Funktionaldeterminante

Determinante der Jacobi Matrix einer Funktion

Die Funktionaldeterminante oder Jacobi-Determinante ist eine mathematische Größe, die in der mehrdimensionalen Integralrechnung, also der Berechnung von Oberflächen- und Volumenintegralen, eine Rolle spielt. Insbesondere findet sie in der Flächenformel und dem aus dieser hervorgehenden Transformationssatz Verwendung.

Lokales Verhalten einer FunktionBearbeiten

Die Funktionaldeterminante gibt zu einem gegebenen Punkt wichtige Informationen über das Verhalten der Funktion   in der Nähe dieses Punktes. Wenn beispielsweise die Funktionaldeterminante einer stetig differenzierbaren Funktion in einem Punkt   ungleich null ist, so ist die Funktion in einer Umgebung von   invertierbar. Weiterhin gilt, dass bei positiver Determinante in   die Funktion ihre Orientierung beibehält und bei negativer Funktionaldeterminante die Orientierung umkehrt. Der absolute Wert der Determinante im Punkt   gibt den Wert an, mit dem die Funktion in der Nähe von   expandiert oder schrumpft.

DefinitionBearbeiten

Für eine differenzierbare Funktion   ist die Funktionaldeterminante definiert als die Determinante der Jacobi-Matrix von  , also als

 

mit

 .

Für die Transformation von Volumenelementen, einen wichtigen Anwendungsfall in der Physik, reicht diese Definition aus. Die Flächenformel der Maß- und Integrationstheorie beschreibt dagegen auch, wie sich Integrale über Funktionen, die Räume unterschiedlicher Dimension ineinander abbilden, transformieren. In diesem Anwendungsfall ist   keine quadratische Matrix mehr, sodass der Ausdruck oben nicht mehr definiert ist. Man verwendet dann die folgende Definition:

Die verallgemeinerte Funktionaldeterminante einer Funktion   ist definiert als

 

Dabei bezeichnet   die Jacobi-Matrix und   ihre Transponierte. Der Ausdruck   wird gramsche Determinante von   genannt.

Solange die betrachtete Abbildung keine Selbstabbildung ist, ist es üblich, das Präfix verallgemeinerte wegzulassen. Bei Selbstabbildungen kann dies allerdings zu Missverständnissen führen, da beide Definitionen im Allgemeinen unterschiedliche Werte annehmen. Es gilt ja

 

Im Kontext der Flächen- bzw. Transformationsformel wird allerdings ohnehin immer der Betrag verwendet.

BeispieleBearbeiten

Bei der Integration über geometrische Objekte ist es oft unpraktisch, über kartesische Koordinaten zu integrieren. So lässt sich in der Physik das Integral über ein radialsymmetrisches Potentialfeld, dessen Wert nur von einem Radius   abhängt, wesentlich leichter in Kugelkoordinaten berechnen.

Um dies zu tun, wendet man eine Koordinatentransformation   an. Nach dem Transformationssatz gilt dann in diesem Beispiel:

 

Im Folgenden sind Rechnungen zu drei Koordinatensystemen aufgeführt:

PolarkoordinatenBearbeiten

Die Umrechnungsformeln von Polarkoordinaten in kartesische Koordinaten lauten:

 
 

Die Funktionaldeterminante lautet also:

 

Folglich ergibt sich für das Flächenelement  :

 

KugelkoordinatenBearbeiten

Die Umrechnungsformeln von Kugelkoordinaten ( ) in kartesische Koordinaten lauten:

 ,
  und
 .

Die Funktionaldeterminante lautet also:

 

Folglich ergibt sich für das Volumenelement  :

 

Manchmal ist es praktischer, mit folgender Konvention zu arbeiten:

 ,
  und
 .

Die Funktionaldeterminante lautet somit:

 

Also ergibt sich für das Volumenelement  :

 

ZylinderkoordinatenBearbeiten

Die Umrechnungsformeln von Zylinderkoordinaten ( ,  ,  ) in kartesische Koordinaten lauten:

 

Die Funktionaldeterminante lautet also:

 

Folglich ergibt sich für das Volumenelement  :

 

Genauso gut hätte man eine andere Reihenfolge der Zylinderkoordinaten wählen können. Die Funktionaldeterminante lautet dann beispielsweise:

 

In das Transformationsgesetz geht jedoch immer nur der Betrag der Determinante ein, also ist das Ergebnis dann unabhängig von der gewählten Reihenfolge der Variablen, nach denen abgeleitet wird.

LiteraturBearbeiten

  • Herbert Federer: Geometric measure theory. 1. Auflage. Springer, Berlin 1996, ISBN 3-540-60656-4 (englisch). (Für die Definition)
  • Wolfgang Nolting: Klassische Mechanik. In: Grundkurs theoretische Physik. 8. Auflage. Band 1. Springer, Berlin 2006, ISBN 978-3-540-34832-0. (Für die Beispiele und den Spezialfall des  )