Kugelschicht

Teil einer Vollkugel, der von zwei parallelen Ebenen ausgeschnitten wird

Eine Kugelschicht, auch Kugelscheibe genannt, ist ein Teil einer Kugel, der von zwei parallelen Ebenen ausgeschnitten wird. Der gekrümmte Flächenteil wird Kugelzone genannt.

FormelnBearbeiten

Für die Berechnung von Volumen, Mantelfläche und Oberfläche einer Kugelschicht gelten die folgenden Formeln. Dabei bezeichnet   den Radius der Kugel,   die Radien der Begrenzungskreise und   die Höhe der Kugelschicht.

Diese drei Größen sind nicht unabhängig voneinander.

 
Volumen  
Inhalt der Mantelfläche  
Oberfläche  

HerleitungBearbeiten

Die Kugelschicht kann man sich entstanden denken als das Kugelsegment   mit dem unteren Kreis als Basiskreis, dem das Kugelsegment   mit dem oberen Kreis als Basiskreis weggenommen wird. Es sei   die Höhe von   und   die Höhe von  . Die Volumina der beiden Kugelsegmente sind

 
 

Siehe dazu auch Kugelsegment. Also ist

 

Mit den Beziehungen   (siehe Kugelsegment) ergibt sich

 

Da   ist, folgt die obige Formel:  

Für die Mantelfläche ergibt sich analog

 

Beziehung der ParameterBearbeiten

Für den Beweis der Beziehung zwischen   sei   der Abstand der unteren Ebene zum Kugelmittelpunkt  . Dann gilt

 

Setzt man die beiden Gleichungen gleich und löst nach   auf, so erhält man

 ,

und mit der ersten Gleichung folgt

 

Siehe auchBearbeiten

LiteraturBearbeiten

  • I. Bronstein u. a.: Taschenbuch der Mathematik. Harri Deutsch, Frankfurt 2001, ISBN 3-8171-2005-2.
  • Kleine Enzyklopädie Mathematik, Harri Deutsch-Verlag, 1977, S. 215.
  • L. Kusch u. a.: Mathematik, Teil 4 Integralrechnung. Cornelsen, Berlin 2000, ISBN 3-464-41304-7.

WeblinksBearbeiten