Zehneck

Polygon mit zehn Seiten und zehn Ecken
Dekagramm {10/3, 10/7}
Regular polygon 10 annotated.svg

In der Geometrie ist das Zehneck (auch Dekagon) ein beliebiges Polygon mit zehn Seiten und zehn Ecken.

Im Weiteren wird das regelmäßige Zehneck behandelt. Es hat gleich lange Seiten und seine Ecken liegen auf einem gemeinsamen Umkreis.

Der diesem Zehneck einbeschriebene, einzig mögliche Stern (grün) mit dem Schläfli-Symbol {10/3, 10/7} heißt Dekagramm.

FormelnBearbeiten

Größen eines regelmäßigen Zehnecks mit Seitenlänge (Kantenlänge) a
Inkreisradius  

 

Umkreisradius  
Diagonale über 2 (bzw. 8) Seiten  
Diagonale über 3 (bzw. 7) Seiten  
Diagonale über 4 (bzw. 6) Seiten  
Diagonale über 5 Seiten  
Zentriwinkel  
Innenwinkel  

 

Flächeninhalt    

Berechnung der Fläche ABearbeiten

Der Flächeninhalt   eines regelmäßigen Zehnecks mit der Seitenlänge   berechnet sich wie folgt:

 

Konstruktion eines ZehnecksBearbeiten

 
Regelmäßiges Zehneck[1]
alternative Konstruktion nach Euklid

Ein regelmäßiges Zehneck ist mit Zirkel und Lineal konstruierbar.

Konstruktion bei gegebenem UmkreisBearbeiten

  1. Konstruiere ein regelmäßiges Fünfeck (Zentriwinkel   = 72°), entsprechend der Konstruktion mit Zirkel und Lineal bei gegebenem Umkreis.
  2. Ziehe eine Linie von jeder Ecke des Fünfecks durch den Mittelpunkt des Kreises, der in Schritt 1 gemacht wurde, zur anderen Seite desselben Kreises.
  3. Die fünf Ecken des Fünfecks legen jede zweite Ecke des Zehnecks fest. Die verbliebenen fünf Ecken sind die Punkte, die durch Schritt 2 auf der anderen Seite des Kreises konstruiert wurden.

Eine mögliche Alternative zu der oben beschriebenen Vorgehensweise ist folgende:

  1. Führe die Konstruktionsschritte zu einem Fünfeck nur soweit aus, bis dessen Seitenlänge durch die Strecke E3G bestimmt ist. In der vertikalen Achse des Achsenkreuzes ergeben sich dabei die Eckpunkte E3 und E8.
  2. Übertrage die so bestimmte Fünfeckseite E3G auf den Umkreis, es ergibt sich der erste Eckpunkt E1 des entstehenden Zehnecks.
  3. Halbiere den Winkel E1ME3 (Zentriwinkel eines Fünfecks), es ergibt sich der zweite Eckpunkt E2 und somit die erste Seite E1E2 des Zehnecks.
  4. Bestimme die restlichen Eckpunkte durch Abtragen der Strecke E1E2 auf den Umkreis entgegen dem Uhrzeigersinn.
  5. Verbinde die benachbarten Eckpunkte miteinander, damit ist das Zehneck fertiggestellt.

Konstruktion bei gegebener SeitenlängeBearbeiten

 
Regelmäßiges Zehneck bei gegebener Seitenlänge[2], Animation siehe
  1. Bezeichne die Endpunkte der Seitenlänge a mit E1 und E10
  2. Zeichne einen Kreisbogen um E1 mit dem Radius E1E10 durch E10.
  3. Konstruiere eine Senkrechte zur Seitenlänge a ab E1 bis sie den Kreisbogen um E1 in A schneidet.
  4. Zeichne einen Kreisbogen um E10 mit dem Radius E1E10 durch E1, es ergeben sich die Schnittpunkte B und C.
  5. Zeichne eine gerade Linie ab C durch B (Mittelsenkrechte), sie schneidet die Seitenlänge a in D.
  6. Verlängere die Seitenlänge a ab E1.
  7. Zeichne einen Kreisbogen um D mit dem Radius AD bis er die Verlängerung der Seitenlänge a in F schneidet.
  8. Zeichne einen Kreisbogen um E10 mit dem Radius E10F, er schneidet die Mittelsenkrechte von E1E10 im Mittelpunkt M des Umkreises vom gesuchten Zehneck.
  9. Zeichne den Umkreis des entstehenden Zehnecks um M mit dem Radius R = ME10.
  10. Bestimme die restlichen Eckpunkte durch Abtragen der Seitenlänge a auf den Umkreis entgegen dem Uhrzeigersinn.
  11. Verbinde die benachbarten Eckpunkte miteinander, damit ist das Zehneck fertiggestellt.

Der Mittelpunktswinkel   mit der Winkelweite   ergibt sich mithilfe der Innenwinkel des rechtwinkligen Dreiecks   mit den Seiten   und   (siehe nächsten Abschnitt Der Goldene Schnitt im Zehneck) nach dem Satz des Pythagoras:

 

daraus folgt

 

Der Goldene Schnitt im ZehneckBearbeiten

Sowohl in der Konstruktion bei gegebenem Umkreis[1] als auch in der bei gegebener Seitenlänge ist der Goldene Schnitt mittels äußerer Teilung der maßgebende Baustein.

  • In der Konstruktion bei gegebenem Umkreis verlängert der Kreisbogen mit dem Radius |FE3| um den Punkt F den Umkreisradius AM um die Strecke MG. Die somit erzeugte Strecke AG teilt der Mittelpunkt M im Goldenen Schnitt.
 
  • In der Konstruktion bei gegebener Seitenlänge[2] bewirkt der Kreisbogen um den Punkt D mit dem Radius |DA| eine Verlängerung der gegebenen Seitenlänge E1E10 um die Strecke E1F, damit ist die Strecke E10F die längere Strecke des Verhältnisses (siehe auch Herleitung des Zahlenwertes).
 

VorkommenBearbeiten

ArchitekturBearbeiten

   
Maria, Hilfe der Christen (Quelle: WP)

Siehe auchBearbeiten

EinzelnachweiseBearbeiten

  1. a b Henry Green: Euclid's Plane Geometry, Books III–VI, Practically Applied, or Gradations in Euclid, Part II. In: books.google.de. London: Simpkin, Marshall,& CO., im Jahr 1861, S. 116, abgerufen am 11. Februar 2016.
  2. a b Jürgen Köller: Regelmäßiges Zehneck, → 3. Absatz, Formeln "Ist die Seite a gegeben …" In: Mathematische Basteleien. 2005, abgerufen am 4. Februar 2016.

WeblinksBearbeiten

 Commons: Zehneck – Sammlung von Bildern, Videos und Audiodateien
 Wiktionary: Zehneck – Bedeutungserklärungen, Wortherkunft, Synonyme, Übersetzungen