Raumwinkel

physikalische Größe

Der Raumwinkel ist das dreidimensionale Gegenstück zum zweidimensionalen für die Ebene definierten Winkel. Er beschreibt den Anteil am gesamten dreidimensionalen Raum, der z. B. im Inneren eines gegebenen Kegel- oder Pyramidenmantels liegt.

Raumwinkel in einer Kugel mit Radius R

DefinitionBearbeiten

Der Raumwinkel   ist definiert als der Flächeninhalt   einer Teilfläche   einer Kugeloberfläche, dividiert durch das Quadrat des Radius   der Kugel:

 .

Bei Betrachtung der Einheitskugel ( ) ist   also betragsgleich dem zugehörigen Raumwinkel. So ist der volle Raumwinkel gleich der Oberfläche der Einheitskugel, nämlich  .

Die Teilfläche kann von beliebiger Umrissform sein. Vektoriell geschrieben als Flächenintegral ist

 .

Dabei ist   der Einheitsvektor vom Koordinatenursprung,   das differentielle Flächenelement und   dessen Abstand vom Koordinatenursprung.

Anders als das Bild vielleicht vermuten lässt, spielt die Umrissform des Flächenstücks keine Rolle. Jede Umrissform auf der Kugeloberfläche mit dem gleichen Flächeninhalt definiert einen Raumwinkel der gleichen Größe. Legt man durch jeden Punkt der Umrissform einen Strahl mit dem Mittelpunkt der Kugel als Startpunkt, dann erhält man eine geometrische Figur, die den Raumwinkel veranschaulicht. Dies ist vergleichbar mit der Darstellung für einen Winkel in der Ebene: Zwei Halbgeraden mit einem gemeinsamen Startpunkt.

MaßeinheitenBearbeiten

Obwohl der Raumwinkel eine Größe der Dimension Zahl ist, wird er zur Verdeutlichung meist in der Einheit Steradiant (sr) angegeben; dies entspricht dem Bogenmaß mit der Einheit Radiant (rad) beim ebenen Winkel. Ein Raumwinkel von 1 sr umschließt auf einer Kugel mit dem Radius 1 m eine Fläche von 1 m2. Da eine ganze Kugeloberfläche den Flächeninhalt   hat, ist der zugehörige volle Raumwinkel

 .

Gelegentlich werden Raumwinkel auch in Quadratgrad, (°)², angegeben. 1 (°)² ist gleich  .

Die Verwendung einer Hilfsmaßeinheit für eine Größe der Dimension Zahl hat, wie auf vielen Gebieten, insbesondere auch beim Raumwinkel, den Vorteil, dass schon an der verwendeten Einheit erkennbar ist, welche physikalische Größe gemeint ist. Die Lichtstärke (cd = lm/sr) zeigt im Gegensatz zum Lichtstrom (lm) ihre Abhängigkeit vom Raumwinkel durch das Auftreten des Steradiant in der Einheit. Die Lichtstärke bezeichnet somit einen vom Raumwinkel abhängigen Lichtstrom.

Darstellung mit VektorenBearbeiten

Drei von einem Punkt P ausgehende Vektoren  ,   und   bestimmen ein allgemeines Dreieck. Für den aufgespannten Raumwinkel   mit dem Scheitel P gilt:

 .

Dabei ist   das Spatprodukt der Vektoren  ,   und  ,   ist das Skalarprodukt und   ist die Länge des Vektors.

Diese Darstellung wurde im Jahr 1983 von Oosterom und Strackee[1] angegeben und bewiesen.

Darstellung mit KugelkoordinatenBearbeiten

 
Ein Raumwinkel aus einem kartesischen Polarkoordinatenabschnitt

Der Raumwinkel eines Kugeldreiecks beträgt in Abhängigkeit von seinen Innenwinkeln   Steradiant (siehe Kugeldreieck - Eigenschaften).

In einem Kugelkoordinatensystem kann der Raumwinkel besonders übersichtlich definiert werden, da es keine radiale Variable gibt. Zwei Meridianwinkel  ,   und zwei Breitenwinkel  ,   bestimmen ein Flächenelement auf einer Kugeloberfläche. Der zugehörige Raumwinkel beträgt:

 

Raumwinkel eines KegelsBearbeiten

 
Kanonischer Raumwinkel

Wählt man als Umrissform auf der Kugeloberfläche einen Kreis, so erhält man den kanonischen Raumwinkel. Der Raumwinkel bildet dann den Mantel eines geraden Kreiskegels, in dessen Spitze der Mittelpunkt der Kugel liegt.

Ist   der Öffnungswinkel in der Spitze des Kegels, dann ergibt sich der Raumwinkel   aus dem Doppelintegral[2]

 

Öffnungswinkel   in Grad 0 1 2 5 10 15 30 45 57,2958
Öffnungswinkel   in Radiant 0,0000 0,0175 0,0349 0,0873 0,1745 0,2618 0,5236 0,7854 1,0000
Raumwinkel   in Quadratgrad 0,00 0,79 3,14 19,63 78,49 176,46 702,83 1570,10 2525,04
Raumwinkel   in Steradiant 0,0000 0,0002 0,0010 0,0060 0,0239 0,0538 0,2141 0,4783 0,7692
Öffnungswinkel   in Grad 60 65,5411 75 90 120 150 180 270 360
Öffnungswinkel   in Radiant 1,0472 1,1439 1,3090 1,5708 2,0944 2,6180 3,1416 4,7124 6,2832
Raumwinkel   in Quadratgrad 2763,42 3282,81 4262,39 6041,36 10313,24 15287,95 20626,48 35211,60 41252,96
Raumwinkel   in Steradiant 0,8418 1,0000 1,2984 1,8403 3,1416 4,6570 6,2832 10,7261 12,5664

Raumwinkel einer PyramideBearbeiten

 
Zum Raumwinkel einer Pyramide

Der Spezialfall des Raumwinkels mit einem rechteckigen und ebenen Umriss entspricht der geometrischen Form einer Pyramide, wobei der Ursprung genau senkrecht über dem Mittelpunkt des ebenen Rechtecks stehe, (siehe Abbildung). Dieser Raumwinkel tritt z. B. bei der Berechnung der Étendue von optischen Systemen mit rechteckigen Aperturen auf.

Er lässt sich sehr leicht mit der Oosterom-und-Strackee-Formel berechnen. Mit den Pyramidengrundseiten   und   sowie der Höhe h ergibt sich:

 

Verwendet man für die Berechnung die beiden Öffnungswinkel   und  , wobei   und   ist, so folgt nach einigen trigonometrischen Umformungen:

 

BeispieleBearbeiten

Eine Rechteckblende vor einer Punktlichtquelle grenze den Lichtstrahl auf die Winkel 45° ( ) und 20° ( ) ein. Der Raumwinkel beträgt 0,27 sr.

Handelt es sich um eine quadratische Blende und beide Winkel sind 20° groß, dann umfasst der Raumwinkel 0,12 sr. Der kanonische Raumwinkel einer 20°-Kreisblende liegt bei 0,10 sr.

Raumwinkel eines PolyedersBearbeiten

Der Raumwinkel in der Ecke eines Polyeders kann mit dem Satz von L'Huilier berechnet werden.[3]

Für den Raumwinkel, der in der Ecke mit den Innenwinkeln  ,  ,   liegt, gilt

 

wobei  ,  ,   und   ist.

BeispieleBearbeiten

Die folgenden Raumwinkel ergeben sich mithilfe der Halbwinkelformeln und der Additionstheoreme für den Tangens.

Regelmäßiges TetraederBearbeiten

Ein regelmäßiges Tetraeder hat 4 Ecken mit jeweils 3 gleichen Innenwinkeln von 60°, denn alle 4 Seitenflächen sind gleichseitige Dreiecke. Es gilt also   und

 

Quadratische PyramideBearbeiten

Eine gerade quadratische Pyramide, die ein Quadrat und vier gleichseitige Dreiecke als Seitenflächen hat, besitzt an der quadratischen Grundfläche 4 Ecken mit den Innenwinkeln  ,  ,  . Für den Raumwinkel in diesen 4 Ecken gilt

 

OktaederBearbeiten

Ein Oktaeder besteht aus 2 kongruenten geraden quadratischen Pyramiden, die jeweils ein Quadrat und 4 gleichseitige Dreiecke als Seitenflächen haben. Der Raumwinkel in den 6 Ecken des Oktaeders - und in der Spitze der quadratischen Pyramide - ist daher doppelt so groß wie der Raumwinkel in den anderen 4 Ecken der quadratischen Pyramide und beträgt

 

PrismaBearbeiten

Eine gerades Prisma hat Ecken mit einem beliebigen Innenwinkel   und zwei rechten Winkeln von 90°, denn die Mantelfläche eines geraden Prismas besteht aus Rechtecken. Für den Raumwinkel in den Ecken gilt

 

Dieser Raumwinkel hat offensichtlich denselben Anteil am vollen Raumwinkel   wie der Innenwinkel   am zweidimensionalen Vollwinkel  .

OktaederstumpfBearbeiten

 
Raumfüllung mit kongruenten Oktaederstümpfen. In jeder Ecke treffen 4 Oktaederstümpfe zusammen und bilden einen vollen Raumwinkel.

Ein Oktaederstumpf hat 24 Ecken, wo jeweils ein Quadrat und zwei regelmäßige Sechsecke zusammentreffen. Jede Ecke hat also die Innenwinkel  ,  ,   und den Raumwinkel

 

Die Raumwinkel in den Ecken des Oktaederstumpfs sind also gleich   des vollen Raumwinkels. Dieses Ergebnis wird dadurch bestätigt, dass sich der dreidimensionale euklidische Raum lückenlos mit kongruenten Oktaederstümpfen ausfüllen lässt, wobei in jeder Ecke 4 Oktaederstümpfe zusammentreffen (siehe Raumfüllung).

WeblinksBearbeiten

Commons: Solid angle – Sammlung von Bildern, Videos und Audiodateien

EinzelnachweiseBearbeiten

  1. A. Van Oosterom, J. Strackee: The Solid Angle of a Plane Triangle. In: Biomedical Engineering, IEEE Transactions on. BME-30, Nr. 2, 1983, S. 125–126, doi:10.1109/TBME.1983.325207.
  2. Oleg Mazonka: Solid Angle of Conical Surfaces, Polyhedral Cones, and Intersecting Spherical Caps
  3. Wolfram MathWorld: Spherical Excess