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Kugelkoordinaten

räumliche Polarkoordinaten

In Kugelkoordinaten oder räumlichen Polarkoordinaten wird ein Punkt im dreidimensionalen Raum durch seinen Abstand vom Ursprung und zwei Winkel angegeben.

Bei Punkten auf einer Kugeloberfläche (Sphäre) ist der Abstand vom Ursprung (Kugelmittelpunkt) konstant. Dann sind nur noch die beiden Winkel variabel; sie werden dann als sphärische Koordinaten bezeichnet.

Der Begriff „Kugelkoordinaten“ kann als Oberbegriff für den allgemeinen Fall und die sphärischen Koordinaten angesehen werden. Kugelkoordinaten sind wie Zylinderkoordinaten eine Verallgemeinerung der ebenen Polarkoordinaten auf den dreidimensionalen euklidischen Raum. Sie lassen sich auch weiter auf Räume beliebiger endlicher Dimension verallgemeinern.

Inhaltsverzeichnis

Übliche KonventionBearbeiten

DefinitionBearbeiten

 
Kugelkoordinaten   eines Punktes und kartesisches Koordinatensystem

Ein Kugelkoordinatensystem im dreidimensionalen euklidischen Raum wird festgelegt durch die Wahl

  • eines Zentrums   (Ursprung),
  • einer gerichteten Gerade durch das Zentrum (Polachse), die die Polrichtung (oder Zenitrichtung) angibt, und durch diese festgelegt die Äquatorebene, die orthogonal zur Polrichtung durch das Zentrum verläuft, und
  • einer Bezugsrichtung in der Äquatorebene.

Oft wird gleichzeitig ein kartesisches Koordinatensystem verwendet. Dann wird typischerweise der Ursprung des kartesischen Koordinatensystems als Zentrum gewählt, die z-Achse als Polachse (und damit die x-y-Ebene als Äquatorebene) und die x-Achse als Bezugsrichtung.

In der Version der Kugelkoordinaten, die in der Mathematik und in der Physik üblich ist, wird ein Punkt   durch die folgenden drei Koordinaten festgelegt:

  •  , der Radius, ist der Abstand des Punktes   von  , hiermit wird die Kugeloberfläche festgelegt, auf der sich   befindet.
  •   oder  , [1] der Polarwinkel oder Poldistanzwinkel[2], ist der Winkel zwischen der Polrichtung und der Strecke  , gezählt von   bis   (0° bis 180°), hierdurch wird der Ort des Punktes   auf eine Kreislinie der Kugeloberfläche festgelegt.
  •   oder  ,[1] der Azimutwinkel,[2] ist der Winkel zwischen der Bezugsrichtung und der Orthogonalprojektion der Strecke  , gezählt von   bis   (−180° bis 180°) oder von 0 bis   (0° bis 360°) gegen den Uhrzeigersinn. Hierdurch wird der Ort des Punktes   auf der Kreislinie eindeutig definiert.

Die nebenstehende Abbildung zeigt einen Punkt   mit den Kugelkoordinaten  . Die beiden Winkelgrößen   und   werden auch als Winkelkoordinaten bezeichnet.

UmrechnungenBearbeiten

Jedem Koordinatentripel   wird ein Punkt im dreidimensionalen euklidischen Raum zugeordnet (Parametrisierung). Wählt man ein kartesisches Koordinatensystem wie oben, so kann die Zuordnung durch die folgenden Gleichungen beschrieben werden:

 

Bei diesen Gleichungen können für  ,   und   beliebige Zahlenwerte eingesetzt werden. Damit die Kugelkoordinaten eindeutig bestimmt sind, muss man den Wertebereich der Koordinaten einschränken. Üblicherweise wird der Radius   auf nichtnegative Werte beschränkt, der Winkel   auf das Intervall   bzw. [0, 180°] und der Winkel   entweder auf das Intervall   bzw. (−180°, 180°] oder das Intervall   bzw. [0, 360°). Auch dann gibt es ausgeartete Punkte, für die die Winkelkoordinaten nicht eindeutig sind. Für Punkte auf der z-Achse ist der Winkel   nicht festgelegt, also beliebig. Für den Ursprung ist auch   beliebig. Um Eindeutigkeit zu erreichen, kann man für diese Punkte   festlegen und für den Ursprung zusätzlich  .

Für die anderen Punkte lassen sich die Kugelkoordinaten   aus den kartesischen Koordinaten   durch die folgenden Gleichungen berechnen:[3]

 
 
 

Die angegebenen Gleichungen für den Winkel   gelten, wenn   zwischen   und   gewählt wird. Wählt man   zwischen 0 und  , so sind sie geeignet zu modifizieren.

In der Analysis und ihren Anwendungen werden Kugelkoordinaten-Winkel meist im Bogenmaß angegeben.

AnwendungenBearbeiten

Kugelkoordinaten werden oft bei der Untersuchung von Systemen verwendet, die rotationssymmetrisch bezüglich eines Punktes sind. Beispiele sind: Volumenintegrale über Kugeln, die Beschreibung und Untersuchung rotationssymmetrischer Kraftfelder, wie z. B. das Gravitationsfeld eines kugelförmigen Himmelskörpers, das elektrische Feld einer Punktladung oder einer geladenen Kugel. Die betrachteten Größen hängen dann nicht von den Winkelkoordinaten ab, was viele Formeln vereinfacht. Wichtige partielle Differentialgleichungen wie die Laplace-Gleichung oder die Helmholtzgleichung können in Kugelkoordinaten durch Separation der Variablen gelöst werden.

Andere KonventionenBearbeiten

Die obige Koordinatenwahl ist internationaler Konsens in der theoretischen Physik. Manchmal werden die Zeichen θ und φ aber im umgekehrten Sinne verwendet, insbesondere in amerikanischer Literatur.

Der Polarwinkel θ ist nicht die geographische Breite, sondern lässt sich mit der Kobreite identifizieren. Die geographische Breite ist der Winkel zwischen der Äquatorialebene und dem Ortsvektor und nimmt Werte zwischen   und   an. Wird sie mit   bezeichnet, so ist  . Hingegen kann man das oben benutzte   ohne weiteres mit der geographischen Länge λ östlich von Greenwich gleichsetzen (siehe geographische Koordinaten).

Die obige Konstruktion ist in gewisser Hinsicht inkonsistent mit dem Aufbau der ebenen Polarkoordinaten. Für manche Probleme ist es praktischer, die Darstellung

 
 
 

zu benutzen. In dieser Darstellung entspricht   der geographischen Breite.

Die Rücktransformation des Punktes bzw. Vektors   in die Winkelbestandteile erfolgt dann mit

 
 ,

wobei  .

Transformation von DifferentialenBearbeiten

Jacobi-MatrixBearbeiten

Die lokalen Eigenschaften der Koordinatentransformation werden durch die Jacobi-Matrix beschrieben. Für die Transformation von Kugelkoordinaten in kartesische Koordinaten lautet diese

 

Die zugehörige Funktionaldeterminante lautet:

 

Man berechnet die Jacobi-Matrix der entgegengesetzten Transformation am einfachsten als Inverse von  :

 

Einige Komponenten dieser Matrix sind Brüche, an deren Nennern man die Uneindeutigkeit der Polarkoordinaten bei   und bei   (also   oder  ) erkennt. Ungebräuchlicher ist die Darstellung in kartesischen Koordinaten:

 

Differentiale, Volumenelement, Flächenelement, LinienelementBearbeiten

Die Jacobi-Matrix erlaubt es, die Umrechnung von Differentialen übersichtlich als lineare Abbildung zu schreiben:

 

beziehungsweise

 .

Das Volumenelement   lässt sich besonders einfach mit Hilfe der Funktionaldeterminante

 

umrechnen:

 .

Durch Differentiation   erhält man für das Flächenelement   auf einer Sphäre mit Radius  

 .

Das Linienelement   errechnet man gemäß

 

Metrik und RotationsmatrixBearbeiten

Im Fehlen gemischter Glieder im Linienelement   spiegelt sich wider, dass der metrische Tensor

 

auch in Kugelkoordinaten keine Außerdiagonalelemente hat.

Der metrische Tensor ist offensichtlich das Quadrat der Diagonalmatrix

 .

Mit Hilfe dieser Matrix lässt sich die Jacobi-Matrix als   schreiben, wobei   die Rotationsmatrix

 

ist.

Transformation von Vektorfeldern und -OperatorenBearbeiten

 
Kugelkoordinaten mit zugehöriger vom Ort abhängigen Orthogonalbasis  

Im Folgenden soll die Transformation von Vektoren und Differentialoperatoren exemplarisch dargestellt werden. Die Ergebnisse werden bevorzugt in kompakter Form unter Benutzung von Transformationsmatrizen geschrieben. Die allermeisten Aussagen und Formeln gelten nur für Punkte außerhalb der z-Achse, für die die Jacobi-Determinante ungleich null ist.

Transformation der VektorraumbasisBearbeiten

Der Basisvektor   zur Koordinate   gibt an, in welche Richtung sich ein Punkt   bewegt, wenn die Koordinate   um einen infinitesimalen Betrag   verändert wird:

 .

Daraus erhält man

 .

Um eine orthonormale Basis zu erhalten, muss   noch auf die Länge   normiert werden:

 .

Auf gleiche Weise erhält man die Basisvektoren   und  :

 
 

Als Spaltenvektoren geschrieben:

 

Diese Basisvektoren bilden in der Reihenfolge   ein Rechtssystem.

Die zugehörigen Richtungen werden auch radial, meridional und azimutal genannt. Diese Begriffe spielen nicht nur in der Astronomie und den Geowissenschaften (z. B. Geographie, Geologie oder Geophysik) eine zentrale Rolle, sondern auch in Mathematik, Physik und verschiedenen Ingenieurwissenschaften, etwa bei der Ausstrahlung von elektromagnetischen Wellen („Hertzscher Dipol“) durch eine in z-Richtung aufgespannte Antenne, wo die Ausstrahlung in radialer Richtung erfolgt, während elektrisches bzw. magnetisches Feld in meridionaler bzw. azimutaler Richtung schwingen.

Mithilfe der oben eingeführten Rotationsmatrix   lassen sich die Transformationen auch kompakt darstellen:

  .

In die Gegenrichtung lauten die Gleichungen dann:

 .

(Dabei wird verwendet, dass   orthogonal ist und deshalb  .)

Transformation eines VektorfeldesBearbeiten

Ein Vektor, als ein geometrisches Objekt, muss vom Koordinatensystem unabhängig sein:

 

Diese Bedingung wird erfüllt durch

    beziehungsweise    .

Transformation der partiellen AbleitungenBearbeiten

Die partiellen Ableitungen transformieren sich wie die Basisvektoren, aber ohne Normierung. Man kann genau wie oben rechnen, nur lässt man den Punkt   im Zähler weg (tatsächlich werden in der modernen Formulierung der Differentialgeometrie die Koordinatenbasisvektoren des Tangentialraums und die partiellen Ableitungen gleichgesetzt) und verwendet die Jacobi-Matrix   anstelle der Rotationsmatrix  . Die Transformation lautet also:

 ,

und in die Gegenrichtung

 .

Transformation des Nabla-OperatorsBearbeiten

Der Nabla-Operator   hat nur in kartesischen Koordinaten die einfache Form

 .

Sowohl die partiellen Ableitungen als auch die Einheitsvektoren muss man in der oben hergeleiteten Weise transformieren. Man findet:

 .

In dieser Form kann der transformierte Nabla-Operator unmittelbar angewandt werden, um den Gradienten eines in Kugelkoordinaten gegebenen Skalarfeldes zu berechnen.

Um die Divergenz eines in Kugelkoordinaten gegebenen Vektorfeldes A zu berechnen, ist hingegen zu berücksichtigen, dass   nicht nur auf die Koeffizienten   wirkt, sondern auch auf die in A implizit enthaltenen Basisvektoren  

 

Um die Rotation eines in Kugelkoordinaten gegebenen Vektorfeldes A zu berechnen, ist dasselbe zu berücksichtigen:

 

Transformation des Laplace-OperatorsBearbeiten

Wenn man in der Divergenzformel als Vektorfeld A den Gradientenoperator   einsetzt, findet man den Laplace-Operator

 .

bzw.

 .

Verallgemeinerung auf n-dimensionale KugelkoordinatenBearbeiten

Eine Verallgemeinerung der Kugelkoordinaten auf   Dimensionen:

 

Die Winkel entwickeln sich nach:

 

Durch Umnummerierung erhält man eine Rekursionsformel für die Winkel:

 

Woraus sich die folgenden Winkel ergeben:

 

mit   und

 

Der Radius ist:

 

Eine Fallunterscheidung liefert mittels Arkustangens den passenden Winkel zur gegebenen kartesischen Koordinate, wobei  :

 

Dabei fällt auf, dass   immer ein zweidimensionaler Vektor ist für   .

Jacobi-MatrixBearbeiten

Die Jacobi-Matrix der Kugelkoordinaten lautet bezüglich der als oberes gegebenen Nummerierung:

 

Ihre Determinante beträgt:

 

Das Integral über den Betrag dieser Determinante lässt sich mit der Gammafunktion   angeben.

 

Dies entspricht dem Kugelvolumen einer  -dimensionalen Hyperkugel:

 

BeispieleBearbeiten

2D:

 

3D:

 

4D:

 

BeispielBearbeiten

Zuordnung am Beispiel   mit den geläufigen Koordinatenachsen  :

 

Die Winkel sind dann:

 

WeblinksBearbeiten

EinzelnachweiseBearbeiten

  1. a b Lothar Papula: Mathematik für Ingenieure und Naturwissenschaftler. Band 3: Vektoranalysis, Wahrscheinlichkeitsrechnung, mathematische Statistik, Fehler- und Ausgleichsrechnung. 4. verbesserte Auflage. Vieweg + Teubner, Wiesbaden 2001, ISBN 3-528-34937-9.
  2. a b Skript (PDF; 59 kB) an der TU München
  3. Kugelkoordinaten. Mathematik-Online-Lexikon der Universität Stuttgart. Autoren: App/Höllig