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Der blaue Körper ist ein Kugelsegment; der rosa Restkörper ebenfalls

Ein Kugelsegment oder Kugelabschnitt ist ein Teil eines Kugelkörpers, der durch den Schnitt mit einer Ebene gebildet wird. Ein Kugelsegment hat die Form einer Kuppel und besitzt als Grundfläche eine Kreisscheibe. Eine Halbkugel ist ein Sonderfall eines Kugelsegments, bei der die Schnittebene den Kugelmittelpunkt enthält. Der gekrümmte Teil der Oberfläche eines Kugelsegments wird Kugelkalotte, auch Kugelkappe oder Kugelhaube genannt.[1]

Inhaltsverzeichnis

Formeln: Volumen und OberflächeBearbeiten

Für die Berechnung von Volumen, Mantel- und Oberfläche eines Kugelsegments gelten die folgenden Formeln. Dabei bezeichnet   den Radius der Kugel,   den Radius des Basiskreises des Kugelsegments und   die Höhe des Kugelsegments. Diese drei Größen sind nicht unabhängig voneinander. Das Kugelsegment ist durch zwei beliebige dieser drei Größen bestimmt. Aus der Formel

  bzw.  

lässt sich aus zwei der drei Größen die dritte berechnen. Es gibt deshalb jeweils mehrere Formeln, je nachdem, welche zwei der drei Größen gegeben sind.

Volumen
 
Mantelfläche (Kugelkappe)
 
Oberfläche (inkl. Basiskreis)
 

Gibt man den Winkel   (s. Bild) des Basiskreises vor, so gilt:

 

Bemerkungen:

  1. Für   ist   und das Kugelsegment eine Halbkugel.
  2. Für   ergeben sich die Formeln für die ganze Kugel:  

Herleitung der FormelnBearbeiten

 
Kugelkappe: Funktion für das Volumenintegral

Aufgrund des Satzes von Pythagoras gilt:  . Auflösen der Klammer liefert:

 .

Das Volumen eines Kugelsegments ergibt sich aus dem Volumenintegral für Rotationskörper für den Kreisbogen  :

 .

Entsprechend ergibt sich die Mantelfläche eines Kugelsegments (ohne Basiskreis) aus der Flächenformel für Rotationsflächen

  .

Und mit Basiskreis:  .

Ähnliche Geometrische ObjekteBearbeiten

Weitere Kugelteile sind Kugelschicht, Kugelausschnitt, Kugelring und Kugelkeil. Das zweidimensionale Analogon ist das Kreissegment.

WeblinksBearbeiten

  Commons: Spherical caps – Sammlung von Bildern, Videos und Audiodateien

Siehe auchBearbeiten

EinzelnachweiseBearbeiten

  1. Harald Scheid, Wolfgang Schwarz: Elemente der Geometrie (2009)

LiteraturBearbeiten

  • Bronstein-Semendjajew: Taschenbuch der Mathematik. Harri-Deutsch-Verlag, 1983, ISBN 3-87144-492-8, S. 252.
  • Kleine Enzyklopädie Mathematik, Harri Deutsch-Verlag, 1977, S. 215.