Raumwinkel

physikalische Größe

Der Raumwinkel ist das dreidimensionale Gegenstück zum zweidimensionalen für die Ebene definierten Winkel. Er beschreibt den Anteil am gesamten dreidimensionalen Raum, der z. B. im Inneren eines gegebenen Kegel- oder Pyramidenmantels liegt.

Raumwinkel in einer Kugel mit Radius R

DefinitionBearbeiten

Der Raumwinkel   ist definiert als der Flächeninhalt   einer Teilfläche   einer Kugeloberfläche, dividiert durch das Quadrat des Radius   der Kugel:

 .

Bei Betrachtung der Einheitskugel ( ) ist   also betragsgleich dem zugehörigen Raumwinkel. So ist der volle Raumwinkel gleich der Oberfläche der Einheitskugel, nämlich  .

Die Teilfläche kann von beliebiger Umrissform sein. Vektoriell geschrieben als Flächenintegral ist

 .

Dabei ist   der Einheitsvektor vom Koordinatenursprung,   das differentielle Flächenelement und   dessen Abstand vom Koordinatenursprung.

Anders als das Bild vielleicht vermuten lässt, spielt die Umrissform des Flächenstücks keine Rolle. Jede Umrissform auf der Kugeloberfläche mit dem gleichen Flächeninhalt definiert einen Raumwinkel der gleichen Größe. Legt man durch jeden Punkt der Umrissform einen Strahl mit dem Mittelpunkt der Kugel als Startpunkt, dann erhält man eine geometrische Figur, die den Raumwinkel veranschaulicht. Dies ist vergleichbar mit der Darstellung für einen Winkel in der Ebene: Zwei Halbgeraden mit einem gemeinsamen Startpunkt.

MaßeinheitenBearbeiten

Obwohl der Raumwinkel eine Größe der Dimension Zahl ist, wird er zur Verdeutlichung meist in der Einheit Steradiant (sr) angegeben; dies entspricht dem Bogenmaß mit der Einheit Radiant (rad) beim ebenen Winkel. Ein Raumwinkel von 1 sr umschließt auf einer Kugel mit dem Radius 1 m eine Fläche von 1 m2. Da eine ganze Kugeloberfläche den Flächeninhalt   hat, ist der zugehörige volle Raumwinkel

 .

Gelegentlich werden Raumwinkel auch in Quadratgrad, (°)², angegeben. 1 (°)² ist gleich  .

Die Verwendung einer Hilfsmaßeinheit für eine Größe der Dimension Zahl hat, wie auf vielen Gebieten, insbesondere auch beim Raumwinkel, den Vorteil, dass schon an der verwendeten Einheit erkennbar ist, welche physikalische Größe gemeint ist. Die Lichtstärke (cd = lm/sr) zeigt im Gegensatz zum Lichtstrom (lm) ihre Abhängigkeit vom Raumwinkel durch das Auftreten des Steradiant in der Einheit. Die Lichtstärke bezeichnet somit einen vom Raumwinkel abhängigen Lichtstrom.

Darstellung mit KugelkoordinatenBearbeiten

 
Ein Raumwinkel aus einem kartesischen Polarkoordinatenabschnitt

Der Raumwinkel eines Kugeldreiecks beträgt in Abhängigkeit von seinen Innenwinkeln   Steradiant (siehe Kugeldreieck - Eigenschaften).

In einem Kugelkoordinatensystem kann der Raumwinkel besonders übersichtlich definiert werden, da es keine radiale Variable gibt. Zwei Meridianwinkel  ,   und zwei Breitenwinkel  ,   bestimmen ein Flächenelement auf einer Kugeloberfläche. Der zugehörige Raumwinkel beträgt:

 

Raumwinkel eines KegelsBearbeiten

 
Kanonischer Raumwinkel

Wählt man als Umrissform auf der Kugeloberfläche einen Kreis, so erhält man den kanonischen Raumwinkel. Der Raumwinkel bildet dann den Mantel eines geraden Kreiskegels, in dessen Spitze der Mittelpunkt der Kugel liegt.

Ist   der Öffnungswinkel in der Spitze des Kegels, dann ergibt sich der Raumwinkel   aus dem Doppelintegral[1]

 

Öffnungswinkel   in Grad 0 1 2 5 10 15 30 45 57,2958
Öffnungswinkel   in Radiant 0,0000 0,0175 0,0349 0,0873 0,1745 0,2618 0,5236 0,7854 1,0000
Raumwinkel   in Quadratgrad 0,00 0,79 3,14 19,63 78,49 176,46 702,83 1570,10 2525,04
Raumwinkel   in Steradiant 0,0000 0,0002 0,0010 0,0060 0,0239 0,0538 0,2141 0,4783 0,7692
Öffnungswinkel   in Grad 60 65,5411 75 90 120 150 180 270 360
Öffnungswinkel   in Radiant 1,0472 1,1439 1,3090 1,5708 2,0944 2,6180 3,1416 4,7124 6,2832
Raumwinkel   in Quadratgrad 2763,42 3282,81 4262,39 6041,36 10313,24 15287,95 20626,48 35211,60 41252,96
Raumwinkel   in Steradiant 0,8418 1,0000 1,2984 1,8403 3,1416 4,6570 6,2832 10,7261 12,5664

Raumwinkel einer rechteckigen PyramideBearbeiten

 
Zum Raumwinkel einer Pyramide

Der Spezialfall des Raumwinkels mit einem rechteckigen und ebenen Umriss entspricht der geometrischen Form einer Pyramide, wobei der Ursprung genau senkrecht über dem Mittelpunkt des ebenen Rechtecks stehe, (siehe Abbildung). Dieser Raumwinkel tritt z. B. bei der Berechnung der Étendue von optischen Systemen mit rechteckigen Aperturen auf.

Er lässt sich sehr leicht mit der Oosterom-und-Strackee-Formel berechnen. Mit den Pyramidengrundseiten   und   sowie der Höhe h ergibt sich:

 

Verwendet man für die Berechnung die beiden Öffnungswinkel   und  , wobei   und   ist, so folgt nach einigen trigonometrischen Umformungen:

 

Beispiele:

Eine Rechteckblende vor einer Punktlichtquelle grenze den Lichtstrahl auf die Winkel 45° ( ) und 20° ( ) ein. Der Raumwinkel beträgt 0,27 sr.

Handelt es sich um eine quadratische Blende und beide Winkel sind 20° groß, dann umfasst der Raumwinkel 0,12 sr. Der kanonische Raumwinkel einer 20°-Kreisblende liegt bei 0,10 sr.

Raumwinkel von PolyedernBearbeiten

3 Formeln für RaumwinkelBearbeiten

Im Folgenden sind   vier Punkte, so dass die Vektoren   nicht in einer Ebene liegen (den Raum aufspannen),   ist die Einheitskugel um   und   die Schnittpunkte der Geraden   mit der Einheitskugel  .   bilden ein Tetraeder.

 
Würfel mit Einheitskugel in einer Ecke

Ebenen-FormelBearbeiten

Die Winkel   des sphärischen Dreiecks   sind die Winkel zwischen den drei Ebenen, die durch die drei Punktetripel  ,  ,   aufgespannt werden.

Der Flächeninhalt des sphärischen Dreiecks   ist der Raumwinkel in der Tetraederecke   (siehe oben):

  •  .

Beispiel: Für   sind die Winkel   und der Raumwinkel im Nullpunkt gleich

 

Kanten-FormelBearbeiten

Es sind   die Winkel zwischen den drei Geraden  . Sie enthalten die Kanten des Tetraeders im Punkt  .

Der Raumwinkel kann dann mit dem Satz von L'Huilier berechnet werden.[2]

  •  .

Beispiel: Für   sind die Winkel   und

 .

Der Raumwinkel im Punkt   ist (wie vorher) gleich  .

Richtungsvektoren-FormelBearbeiten

Sind die Vektoren   Richtungsvektoren der Geraden  , so gilt für den Raumwinkel

  •  .

Dabei ist   das Spatprodukt der Vektoren  ,   und  ,   ist das Skalarprodukt und   ist die Länge des Vektors.

Diese Darstellung wurde im Jahr 1983 von Oosterom und Strackee[3] angegeben und bewiesen.

Beispiel: Für   sind   Richtungsvektoren. Mit   für   ergibt sich (wie oben)

 

Beispiele mit 3 Kanten an einer EckeBearbeiten

Die drei Formeln zur Bestimmung des Raumwinkels können auf alle Polyederecken mit drei Kanten (Ebenen) angewandt werden.

Reguläres TetraederBearbeiten

 
Tetraeder, Raumwinkel

Bei einem regulären Tetraeder sind die Winkel zwischen Seitenflächen   und nach der Ebenenformel

 

Die Kantenwinkel sind   und damit gilt nach der Kantenformel

 

Gerades PrismaBearbeiten

Ein gerades Prisma besitzt ein n_Eck als Grundfläche und zur Grundfläche senkrechte weitere Kanten (Ebenen). Ist der Winkel in einem Punkt   des Grundflächenpolygons   so folgt aus der Ebenenformel (siehe oben) wegen der Orthogonalität der Seitenflächen für den Raumwinkel in  

 .
 
gerades Prisma
 
Oktaederstumpf

OktaederstumpfBearbeiten

 
Raumfüllung mit kongruenten Oktaederstümpfen. In jeder Ecke treffen 4 Oktaederstümpfe zusammen und bilden einen vollen Raumwinkel.

Ein Oktaederstumpf entsteht durch Beschneidung eines regulären Oktaeders. In einer Ecke   treffen sich 3 Kanten und drei Ebenen, zwei reguläre Sechsecke und ein Quadrat. Es gibt also zwei Flächenwinkel:   zwischen zwei Sechsecken und   zwischen einem Sechseck und einem Quadrat. Es gilt (siehe Oktaederstumpf)

 

Damit ist nach der obigen Ebenenformel der Raumwinkel im Punkt  

  •  

Die Raumwinkel in den Ecken des Oktaederstumpfs sind also gleich   des vollen Raumwinkels. Dieses Ergebnis wird dadurch bestätigt, dass sich der dreidimensionale euklidische Raum lückenlos mit kongruenten Oktaederstümpfen ausfüllen lässt, wobei in jeder Ecke 4 Oktaederstümpfe zusammentreffen (siehe Raumfüllung).

Beispiele mit mehr Kanten in einer EckeBearbeiten

Gehen durch eine Polyederecke mehr als 3 Kanten, hat man ein sphärisches Polygon mit mehr als 3 Ecken. In vielen Fällen lässt sich das sphärische Polygon mit Hilfe eines inneren Hilfspunktes   in sphärische Dreiecke zerlegen (analog zur Triangulierung eines ebenen konvexen Polygons).

Gerade quadratische PyramideBearbeiten

 
Gerade quadratische Pyramide: Zur Raumwinkelberechnung an der Spitze zerlegt

Für eine gerade quadratische Pyramide mit der Quadratseitenlänge   und Höhe   ist der Winkel zwischen den Dreiecken

 

Schneidet man aus der Pyramide, wie aus einem Kuchen, entlang der Pyramidenhöhe und durch jeweils zwei benachbarte Basispunkte, erhält man eine Pyramide mit dreieckiger Grundfläche und einer Pyramidenkante an der Basis. Für den Raumwinkel an der Spitze der dreieckigen Pyramide ergibt sich:

 
 

und der Raumwinkel der Pyramide an der Spitze ist

  •  

Der Winkel zwischen einem Dreieck und dem Quadrat ist

 

Mit der Ebenenformel ergibt sich für den Raumwinkel an einer Basisecke

  •  
 

Speziell:

Für   ist die Pyramide ein halbes Oktaeder. In diesem Fall ist der Raumwinkel an der Spitze

 .
 
Quadratische Pyramide: halbes Oktaeder
 
Ikosaeder, Raumwinkel  

Reguläres IkosaederBearbeiten

Die hier geschilderte Methode wird auch bei der Bestimmung des Raumwinkels eines regulären Ikosaeders angewandt. Bei einem Ikosaeder gehen durch jede Ecke 5 Kanten. Es wird der Raumwinkel einer Pyramide mit einem regulären Fünfeck als Basis bestimmt.

WeblinksBearbeiten

Commons: Solid angle – Sammlung von Bildern, Videos und Audiodateien

EinzelnachweiseBearbeiten

  1. Oleg Mazonka: Solid Angle of Conical Surfaces, Polyhedral Cones, and Intersecting Spherical Caps
  2. Wolfram MathWorld: Spherical Excess
  3. A. Van Oosterom, J. Strackee: The Solid Angle of a Plane Triangle. In: Biomedical Engineering, IEEE Transactions on. BME-30, Nr. 2, 1983, S. 125–126, doi:10.1109/TBME.1983.325207.