Obwohl der Raumwinkel eine Größe der Dimension Zahl ist, wird er zur Verdeutlichung meist in der Einheit Steradiant (sr) angegeben; dies entspricht dem Bogenmaß mit der Einheit Radiant (rad) beim ebenen Winkel. Ein Raumwinkel von 1 sr umschließt auf einer Kugel mit dem Radius 1 m eine Fläche von 1 m2 . Da eine ganze Kugeloberfläche den Flächeninhalt
4
⋅
π
⋅
r
2
{\displaystyle 4\cdot \pi \cdot r^{2}}
hat, ist der zugehörige volle Raumwinkel
Ω
=
4
⋅
π
s
r
≈
12,566
37
s
r
{\displaystyle \Omega =4\cdot \pi \ \mathrm {sr} \approx 12{,}56637\ \mathrm {sr} }
.Gelegentlich werden Raumwinkel auch in Quadratgrad , (°)², angegeben. 1 (°)² ist gleich
(
2
π
360
)
2
≈
0,000
30462
s
r
{\displaystyle \left({\tfrac {2\pi }{360}}\right)^{2}\approx 0{,}00030462\ \mathrm {sr} }
.
Die Verwendung einer Hilfsmaßeinheit für eine Größe der Dimension Zahl hat, wie auf vielen Gebieten, insbesondere auch beim Raumwinkel, den Vorteil, dass schon an der verwendeten Einheit erkennbar ist, welche physikalische Größe gemeint ist. Die Lichtstärke (cd = lm/sr) zeigt im Gegensatz zum Lichtstrom (lm) ihre Abhängigkeit vom Raumwinkel durch das Auftreten des Steradiant in der Einheit. Die Lichtstärke bezeichnet somit einen vom Raumwinkel abhängigen Lichtstrom.
Darstellung mit Vektoren Bearbeiten
Drei von einem Punkt P ausgehende Vektoren
r
→
1
{\displaystyle {\vec {r}}_{1}}
,
r
→
2
{\displaystyle {\vec {r}}_{2}}
und
r
→
3
{\displaystyle {\vec {r}}_{3}}
bestimmen ein allgemeines Dreieck . Für den aufgespannten Raumwinkel
Ω
{\displaystyle \Omega }
mit dem Scheitel P gilt:
tan
(
Ω
2
)
=
(
r
→
1
,
r
→
2
,
r
→
3
)
|
r
→
1
|
⋅
|
r
→
2
|
⋅
|
r
→
3
|
+
(
r
→
1
⋅
r
→
2
)
⋅
|
r
→
3
|
+
(
r
→
1
⋅
r
→
3
)
⋅
|
r
→
2
|
+
(
r
→
2
⋅
r
→
3
)
⋅
|
r
→
1
|
{\displaystyle \tan \left({\frac {\Omega }{2}}\right)={\frac {({\vec {r}}_{1},{\vec {r}}_{2},{\vec {r}}_{3})}{|{\vec {r}}_{1}|\cdot |{\vec {r}}_{2}|\cdot |{\vec {r}}_{3}|+({\vec {r}}_{1}\cdot {\vec {r}}_{2})\cdot |{\vec {r}}_{3}|+({\vec {r}}_{1}\cdot {\vec {r}}_{3})\cdot |{\vec {r}}_{2}|+({\vec {r}}_{2}\cdot {\vec {r}}_{3})\cdot |{\vec {r}}_{1}|}}}
.Dabei ist
(
r
→
1
,
r
→
2
,
r
→
3
)
{\displaystyle ({\vec {r}}_{1},{\vec {r}}_{2},{\vec {r}}_{3})}
das Spatprodukt der Vektoren
r
→
1
{\displaystyle {\vec {r}}_{1}}
,
r
→
2
{\displaystyle {\vec {r}}_{2}}
und
r
→
3
{\displaystyle {\vec {r}}_{3}}
,
(
r
→
1
⋅
r
→
2
)
{\displaystyle ({\vec {r}}_{1}\cdot {\vec {r}}_{2})}
ist das Skalarprodukt und
|
r
→
1
|
{\displaystyle |{\vec {r}}_{1}|}
ist die Länge des Vektors.
Diese Darstellung wurde im Jahr 1983 von Oosterom und Strackee[1] angegeben und bewiesen.
Darstellung mit Kugelkoordinaten Bearbeiten
Raumwinkel eines Kegels Bearbeiten
Wählt man als Umrissform auf der Kugeloberfläche einen Kreis , so erhält man den kanonischen Raumwinkel. Der Raumwinkel bildet dann den Mantel eines geraden Kreiskegels , in dessen Spitze der Mittelpunkt der Kugel liegt.
Ist
2
θ
{\displaystyle 2\theta }
der Öffnungswinkel in der Spitze des Kegels , dann ergibt sich der Raumwinkel
Ω
{\displaystyle \Omega }
aus dem Doppelintegral [2]
Ω
=
∫
0
2
π
∫
0
θ
sin
(
θ
′
)
d
θ
′
d
ϕ
=
∫
0
2
π
d
ϕ
∫
0
θ
sin
(
θ
′
)
d
θ
′
=
2
⋅
π
⋅
∫
0
θ
sin
(
θ
′
)
d
θ
′
=
2
⋅
π
⋅
(
−
cos
(
θ
)
−
(
−
cos
(
0
)
)
)
=
2
⋅
π
⋅
(
1
−
cos
(
θ
)
)
=
2
⋅
π
⋅
(
1
−
(
1
−
2
⋅
sin
2
(
θ
2
)
)
)
=
4
⋅
π
⋅
sin
2
(
θ
2
)
{\displaystyle {\begin{aligned}\Omega &=\int _{0}^{2\pi }\int _{0}^{\theta }\sin(\theta ')\ \mathrm {d} \theta '\ \mathrm {d} \phi =\int _{0}^{2\pi }\mathrm {d} \phi \int _{0}^{\theta }\sin(\theta ')\ \mathrm {d} \theta '=2\cdot \pi \cdot \int _{0}^{\theta }\sin(\theta ')\ \mathrm {d} \theta '=2\cdot \pi \cdot (-\cos(\theta )-(-\cos(0)))\\&=2\cdot \pi \cdot (1-\cos(\theta ))=2\cdot \pi \cdot \left(1-\left(1-2\cdot \sin ^{2}\left({\tfrac {\theta }{2}}\right)\right)\right)\\&=4\cdot \pi \cdot \sin ^{2}\left({\tfrac {\theta }{2}}\right)\end{aligned}}}
Öffnungswinkel
2
θ
{\displaystyle 2\theta }
in Grad
0
1
2
5
10
15
30
45
57,2958
Öffnungswinkel
2
θ
{\displaystyle 2\theta }
in Radiant
0,0000
0,0175
0,0349
0,0873
0,1745
0,2618
0,5236
0,7854
1,0000
Raumwinkel
Ω
{\displaystyle \Omega }
in Quadratgrad
0,00
0,79
3,14
19,63
78,49
176,46
702,83
1570,10
2525,04
Raumwinkel
Ω
{\displaystyle \Omega }
in Steradiant
0,0000
0,0002
0,0010
0,0060
0,0239
0,0538
0,2141
0,4783
0,7692
Öffnungswinkel
2
θ
{\displaystyle 2\theta }
in Grad
60
65,5411
75
90
120
150
180
270
360
Öffnungswinkel
2
θ
{\displaystyle 2\theta }
in Radiant
1,0472
1,1439
1,3090
1,5708
2,0944
2,6180
3,1416
4,7124
6,2832
Raumwinkel
Ω
{\displaystyle \Omega }
in Quadratgrad
2763,42
3282,81
4262,39
6041,36
10313,24
15287,95
20626,48
35211,60
41252,96
Raumwinkel
Ω
{\displaystyle \Omega }
in Steradiant
0,8418
1,0000
1,2984
1,8403
3,1416
4,6570
6,2832
10,7261
12,5664
Raumwinkel einer Pyramide Bearbeiten
Zum Raumwinkel einer Pyramide
Der Spezialfall des Raumwinkels mit einem rechteckigen und ebenen Umriss entspricht der geometrischen Form einer Pyramide , wobei der Ursprung genau senkrecht über dem Mittelpunkt des ebenen Rechtecks stehe, (siehe Abbildung). Dieser Raumwinkel tritt z. B. bei der Berechnung der Étendue von optischen Systemen mit rechteckigen Aperturen auf.
Er lässt sich sehr leicht mit der Oosterom-und-Strackee-Formel berechnen. Mit den Pyramidengrundseiten
w
x
{\displaystyle w_{x}}
und
w
y
{\displaystyle w_{y}}
sowie der Höhe h ergibt sich:
Ω
=
4
⋅
arctan
(
w
x
⋅
w
y
2
⋅
h
⋅
4
⋅
h
2
+
w
x
2
+
w
y
2
)
{\displaystyle \Omega =4\cdot \arctan \left({\frac {w_{x}\cdot w_{y}}{2\cdot h\cdot {\sqrt {4\cdot h^{2}+w_{x}^{2}+w_{y}^{2}}}}}\right)}
Verwendet man für die Berechnung die beiden Öffnungswinkel
2
⋅
φ
x
{\displaystyle 2\cdot \varphi _{x}}
und
2
⋅
φ
y
{\displaystyle 2\cdot \varphi _{y}}
, wobei
tan
(
φ
x
)
=
w
x
2
⋅
h
{\displaystyle \tan(\varphi _{x})={\frac {w_{x}}{2\cdot h}}}
und
tan
(
φ
y
)
=
w
y
2
⋅
h
{\displaystyle \tan(\varphi _{y})={\frac {w_{y}}{2\cdot h}}}
ist, so folgt nach einigen trigonometrischen Umformungen:
Ω
=
4
⋅
arcsin
(
sin
(
φ
x
)
⋅
sin
(
φ
y
)
)
{\displaystyle \Omega =4\cdot \arcsin \left(\sin(\varphi _{x})\cdot \sin(\varphi _{y})\right)}
Eine Rechteckblende vor einer Punktlichtquelle grenze den Lichtstrahl auf die Winkel 45° (
φ
x
=
22
,
5
∘
{\displaystyle \varphi _{x}=22{,}5^{\circ }}
) und 20° (
φ
y
=
10
∘
{\displaystyle \varphi _{y}=10^{\circ }}
) ein. Der Raumwinkel beträgt 0,27 sr.
Handelt es sich um eine quadratische Blende und beide Winkel sind 20° groß, dann umfasst der Raumwinkel 0,12 sr. Der kanonische Raumwinkel einer 20°-Kreisblende liegt bei 0,10 sr.
Raumwinkel eines Polyeders Bearbeiten
Der Raumwinkel in der Ecke eines Polyeders kann mit dem Satz von L'Huilier berechnet werden.[3]
Für den Raumwinkel, der in der Ecke mit den Innenwinkeln
α
{\displaystyle \alpha }
,
β
{\displaystyle \beta }
,
γ
{\displaystyle \gamma }
liegt, gilt
Ω
=
4
⋅
arctan
(
tan
(
θ
s
2
)
⋅
tan
(
θ
s
−
θ
a
2
)
⋅
tan
(
θ
s
−
θ
b
2
)
⋅
tan
(
θ
s
−
θ
c
2
)
)
=
4
⋅
arctan
(
tan
(
α
+
β
+
γ
4
)
⋅
tan
(
−
α
+
β
+
γ
4
)
⋅
tan
(
α
−
β
+
γ
4
)
⋅
tan
(
α
+
β
−
γ
4
)
)
{\displaystyle {\begin{aligned}\Omega &=4\cdot \arctan \left({\sqrt {\tan \left({\frac {\theta _{s}}{2}}\right)\cdot \tan \left({\frac {\theta _{s}-\theta _{a}}{2}}\right)\cdot \tan \left({\frac {\theta _{s}-\theta _{b}}{2}}\right)\cdot \tan \left({\frac {\theta _{s}-\theta _{c}}{2}}\right)}}\right)\\&=4\cdot \arctan \left({\sqrt {\tan \left({\frac {\alpha +\beta +\gamma }{4}}\right)\cdot \tan \left({\frac {-\alpha +\beta +\gamma }{4}}\right)\cdot \tan \left({\frac {\alpha -\beta +\gamma }{4}}\right)\cdot \tan \left({\frac {\alpha +\beta -\gamma }{4}}\right)}}\right)\end{aligned}}}
wobei
θ
s
=
α
+
β
+
γ
2
{\displaystyle \theta _{s}={\frac {\alpha +\beta +\gamma }{2}}}
,
θ
a
=
α
{\displaystyle \theta _{a}=\alpha }
,
θ
b
=
β
{\displaystyle \theta _{b}=\beta }
und
θ
c
=
γ
{\displaystyle \theta _{c}=\gamma }
ist.
Die folgenden Raumwinkel ergeben sich mithilfe der Halbwinkelformeln und der Additionstheoreme für den Tangens .
Regelmäßiges Tetraeder Bearbeiten
Ein regelmäßiges Tetraeder hat 4 Ecken mit jeweils 3 gleichen Innenwinkeln von 60°, denn alle 4 Seitenflächen sind gleichseitige Dreiecke . Es gilt also
α
=
β
=
γ
=
60
∘
{\displaystyle \alpha =\beta =\gamma =60^{\circ }}
und
Ω
=
4
⋅
arctan
(
tan
(
60
∘
+
60
∘
+
60
∘
4
)
⋅
tan
(
−
60
∘
+
60
∘
+
60
∘
4
)
⋅
tan
(
60
∘
−
60
∘
+
60
∘
4
)
⋅
tan
(
60
∘
+
60
∘
−
60
∘
4
)
)
=
4
⋅
arctan
(
tan
(
45
∘
)
⋅
tan
3
(
15
∘
)
)
=
4
⋅
arctan
(
1
⋅
(
tan
(
30
∘
)
1
+
1
+
tan
2
(
30
∘
)
)
3
)
=
4
⋅
arctan
(
(
1
3
1
+
1
+
(
1
3
)
2
)
3
)
=
4
⋅
arctan
(
(
2
−
3
)
3
)
=
4
⋅
arctan
(
26
−
15
⋅
3
)
≈
0,551
285598
s
r
{\displaystyle {\begin{aligned}\Omega &=4\cdot \arctan \left({\sqrt {\tan \left({\frac {60^{\circ }+60^{\circ }+60^{\circ }}{4}}\right)\cdot \tan \left({\frac {-60^{\circ }+60^{\circ }+60^{\circ }}{4}}\right)\cdot \tan \left({\frac {60^{\circ }-60^{\circ }+60^{\circ }}{4}}\right)\cdot \tan \left({\frac {60^{\circ }+60^{\circ }-60^{\circ }}{4}}\right)}}\right)\\&=4\cdot \arctan \left({\sqrt {\tan(45^{\circ })\cdot \tan ^{3}(15^{\circ })}}\right)=4\cdot \arctan \left({\sqrt {1\cdot \left({\frac {\tan(30^{\circ })}{1+{\sqrt {1+\tan ^{2}(30^{\circ })}}}}\right)^{3}}}\right)=4\cdot \arctan \left({\sqrt {\left({\frac {\tfrac {1}{\sqrt {3}}}{1+{\sqrt {1+\left({\tfrac {1}{\sqrt {3}}}\right)^{2}}}}}\right)^{3}}}\right)\\&=4\cdot \arctan \left({\sqrt {(2-{\sqrt {3}})^{3}}}\right)=4\cdot \arctan \left({\sqrt {26-15\cdot {\sqrt {3}}}}\right)\approx 0{,}551285598\ \mathrm {sr} \end{aligned}}}
Quadratische Pyramide Bearbeiten
Eine gerade quadratische Pyramide , die ein Quadrat und vier gleichseitige Dreiecke als Seitenflächen hat, besitzt an der quadratischen Grundfläche 4 Ecken mit den Innenwinkeln
α
=
60
∘
{\displaystyle \alpha =60^{\circ }}
,
β
=
60
∘
{\displaystyle \beta =60^{\circ }}
,
γ
=
90
∘
{\displaystyle \gamma =90^{\circ }}
. Für den Raumwinkel in diesen 4 Ecken gilt
Ω
=
4
⋅
arctan
(
tan
(
60
∘
+
60
∘
+
90
∘
4
)
⋅
tan
(
−
60
∘
+
60
∘
+
90
∘
4
)
⋅
tan
(
60
∘
−
60
∘
+
90
∘
4
)
⋅
tan
(
60
∘
+
60
∘
−
90
∘
4
)
)
=
4
⋅
arctan
(
tan
(
52
,
5
∘
)
⋅
tan
(
7
,
5
∘
)
⋅
tan
2
(
22
,
5
∘
)
)
=
4
⋅
arctan
(
tan
(
30
∘
+
22
,
5
∘
)
⋅
tan
(
30
∘
−
22
,
5
∘
)
⋅
tan
2
(
22
,
5
∘
)
)
=
4
⋅
arctan
(
tan
2
(
30
∘
)
−
tan
2
(
22
,
5
∘
)
1
−
tan
2
(
30
∘
)
⋅
tan
2
(
22
,
5
∘
)
⋅
tan
2
(
22
,
5
∘
)
)
=
4
⋅
arctan
(
(
1
3
)
2
−
(
2
−
1
)
2
1
−
(
1
3
)
2
⋅
(
2
−
1
)
2
⋅
(
2
−
1
)
2
)
=
4
⋅
arctan
(
(
2
−
1
)
4
)
=
4
⋅
arctan
(
3
−
2
⋅
2
)
≈
0,679
7
s
r
{\displaystyle {\begin{aligned}\Omega &=4\cdot \arctan \left({\sqrt {\tan \left({\frac {60^{\circ }+60^{\circ }+90^{\circ }}{4}}\right)\cdot \tan \left({\frac {-60^{\circ }+60^{\circ }+90^{\circ }}{4}}\right)\cdot \tan \left({\frac {60^{\circ }-60^{\circ }+90^{\circ }}{4}}\right)\cdot \tan \left({\frac {60^{\circ }+60^{\circ }-90^{\circ }}{4}}\right)}}\right)\\&=4\cdot \arctan \left({\sqrt {\tan(52{,}5^{\circ })\cdot \tan(7{,}5^{\circ })\cdot \tan ^{2}(22{,}5^{\circ })}}\right)=4\cdot \arctan \left({\sqrt {\tan(30^{\circ }+22{,}5^{\circ })\cdot \tan(30^{\circ }-22{,}5^{\circ })\cdot \tan ^{2}(22{,}5^{\circ })}}\right)\\&=4\cdot \arctan \left({\sqrt {{\frac {\tan ^{2}(30^{\circ })-\tan ^{2}(22{,}5^{\circ })}{1-\tan ^{2}(30^{\circ })\cdot \tan ^{2}(22{,}5^{\circ })}}\cdot \tan ^{2}(22{,}5^{\circ })}}\right)=4\cdot \arctan \left({\sqrt {{\frac {\left({\tfrac {1}{\sqrt {3}}}\right)^{2}-({\sqrt {2}}-1)^{2}}{1-\left({\tfrac {1}{\sqrt {3}}}\right)^{2}\cdot ({\sqrt {2}}-1)^{2}}}\cdot ({\sqrt {2}}-1)^{2}}}\right)\\&=4\cdot \arctan \left({\sqrt {({\sqrt {2}}-1)^{4}}}\right)=4\cdot \arctan \left(3-2\cdot {\sqrt {2}}\right)\approx 0{,}6797\ \mathrm {sr} \end{aligned}}}
Ein Oktaeder besteht aus 2 kongruenten geraden quadratischen Pyramiden , die jeweils ein Quadrat und 4 gleichseitige Dreiecke als Seitenflächen haben. Der Raumwinkel in den 6 Ecken des Oktaeders - und in der Spitze der quadratischen Pyramide - ist daher doppelt so groß wie der Raumwinkel in den anderen 4 Ecken der quadratischen Pyramide und beträgt
Ω
=
2
⋅
4
⋅
arctan
(
3
−
2
⋅
2
)
≈
1,359
4
s
r
{\displaystyle \Omega =2\cdot 4\cdot \arctan \left(3-2\cdot {\sqrt {2}}\right)\approx 1{,}3594\ \mathrm {sr} }
Eine gerades Prisma hat Ecken mit einem beliebigen Innenwinkel
α
{\displaystyle \alpha }
und zwei rechten Winkeln von 90°, denn die Mantelfläche eines geraden Prismas besteht aus Rechtecken . Für den Raumwinkel in den Ecken gilt
Ω
=
4
⋅
arctan
(
tan
(
α
+
90
∘
+
90
∘
4
)
⋅
tan
(
−
α
+
90
∘
+
90
∘
4
)
⋅
tan
(
α
−
90
∘
+
90
∘
4
)
⋅
tan
(
α
+
90
∘
−
90
∘
4
)
)
=
4
⋅
arctan
(
tan
(
45
∘
+
α
4
)
⋅
tan
(
45
∘
−
α
4
)
⋅
tan
2
(
α
4
)
)
=
4
⋅
arctan
(
tan
(
45
∘
+
α
4
)
⋅
cot
(
45
∘
+
α
4
)
⋅
tan
2
(
α
4
)
)
=
4
⋅
arctan
(
tan
2
(
α
4
)
)
=
4
⋅
arctan
(
tan
(
α
4
)
)
=
α
{\displaystyle {\begin{aligned}\Omega &=4\cdot \arctan \left({\sqrt {\tan \left({\frac {\alpha +90^{\circ }+90^{\circ }}{4}}\right)\cdot \tan \left({\frac {-\alpha +90^{\circ }+90^{\circ }}{4}}\right)\cdot \tan \left({\frac {\alpha -90^{\circ }+90^{\circ }}{4}}\right)\cdot \tan \left({\frac {\alpha +90^{\circ }-90^{\circ }}{4}}\right)}}\right)\\&=4\cdot \arctan \left({\sqrt {\tan \left(45^{\circ }+{\frac {\alpha }{4}}\right)\cdot \tan \left(45^{\circ }-{\frac {\alpha }{4}}\right)\cdot \tan ^{2}\left({\frac {\alpha }{4}}\right)}}\right)=4\cdot \arctan \left({\sqrt {\tan \left(45^{\circ }+{\frac {\alpha }{4}}\right)\cdot \cot \left(45^{\circ }+{\frac {\alpha }{4}}\right)\cdot \tan ^{2}\left({\frac {\alpha }{4}}\right)}}\right)\\&=4\cdot \arctan \left({\sqrt {\tan ^{2}\left({\frac {\alpha }{4}}\right)}}\right)=4\cdot \arctan \left(\tan \left({\frac {\alpha }{4}}\right)\right)=\alpha \end{aligned}}}
Dieser Raumwinkel hat offensichtlich denselben Anteil am vollen Raumwinkel
4
⋅
π
s
r
{\displaystyle 4\cdot \pi \ \mathrm {sr} }
wie der Innenwinkel
α
{\displaystyle \alpha }
am zweidimensionalen Vollwinkel
2
⋅
π
{\displaystyle 2\cdot \pi }
.
Ein Oktaederstumpf hat 24 Ecken , wo jeweils ein Quadrat und zwei regelmäßige Sechsecke zusammentreffen. Jede Ecke hat also die Innenwinkel
α
=
90
∘
{\displaystyle \alpha =90^{\circ }}
,
β
=
120
∘
{\displaystyle \beta =120^{\circ }}
,
γ
=
120
∘
{\displaystyle \gamma =120^{\circ }}
und den Raumwinkel
Ω
=
4
⋅
arctan
(
tan
(
90
∘
+
120
∘
+
120
∘
4
)
⋅
tan
(
−
90
∘
+
120
∘
+
120
∘
4
)
⋅
tan
(
90
∘
−
120
∘
+
120
∘
4
)
⋅
tan
(
90
∘
+
120
∘
−
120
∘
4
)
)
=
4
⋅
arctan
(
tan
(
82
,
5
∘
)
⋅
tan
(
37
,
5
∘
)
⋅
tan
2
(
22
,
5
∘
)
)
=
4
⋅
arctan
(
tan
(
60
∘
+
22
,
5
∘
)
⋅
tan
(
60
∘
−
22
,
5
∘
)
⋅
tan
2
(
22
,
5
∘
)
)
=
4
⋅
arctan
(
tan
2
(
60
∘
)
−
tan
2
(
22
,
5
∘
)
1
−
tan
2
(
60
∘
)
⋅
tan
2
(
22
,
5
∘
)
⋅
tan
2
(
22
,
5
∘
)
)
=
4
⋅
arctan
(
(
3
)
2
−
(
2
−
1
)
2
1
−
(
3
)
2
⋅
(
2
−
1
)
2
⋅
(
2
−
1
)
2
)
=
4
⋅
arctan
(
1
)
=
π
s
r
{\displaystyle {\begin{aligned}\Omega &=4\cdot \arctan \left({\sqrt {\tan \left({\frac {90^{\circ }+120^{\circ }+120^{\circ }}{4}}\right)\cdot \tan \left({\frac {-90^{\circ }+120^{\circ }+120^{\circ }}{4}}\right)\cdot \tan \left({\frac {90^{\circ }-120^{\circ }+120^{\circ }}{4}}\right)\cdot \tan \left({\frac {90^{\circ }+120^{\circ }-120^{\circ }}{4}}\right)}}\right)\\&=4\cdot \arctan \left({\sqrt {\tan(82{,}5^{\circ })\cdot \tan(37{,}5^{\circ })\cdot \tan ^{2}(22{,}5^{\circ })}}\right)=4\cdot \arctan \left({\sqrt {\tan(60^{\circ }+22{,}5^{\circ })\cdot \tan(60^{\circ }-22{,}5^{\circ })\cdot \tan ^{2}(22{,}5^{\circ })}}\right)\\&=4\cdot \arctan \left({\sqrt {{\frac {\tan ^{2}(60^{\circ })-\tan ^{2}(22{,}5^{\circ })}{1-\tan ^{2}(60^{\circ })\cdot \tan ^{2}(22{,}5^{\circ })}}\cdot \tan ^{2}(22{,}5^{\circ })}}\right)=4\cdot \arctan \left({\sqrt {{\frac {({\sqrt {3}})^{2}-({\sqrt {2}}-1)^{2}}{1-({\sqrt {3}})^{2}\cdot ({\sqrt {2}}-1)^{2}}}\cdot ({\sqrt {2}}-1)^{2}}}\right)\\&=4\cdot \arctan \left(1\right)=\pi \ \mathrm {sr} \end{aligned}}}
Die Raumwinkel in den Ecken des Oktaederstumpfs sind also gleich
1
4
{\displaystyle {\tfrac {1}{4}}}
des vollen Raumwinkels. Dieses Ergebnis wird dadurch bestätigt, dass sich der dreidimensionale euklidische Raum lückenlos mit kongruenten Oktaederstümpfen ausfüllen lässt, wobei in jeder Ecke 4 Oktaederstümpfe zusammentreffen (siehe Raumfüllung ).