Würfel (Geometrie)

platonischer Körper

Der Würfel (von deutsch werfen, weil er in Würfelspielen geworfen wird; auch regelmäßiges Hexaeder [hɛksaˈeːdər], von griech. hexáedron ‚Sechsflächner‘, oder Kubus, von altgriechisch κύβος kybos bzw. lat. cubus ‚Würfel‘) ist einer der fünf platonischen Körper, genauer ein dreidimensionales Polyeder (Vielflächner) mit

Würfel
120px-Hexahedron-slowturn.gif
Art der Seitenflächen Quadrate
Anzahl der Flächen 6
Anzahl der Ecken 8
Anzahl der Kanten 12
Schläfli-Symbol {4,3}
dual zu Oktaeder
Körpernetz Hexahedron flat color.svg
Anzahl verschiedener Netze 11
Anzahl Kanten in einer Ecke 3
Anzahl Ecken einer Fläche 4
Würfel im STL-Format

Der Würfel ist ein spezielles dreidimensionales Parallelepiped, ein spezieller, nämlich gleichseitiger Quader sowie ein spezielles gerades quadratisches Prisma. Die Größen eines Würfels werden bereits durch die Angabe eines Wertes, Kantenlänge, Flächendiagonale, Raumdiagonale, Oberflächeninhalt oder Volumen, festgelegt.

SymmetrieBearbeiten

 
Würfel in Kabinettprojektion (Dimetrie)
mit Beispielen der Drehachsen   und der Spiegelebenen (rot bzw. grün)

Wegen seiner hohen Symmetrie – alle Ecken, Kanten und Seiten sind untereinander gleichartig – ist der Würfel ein reguläres Polyeder. Er hat

  • 3 vierzählige Drehachsen   (durch die Mittelpunkte zweier gegenüberliegender Flächen),
  • 4 dreizählige Drehachsen   (durch zwei diagonal gegenüberliegende Ecken),
  • 6 zweizählige Drehachsen   (durch die Mittelpunkte zweier diagonal gegenüberliegender Kanten),
  • 9 Spiegelebenen (6 Ebenen durch jeweils vier Ecken (z. B. grün), 3 Ebenen durch je vier Kantenmittelpunkte (z. B. rot)),
  • 14 Drehspiegelungen (6 um 90° mit den Ebenen durch je vier Kantenmittelpunkte und 8 um 60° mit Ebenen durch je sechs Kantenmitten)

und ist

Für eine vierzählige Drehachse gibt es 3 Symmetrieoperationen (Drehung um 90°, 180° und 270°), für eine dreizählige Drehachse dementsprechend 2 Symmetrieoperationen. Insgesamt hat die Symmetriegruppe des Würfels 48 Elemente. Man bezeichnet sie in der Notation von Schoenflies als  , in der Notation von Hermann / Mauguin als   oder allgemein aber etwas ungenau als Oktaedergruppe bzw. Würfelgruppe.

Beziehungen zu anderen PolyedernBearbeiten

 
Würfel mit dualem Oktaeder. Die Mittelpunkte der Quadrate sind die Ecken des Oktaeders.

Der Würfel ist das zum Oktaeder duale Polyeder und umgekehrt. Außerdem beschreiben die Eckpunkte des Würfels zwei punktsymmetrische reguläre Tetraeder, welche zusammen das Sterntetraeder als weiteres reguläres Polyeder bilden.

Mithilfe von Würfel und Oktaeder können zahlreiche Körper konstruiert werden, die ebenfalls die Würfelgruppe als Symmetriegruppe haben. So erhält man zum Beispiel

als Durchschnitte eines Würfels mit einem Oktaeder (siehe archimedische Körper) und

als konvexe Hülle einer Vereinigung eines Würfels mit einem Oktaeder.

Der Würfel ist Baustein der regulären Würfelparkettierung.

FormelnBearbeiten

Größen eines Würfels mit Kantenlänge a
Volumen  

 

 ohne eingetragene Winkel
Mantelfläche  
Oberflächeninhalt  
Umkugelradius  
Kantenkugelradius  
Inkugelradius  
Raumdiagonale  
Flächendiagonale  
Verhältnis von Volumen
 zu Umkugelvolumen
 
Winkel zwischen
benachbarten Flächen/Kanten
 
Raumwinkel in den Ecken  

Raumwinkel in den EckenBearbeiten

 
Raumwinkel   am Mittelpunkt   (= 0-Punkt) der Einheitskugel ( )

Dieser Raumwinkel   ergibt sich sehr einfach aus der Betrachtung folgender Gegebenheit.

Für den dreidimensionalen Raum wird ein kartesisches Koordinatensystem verwendet, das den Raum in 8 Oktanten einteilt. Darin ist der 0-Punkt der drei Koordinatenebenen (x, y, z) der Treffpunkt 8 virtueller Würfel. Mit dem 0-Punkt als Mittelpunkt der Einheitskugel, hat der Raumwinkel (Vollwinkel) den Wert   Betrachtet man vom 0-Punkt ausgehend nur 1 Würfel, so ist folglich sein Raumwinkel   Umgeformt und mit einer Maßeinheit bezeichnet gilt

 

Definition als Menge von PunktenBearbeiten

Der Würfel kann als Menge von Punkten im dreidimensionalen euklidischen Raum definiert werden, wo die absoluten Beträge der 3 Koordinaten im kartesischen Koordinatensystem höchstens so groß ist wie der Inkugelradius  . Formal lässt sich diese Menge aufschreiben als

 

Dabei ist   die Maximumsnorm oder Unendlich-Norm des Vektors  . Für das Innere des Würfels gilt   und für die Oberfläche gilt  . Nach dieser Definition ist der Mittelpunkt des Würfels der Koordinatenursprung und seine Kanten und Seitenflächen verlaufen parallel zu den 3 Achsen des kartesischen Koordinatensystems.

Allgemeiner kann ein Würfel, der eine beliebige Lage im dreidimensionalen euklidischen Raum hat, mithilfe von Vektoren definiert werden. Ist   der Ortsvektor des Mittelpunkts und sind  ,  ,   orthogonale Richtungsvektoren, die den Mittelpunkt des Würfel mit den Mittelpunkten von 3 Seitenflächen verbinden, also Normalenvektoren der 3 Seitenflächen sind und ein Orthogonalsystem des dreidimensionalen Vektorraums   bilden, dann lässt sich die Menge der Punkte des Würfels definieren als die Menge der Vektoren[1]

 

VerallgemeinerungBearbeiten

Auch die Verallgemeinerungen des Würfels in beliebiger Dimension   werden als  -dimensionale Würfel oder Hyperwürfel bezeichnet und sind ebenfalls reguläre Polytope. Der  -dimensionale Würfel hat   begrenzende Seiten der Dimension k. Spezialfälle:

  • Der nulldimensionale Würfel (Punkt) hat 1 Ecke.
  • Der eindimensionale Würfel (Strecke) hat 2 Ecken.
  • Der zweidimensionale Würfel (Quadrat) hat 4 Ecken und 4 Kanten
  • Der vierdimensionale Hyperwürfel (Tesserakt) hat 16 Ecken, 32 Kanten, 24 Seitenquadrate und 8 Seitenwürfel.
  • Der  -dimensionale Hyperwürfel hat
    •   Ecken ( )
    •   Kanten ( )
    •   Quadrate als Flächen ( )
    •   Würfel als Volumen ( )
    •   Hyperwürfel der Dimension   als Facetten ( ).

Ein Modell für den  -dimensionalen Würfel ist der Einheitswürfel   im Vektorraum  . Und zwar ist der abgeschlossene Einheitswürfel

  •  
  •  , das  -fache kartesische Produkt des Einheitsintervalls
  • die konvexe Hülle der   Eckpunkte mit den Koordinaten   und  
  • der Durchschnitt der   Halbräume   und  

Der Einheitswürfel ist ein achsenparalleler Würfel mit der Kantenlänge   und einer Ecke im Koordinatenursprung. Eine Verallgemeinerung dieses Konzepts sind Quader im  , die in der mehrdimensionalen Analysis eine Rolle spielen.[2]

Netze des WürfelsBearbeiten

Der Würfel hat elf Netze (siehe Abbildung)[3]. Diese sind bestimmte Hexominos. Das heißt, es gibt elf Möglichkeiten, einen hohlen Würfel durch Aufschneiden von 7 Kanten aufzuklappen und in der Ebene auszubreiten. Die anderen 5 Kanten verbinden jeweils die 6 Quadrate des Netzes. Um einen Würfel so zu färben, dass keine benachbarten Flächen dieselbe Farbe haben, braucht man mindestens 3 Farben.

 
Animation, eines Würfelnetzes
 
Die verschiedenen Netze des Würfels

Graphen, duale Graphen, Zyklen, FärbungenBearbeiten

Der Würfel hat einen ihm zugeordneten ungerichteten planaren Graphen mit 8 Knoten, 12 Kanten und 6 Gebieten, der 3-regulär ist, d. h. von jedem Knoten gehen 3 Kanten aus, sodass der Grad für alle Knoten gleich 3 ist. Bei planaren Graphen ist die genaue geometrische Anordnung der Knoten unwesentlich. Wichtig ist allerdings, dass sich die Kanten nicht schneiden müssen. Die Knoten dieses Würfelgraphen entsprechen den Ecken des Würfel.

 
Färbungen veranschaulicht
Würfel umschreibt dualen Oktaeder

Die Knoten des Würfelgraphen können mit 2 Farben so gefärbt werden, dass benachbarte Knoten immer unterschiedlich gefärbt sind. Bei dieser alternierenden Knotenfärbung wechselt die Farbe hin und her, wenn von einem Knoten zu einem benachbarten gegangen wird. Dies bedeutet, dass die chromatische Zahl dieses Graphen gleich 2 ist. Außerdem können die Kanten mit 3 Farben so gefärbt werden, dass benachbarte Kanten immer unterschiedlich gefärbt sind (siehe Abbildung). Mit 2 Farben ist das nicht möglich, sodass der chromatische Index für die Kantenfärbung gleich 3 ist (das nebenstehende Bild veranschaulicht diese Färbungen).

Um die entsprechende nötige Anzahl der Farben für die Flächen oder Gebiete zu bestimmen, ist der duale Graph (Oktadergraph) mit 6 Knoten, 12 Kanten und 8 Gebieten hilfreich. Die Knoten dieses Graphen werden dabei den Gebieten des Würfelgraphen eineindeutig (bijektiv) zugeordnet und umgekehrt (siehe bijektive Funktion und Abbildung oben). Die Knoten des Oktadergraphen können mit 3 Farben so gefärbt werden, dass benachbarte Knoten immer unterschiedlich gefärbt sind, aber nicht mit 2 Farben, sodass die chromatische Zahl des Oktadergraphen gleich 3 ist. Daraus lässt sich indirekt schließen: Weil die chromatische Zahl gleich 3 ist, sind 3 Farben für eine solche Flächenfärbung des Würfels oder eine Färbung der Gebiete des Würfelgraphen nötig.[4]

 
Knotenfärbung des Würfelgraphen
 
Kantenfärbung des Würfelgraphen
 
Flächenfärbung des Würfelgraphen mit dualer Knotenfärbung des Oktaedergraphen

Die 7 aufgeschnittenen Kanten jedes Netzes (siehe oben) bilden zusammen mit den Ecken (Knoten) einen Spannbaum des Würfelgraphen. Jedes Netz entspricht genau einem Spannbaum und umgekehrt, sodass hier eine eineindeutige (bijektive) Zuordnung zwischen Netzen und Spannbäumen besteht. Wenn man ein Würfelnetz ohne das äußere Gebiet als Graphen betrachtet, erhält man als dualen Graphen jeweils einem Baum mit 6 Knoten und 5 Kanten und dem maximalen Knotengrad 4. Jede Fläche des Würfels wird dabei einem Knoten des Baums zugeordnet. Dabei kommt jede graphentheoretische Konstellation (siehe Isomorphie von Graphen) solcher Bäume vor, einige auch mehrfach.[5]

Der Würfelgraph besitzt 12 Hamiltonkreise, aber keine Eulerkreise.[6]

 
Würfelgraph mit Hamiltonkreis

Schnittflächen des WürfelsBearbeiten

Wenn ein Würfel von einer Ebene geschnitten wird, kann als Schnittfläche ein Dreieck, Viereck, (unregelmäßiges) Fünfeck oder Sechseck entstehen. Als Schnittfläche ist auch ein gleichseitiges Dreieck, ein Quadrat oder ein regelmäßiges Sechseck möglich.

Eine Schnittfläche in der Form eines regelmäßigen Fünfecks – keine parallele Seiten – ist nicht machbar, da im Würfel jeweils zwei Flächen parallel zueinander stehen.

WürfelgitterBearbeiten

 
Ein endlicher Teil des kubischen Flächengitters (Würfelgitter), der die Form eines Quaders hat. Die Ebenen verlaufen jeweils parallel zueinander. Die Schnittgeraden dieser Ebenen verlaufen parallel zueinander. Die Schnittpunkte bilden ein kubische Punktgitter.

Das Würfelgitter ist eine Anordnung von unendlich vielen Punkten im dreidimensionalen euklidischen Raum. Diese Punkte können als alle Punkte im dreidimensionalen kartesischen Koordinatensystem aufgefasst werden, wo alle 3 Koordinaten ganze Zahlen sind. Diese Punktmenge kann formal als die Menge

 

geschrieben werden.[7]

Dieses Würfelgitter ist achsensymmetrisch, drehsymmetrisch und punktsymmetrisch, besitzt also alle Symmetrien der Oktaedergruppe bzw. Würfelgruppe. Außerdem ist es translationsymmetrisch für alle Vektoren mit ganzzahliger Länge, die parallel zu den 3 Koordinatenachsen verlaufen, also die unendlich vielen Vektoren  ,  ,  , wobei  ,  ,   ganze Zahlen sind und  ,  ,   die 3 Einheitsvektoren im dreidimensionalen eudklidischen Vektorraum.

Solche Betrachtungen spielen in der Kristallographie eine wichtige Rolle. Das Würfelgitter entspricht dem kubischen Kristallsystem.[8]

Werden unendlich viele parallele Ebenen, die jeweils den Abstand 1 haben, orthogonal zu den 3 Koordinatenachsen durch dieses kubische Punktgitter gelegt, dann entsteht ein kubisches Flächengitter (siehe Abbildung). Diese Ebenen können formal als die Menge

 

geschrieben werden.

Wird zusätzlich der dreidimensionale Raum vollständig ausgefüllt, dann entsteht eine dreidimensionale Parkettierung (Raumfüllung) aus kongruenten Würfeln mit gleicher Kantenlänge (siehe Raumfüllungen mit Würfeln).

WürfelverdoppelungBearbeiten

 
Der blaue Würfel hat das doppelte Volumen des grünen Würfels.

Die Würfelverdoppelung, auch bekannt als Delisches Problem, bezeichnet die geometrische Aufgabe, für einen gegebenen Würfel einen zweiten Würfel zu konstruieren, der im Vergleich zum ersten Würfel das doppelte Volumen aufweist. Das Problem gehört zu den drei „klassischen Problemen der antiken Mathematik“ und wurde bereits im 5. Jahrhundert v. Chr. im Antiken Griechenland formuliert.

Versucht man das Problem ausschließlich mit den Hilfsmitteln zu bearbeiten, die Euklid in seinen Elementen nutzt, nämlich mit Zirkel und unmarkiertem Lineal, ist es nicht lösbar. Dies bewies der französische Mathematiker Pierre Wantzel im Jahr 1837. Schwächt man diese Einschränkung ab und lässt ein zusätzliches Hilfsmittel zu, wie zum Beispiel eine entsprechende Markierung auf dem Lineal oder spezielle Kurven, ist die Konstruktion eines Würfels mit doppeltem Volumen möglich. An solchen Lösungsmöglichkeiten war bereits in der Antike eine gewisse Zahl bekannt.

Raumfüllungen mit WürfelnBearbeiten

Der dreidimensionale euklidische Raum kann lückenlos mit platonischen Körpern oder in Kombination mit archimedischen Körpern (und Prismen) gleicher Kantenlänge ausgefüllt werden kann. Solche dreidimensionalen Parkettierungen werden Raumfüllung genannt. Die folgenden Raumfüllungen enthalten Würfel:

Beziehungen zu anderen RaumfüllungenBearbeiten

Der Würfel bzw. das regelmäßige Hexaeder ist der einzige platonische Körper, mit dem eine Raumfüllung aus ausschließlich kongruenten Polyedern möglich ist. Die Ecken dieser gleich großen Würfel bilden dann ein Würfelgitter. Diese Raumfüllung steht in Zusammenhang mit zwei anderen Raumfüllungen, die nur aus einer Art von kongruenten Polyedern bestehen: Die Raumfüllung aus Oktaederstümpfen (englisch: bitruncated cubic honeycomb) und die Raumfüllung aus Rhombendodekaedern (englisch: rhombic dodecahedral honeycomb).

Wird eine alternierende halbe Raumfüllung mit Würfeln der Kantenlänge   genommen, also jeder 2. Würfel der Raumfüllung, und jeweils eine quadratische Pyramide mit einem Quadrat der Seitenlänge   und der Höhe   nach außen auf alle quadratischen Seitenflächen der Würfel gesetzt, dann entstehen kongruente Rhombendodekaeder, die den Raum vollständig ausfüllen. Der Diederwinkel an der Grundfläche der quadratische Pyramiden beträgt  , der gesamte an den 12 Kanten der Würfel entstehende Winkel also  . Daher bilden die an den Kanten des Würfels liegenden 24 gleichschenkligen Dreiecke 12 Rauten und ein Rhombendodekaeder entsteht. Nach dem Satz des Pythagoras haben diese Rhombendodekaeder die Kantenlänge   und offensichtlich das Volumen  . Mit Hilfe der Formel für das Volumen der quadratischen Pyramide ergibt sich ebenfalls   (siehe Animation).[9]

Werden stattdessen aus der alternierenden halben Raumfüllung nur die Würfel aus alternierenden Reihen – egal entlang welcher der 3 Dimensionen – genommen, also jeder 4. Würfel der ursprünglichen Raumfüllung, jeweils ein im Winkel von 45° auf der Spitze stehendes Quadrat mit halbem Flächeninhalt in der Mitte zwischen zwei benachbarten Würfeln derselben Schicht platziert, und die Ecken dieser Quadrate, die jeweils den kleinsten Abstand zueinander haben, mit Kanten verbunden, dann entstehen kongruente Oktaederstümpfe mit jeweils 6 Quadraten und 8 regelmäßigen Sechsecken als Seitenflächen, die den Raum vollständig ausfüllen. Die Mittelpunkte der entstandenen regelmäßigen Sechsecke sind die Ecken der ursprünglichen Würfel. Die Ecken der quadratischen Seitenflächen der Oktaederstümpfe sind Seitenmitten von "unsichtbaren" Quadraten mit der Seitenlänge  . Die Oktaederstümpfe haben also die Kantenlänge   und offensichtlich das Volumen  . Mit Hilfe der Formel für das Volumen der quadratischen Pyramide ergibt sich ebenfalls   (siehe Animation).

HandwerklichesBearbeiten

Gesteckter WürfelBearbeiten

Aus über hundert Zündhölzern lassen sich rein durch Klemmen und Reibung zusammenhaltende Würfel fertigen.

OrigamiBearbeiten

Mit Hilfe der Origami-Technik lässt sich aus einzelnen Papierblättern ohne Klebstoff ein Würfel basteln.

DrehmaschineBearbeiten

Auf einer Drehbank zur spanabhebenden Metallbearbeitung lässt sich mittels 4-Backen-Futter oder einer schonenden rohrförmigen Halterung auch im 3-Backen-Futter ein Würfel herstellen. Das Drehen einer Kombination von bis zu vier losen, doch unverlierbar ineinander liegenden Würfeln ist eine Geschicklichkeitsaufgabe. Dieses Werkstück wird im Englischen als turner’s cube, also ‚Würfel des Drehers‘ bezeichnet. Die drei äußeren Würfel haben dabei in jeder Seitenfläche eine große Bohrung, die als Fenster die Sicht auf die oder den innen nächst folgenden erlaubt. Die Größen der drei inneren Würfel sind abgestuft genau so gestaltet, dass schon die Flächendiagonale nicht durch diese Bohrung des jeweils nächstgrößeren passt. Nötig ist das Hinterschneiden bei der Bearbeitung von jeder Seite der innenliegenden Würfel und das temporäre Fixieren mit Klebstoff oder Wachs, wenn zuletzt die sechsten Seiten bearbeitet werden.[10]

Siehe auchBearbeiten

WeblinksBearbeiten

Commons: Würfel – Sammlung von Bildern, Videos und Audiodateien

EinzelnachweiseBearbeiten

  1. Susumu Onaka, Department of Materials Science and Engineering, Tokyo Institute of Technology: Simple equations giving shapes of various convex polyhedra: the regular polyhedra and polyhedra composed of crystallographically low-index plane
  2. Martin Henk, Jürgen Richter-Gebert, Günter M. Ziegler, Technische Universität Berlin: Basic properties of convex polytopes
  3. Wolfram Demonstrations Project: All 11 Folding Nets of the Cube
  4. C.Dalfó, M.A. Fiol: Graphs, Friends and Acquaintances. (PDF) 2 Shaking hands: Colorings and Boolean algebra. Universitat Politècnica de Catalunya,Departament de Matemàtica Aplicada IV, 2010, S. 5, abgerufen am 31. Mai 2020.
  5. Richard Goldstone, Robert Suzzi Valli: Unfoldings of the Cube. In: The College Mathematics Journal. Band 50, Nr. 3, 28. Mai 2019, ISSN 0746-8342, S. 173–184, doi:10.1080/07468342.2019.1580108 (researchgate.net [PDF]).
  6. Wolfram Math World: Cubical Graph
  7. Wolfram MathWorld: Cubic Lattice
  8. Prof. Dr. Holger Kohlmann, Leipzig University: Group Theory 2 & 3 – Group theory in crystallography
  9. Hans Smessaert, logicalgeometry.org: Logical Geometry of the Rhombic Dodecahedron of Oppositions
  10. themetalcutter: Cube in a cube / Turners cube youtube.com, Video (43:07) vom 19. August 2015, abgerufen am 17. März 2017.