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Parallelepiped

Unter einem Parallelepiped (von griechisch επίπεδον epipedon „Fläche“; Synonyme: Spat, Parallelflach, Parallelotop) versteht man einen geometrischen Körper, der von sechs paarweise kongruenten (deckungsgleichen) in parallelen Ebenen liegenden Parallelogrammen begrenzt wird. Die Bezeichnung Spat rührt vom Kalkspat (Calcit, chemisch: CaCO3) her, dessen Kristalle die Form eines Parallelepipeds aufweisen.

Ein Parallelepiped hat zwölf Kanten, von denen je vier parallel verlaufen und untereinander gleich lang sind, und acht Ecken, in denen diese Kanten in maximal drei verschiedenen Winkeln zueinander zusammenlaufen. Stellt man diese drei an einem Eckpunkt zusammentreffende Kanten als Vektoren dar, so ergibt sich das Volumen des Parallelflachs aus dem Betrag des Spatproduktes (gemischtes Skalar- und Kreuzprodukt).

Inhaltsverzeichnis

VolumenBearbeiten

 
Parallelepiped von 3 Vektoren erzeugt

Das Volumen   ist das Produkt der Grundfläche   (Parallelogramm) und der Parallelepiped-Höhe  . Mit   (wobei   der Winkel zwischen   und   ist) und der Höhe   (  ist der Winkel zwischen   und der Normalen auf der Grundfläche) ergibt sich

 
 

Das gemischte Produkt nennt man Spatprodukt. Es kann als Determinante geschrieben werden. Für   ist das Volumen dann:

(V1)  

Eine nur von den geometrischen Eigenschaften (Kantenlängen, Winkel zwischen benachbarten Kanten) abhängige Formel für das Volumen ist:

(V2) 

Dabei sind   und   die Kantenlängen.

Der Nachweis von (V2) lässt sich mit den Eigenschaften einer Determinante und der geometrischen Deutung des Skalarprodukts führen. Es sei   die 3x3-Matrix, deren Spaltenvektoren die Vektoren   sind. Dann gilt

 
 

(Im letzten Schritt wurde   benutzt.)

OberflächeBearbeiten

Der Flächeninhalt der Oberfläche ergibt sich aus der Summe der einzelnen Parallelogrammflächen

 
 .

(Zu den Bezeichnungen: siehe vorigen Abschnitt.)

AnmerkungenBearbeiten

  • Quader (alle Winkel 90°) und Rhomboeder (alle Kanten gleich lang) sind Sonderformen des Parallelflachs. Der Würfel vereinigt beide Sonderformen in einer Figur.
  • Das Parallelepiped ist ein spezielles (schiefes) Prisma mit einem Parallelogramm als Grundfläche.
  • Jedes Parallelepiped ist ein Raumfüller, das heißt, der Raum lässt sich mit parallelverschobenen Exemplaren von P so überdecken, dass je zwei unter ihnen höchstens Randpunkte gemein haben.

Verallgemeinerung auf den n-dimensionalen Raum (n > 1)Bearbeiten

Die Verallgemeinerung des Parallelepipeds in den n-dimensionalen Raum heißt für   Parallelotop beziehungsweise n-Parallelotop. Das zweidimensionale Analogon des Parallelepipeds ist das Parallelogramm.

DefinitionBearbeiten

Ein n-Parallelotop P ist das Bild des Einheitswürfels E unter einer affinen Abbildung. Der Einheitswürfel   ist eine Menge von Punkten, deren Koordinaten einen Wert zwischen 0 und 1 annehmen, das heißt

 

Das Parallelotop P ist ein konvexes Polytop mit   Ecken. Für   sind seine m-dimensionalen Seiten selbst m-dimensionale Parallelotope.

VolumenBearbeiten

Eine affine Abbildung   kann man schreiben als  , wobei   die Abbildungsmatrix und   die Verschiebung ist. Das Volumen des Einheitswürfels ist Eins. Um das Volumen des Parallelotops   zu ermitteln, muss also untersucht werden, wie stark die affine Abbildung das Volumen verändert. Da ein Volumen unabhängig von einer Verschiebung ist, steckt dieser Wert allein in der Abbildungsmatrix. Indem man die Determinante dieser Matrix berechnet, erhält man auch den Faktor  , um den sich das Volumen ändert. Die Striche   bezeichnen hier den Betrag. Multipliziert man diesen Faktor mit dem Volumen des Einheitswürfels, so gilt trivialerweise  , daher gilt

 ,

wobei   die Abbildungsmatrix der affinen Abbildung ist, die das Parallelotop   definiert.

In höherdimensionalen Räumen befindliche ParallelotopeBearbeiten

Das Parallelotop kann über  ,   mit   auch in einen höherdimensionalen Raum eingebettet sein. Ohne Beschränkung der Allgemeinheit darf wieder   gesetzt werden. Die Matrix   ist für   nicht mehr quadratisch, womit die Berechnung über die Determinante unmöglich erscheint. Jedoch lässt sich eine allgemeine Formel finden, welche die Formel für quadratische Matrizen als Spezialfall enthält.

Das äußere Produkt   ist ein Vektorraum, welcher sich mit einem kanonischen Skalarprodukt ausstatten lässt, indem

 

für Blades definiert wird. Das Skalarprodukt von Multivektoren wird über die Bilinearität auf das von Blades zurückgeführt.

Wie bei jedem Skalarprodukt ist durch

 

eine Norm gegeben.

Das Volumen des von den Vektoren   aufgespannten Parallelotops ist gerade die Norm des Blades, d. h.

 

Gilt nun  , wobei   die kanonische Basis ist, dann ergibt sich

 

Man bezeichnet   als gramsche Determinante zur Matrix  .

Hiermit lässt sich auch eine geometrische Überlegung zur linearen Abhängigkeit von   machen. Die Vektoren sind genau dann linear abhängig, wenn das Parallelotop flach zusammenfällt, wenn also   gilt. Man stellt sich dazu am einfachsten zunächst den Fall   und   vor, bei dem ein Parallelogramm zu einer Strecke zusammenfällt.

Die lineare Abbildung   ist also genau dann injektiv, wenn ihre gramsche Determinante nicht verschwindet, d. h. wenn   gilt. Nach der Äquivalenz von   und   ist die Abbildung auch genau dann injektiv, wenn das äußere Produkt der Spaltenvektoren von   nicht verschwindet, d. h.

 

LiteraturBearbeiten

WeblinksBearbeiten

  Commons: Parallelepipeds – Sammlung von Bildern, Videos und Audiodateien
  Wiktionary: Parallelepiped – Bedeutungserklärungen, Wortherkunft, Synonyme, Übersetzungen