete.

Für die Höhe   des gleichseitigen Dreiecks gilt

  

und nach dem Satz des Pythagoras gilt

 

Winkel zwischen benachbarten FlächenBearbeiten

Dieser Winkel, bezeichnet mit   (siehe Bild in Formeln), hat seinen Scheitel an einer Kante des Oktaeders. Er ist mithilfe des folgenden rechtwinkligen Dreiecks bestimmbar.

Die Seitenlängen dieses Dreiecks sind: Kantenkugelradius   als Hypotenuse, Inkugelradius   als große Kathete und ein Drittel der Seitenhöhe   als kleine Kathete. Dieser Wert ist durch die Position des Flächenschwerpunktes der Dreiecksfläche bestimmt, da der geometrische Schwerpunkt die Höhe des Dreiecks im Verhältnis 2:1 teilt.

Für den Winkel   gilt

 

Winkel zwischen Kante und FlächeBearbeiten

Dieser Winkel, bezeichnet mit  , hat seinen Scheitel an einer Ecke des Oktaeders. Winkel   ist mithilfe des folgenden rechtwinkligen Dreiecks bestimmbar.

Die Seitenlängen dieses Dreiecks sind (siehe Bild in Formeln): Pyramidenkante   als Hypotenuse, Pyramidenhöhe   als große Kathete und die halbe Diagonale eines Quadrats mit   als Seitenlänge/Kante   als kleine Kathete.

Für den Winkel   gilt

 

3D-KantenwinkelBearbeiten

Dieser Winkel, bezeichnet mit   (siehe Bild in Formeln), hat seinen Scheitel an einer Ecke des Oktaeders und entspricht zweimal Winkel   d. h. dem Innenwinkel eines Quadrats.

Somit gilt für den 3D-Kantenwinkel des Oktaeders

 

Raumwinkel in den EckenBearbeiten

Einen Lösungsweg für den Raumwinkel   zeigt die folgende Formel, beschrieben in Platonischer Körper

 [3]

Mit der Anzahl der Kanten/Flächen an einer Ecke   und dem Innenwinkel des gleichseitigen Dreiecks   gilt

 

wegen   wird damit

 

eingesetzt   in   und umgeformt

 

Vereinfachung[4]

 
 

Definition als Menge von PunktenBearbeiten

Das Oktaeder kann als Menge von Punkten im dreidimensionalen euklidischen Raum definiert werden, wo die Summe der absoluten Beträge der 3 Koordinaten im kartesischen Koordinatensystem höchstens so groß ist wie der Umkugelradius  . Formal lässt sich diese Menge aufschreiben als

 

Dabei ist   die Betragssummennorm oder 1-Norm des Vektors  . Für das Innere des Oktaeders gilt   und für die Oberfläche gilt  . Nach dieser Definition ist der Mittelpunkt des Oktaeders der Koordinatenursprung und seine Ecken  ,  ,  ,  ,  ,   liegen auf den 3 Achsen des kartesischen Koordinatensystems.

Allgemeiner kann ein Oktaeder, das eine beliebige Lage im dreidimensionalen euklidischen Raum hat, mithilfe von Vektoren definiert werden. Ist   der Ortsvektor des Mittelpunkts und sind  ,  ,   orthogonale Richtungsvektoren, die den Mittelpunkt des Oktaeders mit 3 Ecken verbinden, also ein Orthogonalsystem des dreidimensionalen Vektorraums  , dann lässt sich die Menge der Punkte des Oktaeders definieren als die Menge der Vektoren[5]

 

VerallgemeinerungBearbeiten

Die Analoga des Oktaeders in beliebiger Dimension   werden als  -dimensionale Kreuzpolytope bezeichnet und sind ebenfalls reguläre Polytope. Das  -dimensionale Kreuzpolytop hat   Ecken und wird von    -dimensionalen Simplexen (als Facetten) begrenzt. Das vierdimensionale Kreuzpolytop hat 8 Ecken, 24 gleich lange Kanten, 32 gleichseitige Dreiecke als Seitenflächen und 16 Tetraeder als Facetten. Das eindimensionale Kreuzpolytop ist eine Strecke, das zweidimensionale Kreuzpolytop ist das Quadrat, das dreidimensionale Kreuzpolytop ist das Oktaeder.

Ein Modell für das  -dimensionale Kreuzpolytop ist die Einheitskugel bezüglich der Summennorm

  für  

im Vektorraum  . Und zwar ist das (abgeschlossene) Kreuzpolytop daher

  • die Menge
 .
  • die konvexe Hülle der   Eckpunkte  , wobei   die Einheitsvektoren sind.
  • der Durchschnitt der   Halbräume, die durch die Hyperebenen der Form
 
bestimmt werden und den Ursprung enthalten.

Das Volumen des  -dimensionalen Kreuzpolytops beträgt  , wobei   der Radius der Kugel um den Koordinatenursprung bezüglich der Summennorm ist. Die Beziehung lässt sich mittels Rekursion und dem Satz von Fubini beweisen.[6]

Netze des OktaedersBearbeiten

Das Oktaeder hat elf Netze[7]. Das heißt, es gibt elf Möglichkeiten, ein hohles Oktaeder durch Aufschneiden von 5 Kanten aufzuklappen und in der Ebene auszubreiten. Die anderen 7 Kanten verbinden jeweils die 8 gleichseitigen Dreiecke des Netzes. Um ein Oktaeder so zu färben, dass keine benachbarten Flächen dieselbe Farbe haben, braucht man mindestens 2 Farben.

 
Ein Netz des Oktaeders
 
Animation eines Oktaedernetzes

Graphen, duale Graphen, Zyklen, FärbungenBearbeiten

 
Färbungen veranschaulicht
Oktaeder einbeschrieben vom dualen Würfel

Das Oktaeder hat einen ihm zugeordneten ungerichteten planaren Graphen mit 6 Knoten, 12 Kanten und 8 Gebieten, der 4-regulär ist, d. h. von jedem Knoten gehen 4 Kanten aus, sodass der Grad für alle Knoten gleich 4 ist. Bei planaren Graphen ist die genaue geometrische Anordnung der Knoten unwesentlich. Wichtig ist allerdings, dass sich die Kanten nicht schneiden müssen. Die Knoten dieses Oktaedergraphen entsprechen den Ecken des Würfel.

Die Knoten des Oktaedergraphen können mit 3 Farben so gefärbt werden, dass benachbarte Knoten immer unterschiedlich gefärbt sind. Dies bedeutet, dass die chromatische Zahl dieses Graphen gleich 3 ist. Außerdem können die Kanten mit 4 Farben so gefärbt werden, dass benachbarte Kanten immer unterschiedlich gefärbt sind. Mit 3 Farben ist das nicht möglich, sodass der chromatische Index für die Kantenfärbung gleich 4 ist (das nebenstehende Bild veranschaulicht diese Färbungen).

Um die entsprechende nötige Anzahl der Farben für die Flächen oder Gebiete zu bestimmen, ist der duale Graph (Würfelgraph) mit 8 Knoten, 12 Kanten und 6 Gebieten hilfreich. Die Knoten dieses Graphen werden dabei den Gebieten des Oktaedergraphen eineindeutig (bijektiv) zugeordnet und umgekehrt (siehe bijektive Funktion und Abbildung oben). Die Knoten des Würfelgraphen können mit 2 Farben so gefärbt werden, dass benachbarte Knoten immer unterschiedlich gefärbt sind, sodass die chromatische Zahl des Würfelgraphen gleich 2 ist. Daraus lässt sich indirekt schließen: Weil die chromatische Zahl gleich 2 ist, sind 2 Farben für eine solche Flächenfärbung des Oktaeders oder eine Färbung der Gebiete des Oktaedergraphen nötig.[8]

 
Knotenfärbung des Oktaedergraphen
 
Kantenfärbung des Oktaedergraphen
 
Flächenfärbung des Oktaedergraphen mit dualer Knotenfärbung des Würfelgraphen

Die 5 aufgeschnittenen Kanten jedes Netzes (siehe oben) bilden zusammen mit den Ecken (Knoten) einen Spannbaum des Oktaedergraphen. Jedes Netz entspricht genau einem Spannbaum und umgekehrt, sodass hier eine eineindeutige (bijektive) Zuordnung zwischen Netzen und Spannbäumen besteht. Wenn man ein Oktaedernetz ohne das äußere Gebiet als Graphen betrachtet, erhält man als dualen Graphen jeweils einem Baum mit 8 Knoten und 7 Kanten und dem maximalen Knotengrad 3. Jede Fläche des Oktaeders wird dabei einem Knoten des Baums zugeordnet. Dabei kommt nicht jede graphentheoretische Konstellation (siehe Isomorphie von Graphen) solcher Bäume vor, aber einige mehrfach.

Der Oktaedergraph besitzt 32 Hamiltonkreise und 1488 Eulerkreise.[9]

 
Oktaedergraph mit einem der 32 Hamiltonkreise

Raumfüllungen mit OktaedernBearbeiten

Der dreidimensionale euklidische Raum kann lückenlos mit platonischen Körpern oder archimedischen Körpern gleicher Kantenlänge ausgefüllt werden kann. Solche dreidimensionalen Parkettierungen werden Raumfüllung genannt. Die folgenden Raumfüllungen enthalten Oktaeder:

Sierpinski-TetraederBearbeiten

 
Das Sierpinski-Tetraeder. Die Anzahl der Teil-Tetraeder vervierfacht sich mit jedem Iterationsschritt, das Volumen geht gegen 0, der Flächeninhalt der Oberfläche bleibt konstant.
Die herausgeschnittenen Hohlräume (Polyeder) sind Oktaeder verschiedener Seitenlänge.

Das Oktaeder steht indirekt im Zusammenhang mit dem Sierpinski-Tetraeder. Das Sierpinski-Tetraeder ist die dreidimensionale Verallgemeinerung des Sierpinski-Dreiecks. Die Startfigur ist ein Tetraeder. Aus dessen Mitte wird in jedem Iterationsschritt ein Oktaeder mit halber Kantenlänge herausgeschnitten. Übrig bleiben 4 Tetraeder, aus denen wieder je ein Oktaeder herausgeschnitten wird usw.[10][11]

Nach dem Iterationsschritt   sind offensichtlich   Teil-Tetraeder mit derselben Seitenlänge entstanden. Die Anzahl der herausgeschnittenen Oktaeder mit verschiedener Seitenlänge beträgt  .

Die Dimension für dieses Gebilde ist  , obwohl es sich hierbei um eine Figur im dreidimensionalen Raum handelt. Mit einer zunehmenden Zahl von Iterationsschritten geht das Volumen der Figur gegen 0, der Flächeninhalt der Oberfläche bleibt jedoch konstant, weil sich die Anzahl der Seitenflächen der zueinander deckungsgleichen Teil-Tetraeder mit jedem Iterationsschritt vervierfacht, während sich die Seitenlänge dieser Seitenflächen, die alle deckungsgleiche Dreiecke sind, halbiert.

AnwendungenBearbeiten

 
Oktaedrische Alaunkristalle

In der Chemie können sich bei der Vorhersage von Molekülgeometrien nach dem VSEPR-Modell oktaedrische Moleküle ergeben. Auch in Kristallstrukturen, wie der kubisch flächenzentrierten Natriumchlorid-Struktur (Koordinationszahl 6), taucht das Oktaeder in der Elementarzelle auf, genauso in der Komplexchemie, falls sich 6 Liganden um ein Zentralatom lagern.

Einige in der Natur vorkommende Minerale, z. B. das Alaun, kristallisieren in oktaedrischer Form aus.

In Rollenspielen werden oktaedrische Spielewürfel verwendet und dort als „W8“, also als Würfel mit 8 Flächen, bezeichnet.

Siehe auchBearbeiten

WeblinksBearbeiten

Commons: Oktaeder – Sammlung von Bildern, Videos und Audiodateien
Wiktionary: Oktaeder – Bedeutungserklärungen, Wortherkunft, Synonyme, Übersetzungen

EinzelnachweiseBearbeiten

  1. Wilhelm Pape, Max Sengebusch (Bearb.): Handwörterbuch der griechischen Sprache. 3. Auflage, 6. Abdruck. Vieweg & Sohn, Braunschweig 1914 (zeno.org [abgerufen am 12. März 2020]).
  2. Eric Weisstein: Regular Oktahedron. Umkugelradius Formel (12). In: MathWorld Wolfram. A Wolfram Web Resource, abgerufen am 27. Juni 2020.
  3. Harish Chandra Rajpoot: Solid angles subtended by the platonic solids (regular polyhedra) at their vertices. SlideShare, März 2015, abgerufen am 27. Juni 2020.
  4. Alternativer Ausdruck für  . WolramAlpha, abgerufen am 27. Juni 2020.
  5. Susumu Onaka, Department of Materials Science and Engineering, Tokyo Institute of Technology: Simple equations giving shapes of various convex polyhedra: the regular polyhedra and polyhedra composed of crystallographically low-index plane
  6. Martin Henk, Jürgen Richter-Gebert, Günter M. Ziegler, Technische Universität Berlin: Basic properties of convex polytopes
  7. Eric Weisstein: Regular Oktahedron. Netze. In: MathWorld Wolfram. A Wolfram Web Resource, abgerufen am 27. Juni 2020.
  8. Mike Zabrocki: HOMEWORK #3 SOLUTIONS - MATH 3260. (PDF) York University, Mathematics and Statistics, Toronto, 2003, S. 3, abgerufen am 31. Mai 2020.
  9. Eric Weisstein: Octahedral Graph. In: MathWorld Wolfram. A Wolfram Web Resource, abgerufen am 27. Juni 2020.
  10. Wolfram MathWorld: Tetrix
  11. Gayla Chandler, Hideki Tsuiki: Photographs: Sierpinski Tetrahedron and its Complement