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Mantelfläche

Oberfläche eines Rotationskörpers

Als Mantelfläche oder kurz Mantel bezeichnet man in der Geometrie einen Teil der Oberfläche bestimmter Körper. In diesem Artikel wird die Mantelfläche von Rotationskörpern behandelt, zu denen unter anderem der Zylinder, der Kegel und der Kegelstumpf zählen. Zur Mantelfläche bei Nicht-Rotationskörpern wird auf die jeweiligen Artikel verwiesen (siehe z. B. Pyramide und Prisma). „Boden“ (Grundfläche) und „Deckel“ (Deckfläche) des Körpers werden, falls vorhanden, in der Regel nicht zum „Mantel“ (Mantelfläche) gezählt und gelegentlich als „Stirnflächen“ bezeichnet.

Die Mantelfläche von Zylinder, Kegel und Kegelstumpf kann durch „Abrollen“ oder „Abwickeln“ zweidimensional dargestellt werden. Zur Berechnung der Fläche genügen in diesen Fällen einfache geometrische Formeln. Allgemein gilt für Rotationskörper, dass ihre Mantelfläche durch Rotation eines Graphen einer Funktion um eine Koordinatenachse entsteht. Bei diesem Ansatz wird die Integralrechnung zur Berechnung der Fläche benötigt.

Inhaltsverzeichnis

Mantelfläche des KreiszylindersBearbeiten

 
Gerader Kreiszylinder mit abgerollter Mantelfläche

Die blaue Fläche im nebenstehenden Bild entspricht der Mantelfläche des gezeigten Kreiszylinders. Dieser könnte etwa durch Rotation einer konstanten Funktion um eine Koordinatenachse entstehen.

Interessant ist, dass die Mantelfläche eines Zylinders, der gerade eine Kugel in sich aufnehmen kann (Zylinderradius = Kugelradius   und Zylinderhöhe  ), mit der Oberfläche der Kugel übereinstimmt.

Mantelfläche des KegelsBearbeiten

Mantelfläche des KegelstumpfsBearbeiten

 
Kegelstumpf und seine abgewickelte Mantelfläche

Die punktierte Fläche im nebenstehenden Bild entspricht der Mantelfläche des gezeigten Kegelstumpfs, betrachtet in der Draufsicht. Dieser könnte etwa durch Rotation einer Geraden um eine Koordinatenachse entstehen.

HerleitungBearbeiten

Es sei   die Mantelfläche des ganzen Kegels,   die Mantelfläche vom kleinen Kegel und   die Mantelfläche vom Kegelstumpf, dann errechnet sich die Mantelfläche   des Kegelstumpfes durch  

Nun bezeichnet man zusätzlich zu den in der Skizze bereits festgelegten Variablen die Verlängerung der Höhe   zur Spitze   mit   und die Verlängerung der Seitenlänge   zur Spitze des Kegels mit  .

Mit Hilfe dieser Notation verifiziere man anschließend

 

(Hinweis zu den Formeln für   und  : Für die Fläche eines Kreissegments gilt   und für den Segmentbogen   woraus   folgt. Angepasst an die gegebenen Variablen des Kegels ergeben sich die Formeln für   und   (siehe Zeichnung Kegelstumpf rechts, abgewickelte Mantelfläche).)

Mit Hilfe der Strahlensätze leitet man folgenden Zusammenhang innerhalb des Kegels für   her:  .

Durch Einsetzen von   in   erhält man schließlich

 

Flächenberechnung mit guldinscher RegelBearbeiten

Mithilfe der ersten guldinschen Regel   lässt sich die Fläche ebenfalls leicht ausrechnen:

  ist die Länge der erzeugenden Linie   (Mantellinie) und   ist die Position ihres Schwerpunkts  

Einsetzen ergibt die Mantelfläche des Kegelstumpfes  

Berechnung der Mantelfläche eines RotationskörpersBearbeiten

Der Graph einer Funktion  , die Mantellinie, rotiere um die x-Achse. Nun sei die Mantelfläche dieser Mantellinie im Bereich von   bis   gesucht.

Rotation um die x-AchseBearbeiten

 

Erklärung:

Man stellt sich den Rotationskörper vor als zusammengesetzt aus auf der x-Achse aufgereihten Scheiben, die jede einen Kegelstumpf der Seitenlänge   und den Radien   und   darstellen. Die Summe über die Mantelflächen der Kegelstümpfe (s. o.) bildet dann die gesamte Mantelfläche

 

Das Linienelement   der rotierenden Funktion   ist über den Satz des Pythagoras gegeben als

 

Beim Grenzübergang zum Integral (immer mehr und gleichzeitig entsprechend dünnere Kegelstumpfscheiben) werden   und man kann schreiben

 

Rotation um die y-AchseBearbeiten

Hier gilt demnach:

 

mit  , d. h. nach   aufgelöst und  .

Siehe auchBearbeiten