Gramsche Determinante

mathematischer Begriff

Man kann in der Matrizenrechnung nur Determinanten von quadratischen Matrizen als Maß für die Volumenänderung ihrer Abbildung definieren. Für nichtquadratische Matrizen gibt es Minoren und Gramsche Determinanten (nach Jørgen Pedersen Gram), die Ähnliches leisten.

DefinitionBearbeiten

Für alle Matrizen   mit   nennt man   die Gramsche Determinante. Es gilt:   ist für   nie negativ und genau dann  , wenn  , also wenn die Spalten von   linear abhängig sind. Man kann die Gramsche Determinante auch nach dem Satz von Binet-Cauchy als Summe über das Quadrat aller maximalen Minoren schreiben.

Gramsche MatrixBearbeiten

Für   sind die Einträge der Matrix   die kanonischen Skalarprodukte der Spalten von  . Hierzu betrachtet man die folgende Verallgemeinerung:

Sei auf einem  -dimensionalen K-Vektorraum   mit der Basis   eine Bilinearform   definiert. Dann nennt man die Matrix

 

die zur Bilinearform   gehörige Gramsche Matrix, bzw. darstellende Matrix der Bilinearform. Letzte wird durch die Einträge der Gram-Matrix vollständig festgelegt. Die Bilinearform   ist genau dann ein Skalarprodukt, wenn   symmetrisch und positiv definit ist.

Ist   ein Skalarprodukt,   eine beliebige Menge von Vektoren aus  , so bezeichnet man   als die Gram-Matrix von  . Eine wichtige Anwendung in diesem Fall ist das Kriterium der linearen Unabhängigkeit: Die Vektoren sind genau dann linear unabhängig, wenn ihre Gramsche Determinante (Determinante der Gram-Matrix) nicht Null ist. Da die Gramsche Determinante in diesem Falle nichtnegativ ist, kann man aus ihr die Wurzel ziehen und durch

 

das  -dimensionale Volumen des durch   aufgespannten Spates erklären.

LiteraturBearbeiten