Dodekaeder

Körper mit zwölf Flächen
Regelmäßiges Pentagondodekaeder
Regelmäßiges Pentagondodekaeder (Animation)
Art der Seitenflächen regelmäßige Fünfecke
Anzahl der Flächen 12
Anzahl der Ecken 20
Anzahl der Kanten 30
Schläfli-Symbol {5,3}
dual zu Ikosaeder
Körpernetz Netz
Anzahl verschiedener Netze 43380
Anzahl Kanten in einer Ecke 3
Anzahl Ecken einer Fläche 5

Das Dodekaeder [ˌdodekaˈʔeːdɐ] (von griech. Zwölfflächner; dt. auch (das) Zwölfflach) ist ein Körper mit zwölf Flächen. In der Regel ist damit ein platonischer Körper gemeint, nämlich das regelmäßige Pentagondodekaeder, ein Körper mit

  • 12 kongruenten regelmäßigen Fünfecken
  • 30 gleich langen Kanten, von denen jede die Seite von zwei Fünfecken ist
  • 20 Ecken, in denen jeweils drei dieser Fünfecke zusammentreffen

Es gibt aber auch andere Dodekaeder von hoher Symmetrie.

Das regelmäßige PentagondodekaederBearbeiten

 
Dodekaeder mit Beispielen der Drehachsen   und einer Symmetrieebene (blau)

Wegen seiner hohen Symmetrie – alle Ecken, Kanten und Flächen sind untereinander gleichartig – ist das Dodekaeder ein reguläres Polyeder. Es hat:

  • 6 fünfzählige Drehachsen   (durch die Mittelpunkte zweier gegenüberliegender Flächen)
  • 10 dreizählige Drehachsen   (durch gegenüberliegende Ecken)
  • 15 zweizählige Drehachsen   (durch die Mittelpunkte gegenüberliegender Kanten)
  • 15 Symmetrieebenen (durch einander gegenüberliegende und parallele Kanten)

und ist

Insgesamt hat die Symmetriegruppe des Dodekaeders – die Dodekaedergruppe oder Ikosaedergruppe – 120 Elemente. Die 60 orientierungserhaltenden Symmetrien entsprechen der alternierenden Gruppe  . Manchmal wird auch diese Untergruppe Ikosaedergruppe genannt. Die volle Symmetriegruppe ist isomorph zu dem direkten Produkt  . Dass das Produkt direkt ist, sieht man daran, dass die Punktspiegelung am Mittelpunkt mit den Drehungen kommutiert.

Die Symmetrie des Dodekaeders ist durch die hier auftretenden fünfzähligen Symmetrieachsen mit einer periodischen Raumstruktur nicht verträglich (siehe Parkettierung). Es kann daher kein Kristallgitter mit Ikosaedersymmetrie geben (siehe Quasikristalle).

StrukturBearbeiten

 
Dodekaeder (rot) mit dualem Ikosaeder (grün).Die Mittelpunkte der regelmäßigen Fünfecke sind die Ecken des Ikosaeders.

Das Ikosaeder ist das zum Dodekaeder duale Polyeder und umgekehrt.

Mit Hilfe von Dodekaeder und Ikosaeder können zahlreiche Körper konstruiert werden, die ebenfalls die Dodekaedergruppe als Symmetriegruppe haben. So erhält man zum Beispiel

Aus den Kanten des Dodekaeders kann man 3 Paare gegenüberliegender Kanten so auswählen, dass diese Paare 3 kongruente, zueinander paarweise orthogonale Rechtecke aufspannen. Die restlichen 8 Ecken bilden dann die Ecken eines dem Dodekaeder einbeschriebenen Würfels. Insgesamt gibt es fünf derartige Positionen, wobei jede Kante des Dodekaeders zu genau einer solchen Position gehört, und jede Ecke Eckpunkt von zwei einbeschriebenen Würfeln ist. Die Symmetriegruppe des Dodekaeders bewirkt alle 5! = 120 Permutationen dieser fünf Positionen bzw. Würfel.

Da die Kanten des einbeschriebenen Würfels Diagonalen der Fünfecke sind, entspricht das Verhältnis der Längen der Kanten des Dodekaeders und jener eines eingeschriebenen Würfels dem Goldenen Schnitt.

FormelnBearbeiten

Größen eines Dodekaeders mit Kantenlänge a
Volumen  

 

ohne Raumwinkel   in den Ecken
Oberflächeninhalt  
Umkugelradius  [1]
Kantenkugelradius  [2]
Inkugelradius  [3]
Verhältnis von Volumen
 zu Umkugelvolumen
 
Innenwinkel des
regelmäßigen Fünfecks
 
Winkel zwischen
benachbarten Flächen
 
Winkel zwischen
Kante und Fläche
    
Raumwinkel in den Ecken  

Berechnung des regelmäßigen DodekaedersBearbeiten

VolumenBearbeiten

Das Dodekaeder besteht quasi aus zwölf zusammengesetzten fünfseitigen Pyramiden.

Für eine Pyramide und somit für ein Zwölftel des Dodekaeders gilt

 

darin ist die Grundfläche (regelmäßiges Fünfeck)

 

und die Höhe der Pyramide   gleich dem Inkugelradius  

 

daraus folgt mit eingesetzten Variablen für das Volumen des Dodekaeders

 

OberflächeninhaltBearbeiten

Für den Oberflächeninhalt   des Dodekaeders (zwölf regelmäßige Fünfecke) gilt

 

Winkel zwischen benachbarten FlächenBearbeiten

Dieser Winkel, bezeichnet mit   (siehe Bild in Formeln), hat seinen Scheitel an einer Kante des Dodekaeders. Er ist mithilfe des folgenden rechtwinkligen Dreiecks   bestimmbar.

Die Seitenlängen dieses Dreiecks sind:   gleich Kantenkugelradius   als Hypotenuse,   gleich Inkugelradius   als große Kathete und   gleich Inkreisradius   des regelmäßigen Fünfecks als kleine Kathete.

Für den Winkel   gilt

 

Winkel zwischen Kante und FlächeBearbeiten

Dieser Winkel, bezeichnet mit  , hat seinen Scheitel an einer Ecke des Dodekaeders.

Ist, wie in der Darstellung (siehe Bild in Formeln), der Winkel   z. B. an der Ecke   gesucht, dann ist er mithilfe der rechtwinkligen Dreiecke   und   bestimmbar. Deren gemeinsame Hypotenuse  , gleich Umkugelradius  , teilt den Winkel   in die nicht eingezeichneten Winkel   bzw.   somit gilt  

Die Katheten des Dreiecks   mit Winkel   sind:  , gleich Inkugelradius  , als große Kathete und  , gleich Umkreisradius des regelmäßigen Fünfecks  , als kleine Kathete.

Die Katheten des Dreiecks   mit Winkel   sind:  , gleich Kantenkugelradius  , als große Kathete und  , gleich halbe Seitenlänge  , als kleine Kathete.

Für Winkel   des Dreiecks   gilt

 

für Winkel   des Dreiecks   gilt

 

das Additionstheorem für Arkusfunktion liefert den Winkel  

 

nach dem Einsetzen der betreffenden Werte ( ) gilt

 

Raumwinkel in den EckenBearbeiten

Einen Lösungsweg für den Raumwinkel   zeigt die folgende Formel, beschrieben in Platonischer Körper

 [4]

Mit der Anzahl der Kanten/Flächen an einer Ecke   und dem Innenwinkel des regelmäßigen Fünfecks   gilt

 

wegen   wird damit

 

eingesetzt   in   und umgeformt

 

Vereinfachung[5]

 
 

AnwendungenBearbeiten

Sonstiges

Das kubische PentagondodekaederBearbeiten

Das kubische Pentagondodekaeder kann äußerlich leicht mit dem regelmäßigen Pentagondodekaeder verwechselt werden. Es hat ebenfalls 12 Flächen, 20 Ecken und 30 Kanten. Die Flächen sind aber nicht gleichseitig. Jede der 12 Flächen hat vier kürzere und eine längere Kante. Insgesamt besitzt das Polyeder 24 kürzere und 6 längere Kanten. Es besitzt dabei kubische Symmetrie. In der Natur kommt Pyrit (FeS2) manchmal in der Gestalt von kubischen Pentagondodekaedern vor. Deshalb wird das kubische Pentagondodekaeder auch Pyrit-Dodekaeder oder Pyritoeder genannt. Bei Kristallen sind fünfzählige Achsen unmöglich, wie das reguläre Pentagondodekaeder sie besitzt, weil es keine lückenlose periodische Flächenfüllung mit fünfzähliger Symmetrie gibt. Nur bei nicht streng periodischen „Kristallen“, also Quasikristallen, ist ein reguläres Pentagondodekaeder denkbar.

 
Kubisches Pentagondodekaeder

Netze des DodekaedersBearbeiten

Das Dodekaeder hat 43380 Netze.[7] Das heißt, es gibt 43380 Möglichkeiten, ein hohles Dodekaeder durch Aufschneiden von 19 Kanten aufzuklappen und in der Ebene auszubreiten. Die anderen 11 Kanten verbinden jeweils die 12 regelmäßigen Fünfecke des Netzes. Um ein Dodekaeder so zu färben, dass keine benachbarten Flächen dieselbe Farbe haben, braucht man mindestens 4 Farben.

 
Animation eines Dodekaedernetzes

Graphen, duale Graphen, Zyklen, FärbungenBearbeiten

 
Färbungen veranschaulicht
Dodekaeder einbeschrieben vom dualen Ikosaeder

Das Dodekaeder hat einen ihm zugeordneten ungerichteten planaren Graphen mit 20 Knoten, 30 Kanten und 12 Gebieten, der 3-regulär ist, d. h. von jedem Knoten gehen 3 Kanten aus, sodass der Grad für alle Knoten gleich 3 ist. Bei planaren Graphen ist die genaue geometrische Anordnung der Knoten unwesentlich. Wichtig ist allerdings, dass sich die Kanten nicht schneiden müssen. Die Knoten dieses Dodekaedergraphen entsprechen den Ecken des Dodekaeders.

Die Knoten des Dodekaedergraphen können mit 3 Farben so gefärbt werden, dass benachbarte Knoten immer unterschiedlich gefärbt sind. Dies bedeutet, dass die chromatische Zahl dieses Graphen gleich 3 ist (siehe Knotenfärbung). Außerdem können die Kanten mit 3 Farben so gefärbt werden, dass benachbarte Kanten immer unterschiedlich gefärbt sind. Mit 2 Farben ist das nicht möglich, sodass der chromatische Index für die Kantenfärbung gleich 3 ist (das nebenstehende Bild veranschaulicht diese Färbungen).

 
Knotenfärbung des Dodekaedergraphen
 
Kantenfärbung des Dodekaedergraphen
 
Flächenfärbung des Dodekaedergraphen mit dualer Knotenfärbung des Ikosaedergraphen

Um die entsprechende nötige Anzahl der Farben für die Flächen oder Gebiete zu bestimmen, ist der duale Graph (Ikosaedergraph) mit 12 Knoten, 30 Kanten und 20 Gebieten hilfreich. Die Knoten dieses Graphen werden dabei den Gebieten des Dodekaedergraphen eineindeutig (bijektiv) zugeordnet und umgekehrt (siehe bijektive Funktion und Abbildung). Die Knoten des Ikosaedergraphen können mit 4 Farben so gefärbt werden, dass benachbarte Knoten immer unterschiedlich gefärbt sind, aber nicht mit 3 Farben, sodass die chromatische Zahl des Ikosaedergraphen gleich 4 ist. Daraus lässt sich indirekt schließen: Weil die chromatische Zahl gleich 4 ist, sind 4 Farben für eine solche Flächenfärbung des Dodekaeders oder eine Färbung der Gebiete des Dodekaedergraphen nötig.[8]

Die 19 aufgeschnittenen Kanten jedes Netzes (siehe oben) bilden zusammen mit den Ecken (Knoten) einen Spannbaum des Dodekaedergraphen. Jedes Netz entspricht genau einem Spannbaum und umgekehrt, sodass hier eine eineindeutige (bijektive) Zuordnung zwischen Netzen und Spannbäumen besteht. Wenn man ein Dodekaedernetz ohne das äußere Gebiet als Graphen betrachtet, erhält man als dualen Graphen jeweils einem Baum mit 12 Knoten und 11 Kanten und dem maximalen Knotengrad 3. Jede Fläche des Dodekaeders wird dabei einem Knoten des Baums zugeordnet. Dabei kommt nicht jede graphentheoretische Konstellation (siehe Isomorphie von Graphen) solcher Bäume vor, aber einige mehrfach.

Der Dodekaedergraph besitzt 60 Hamiltonkreise, aber keine Eulerkreise.[9]

 
Dodekaedergraph mit einem der 60 Hamiltonkreise

Andere DodekaederBearbeiten

Andere Dodekaeder sind zum Beispiel:

Einige dieser Polyeder haben mehr als 12 Flächen, sind also keine echten Dodekaeder.

WeblinksBearbeiten

Commons: Dodekaeder – Sammlung von Bildern, Videos und Audiodateien
Wiktionary: Dodekaeder – Bedeutungserklärungen, Wortherkunft, Synonyme, Übersetzungen

EinzelnachweiseBearbeiten

  1. Eric Weisstein: Dodecahedron. Umkugelradius, Formel (17) weiter vereinfacht. In: MathWorld Wolfram. A Wolfram Web Resource, abgerufen am 1. Juli 2020.
  2. Eric Weisstein: Dodecahedron. Kantenkugelradius, Formel (19). In: MathWorld Wolfram. A Wolfram Web Resource, abgerufen am 1. Juli 2020.
  3. Eric Weisstein: Dodecahedron. Inkugelradius, Formel (15). In: MathWorld Wolfram. A Wolfram Web Resource, abgerufen am 1. Juli 2020.
  4. Harish Chandra Rajpoot: Solid angles subtended by the platonic solids (regular polyhedra) at their vertices. SlideShare, März 2015, abgerufen am 1. Juli 2020.
  5. Alternativer Ausdruck für  . Wolfram Alpha, abgerufen am 1. Juli 2020.
  6. waldorfschule-muenster.de (Memento vom 11. Juni 2015 im Internet Archive)
  7. Eric Weisstein: Dodecahedron. Netze. In: MathWorld Wolfram. A Wolfram Web Resource, abgerufen am 1. Juli 2020.
  8. Mike Zabrocki: HOMEWORK #3 SOLUTIONS - MATH 3260. (PDF) York University, Mathematics and Statistics, Toronto, 2003, S. 4, abgerufen am 31. Mai 2020.
  9. Eric Weisstein: Dodecahedral Graph. Graphen. In: MathWorld Wolfram. A Wolfram Web Resource, abgerufen am 1. Juli 2020.