Parallelepiped

geometrischer Körper

Ein Parallelepiped ist ein geometrischer Körper, der von 6 Parallelogrammen begrenzt wird, von denen je 2 gegenüber liegende kongruent (deckungsgleich) sind und in parallelen Ebenen liegen. Es wird auch Spat genannt.

Ein Parallelepiped

Ein Parallelepiped hat 12 Kanten, von denen je 4 parallel verlaufen und untereinander gleich lang sind, und 8 Ecken, in denen diese Kanten in maximal 3 verschiedenen Winkeln zueinander zusammenlaufen.

Quader, bei denen alle Winkel gleich 90° sind, und Rhomboeder, bei denen alle Kanten gleich lang und 3 Innenwinkel gleich sind, sind Spezialfälle des Parallelepipeds. Der Würfel vereinigt beide Spezialfälle in einer Figur. Das Parallelepiped ist ein spezielles Prisma mit einem Parallelogramm als Grundfläche.

FormelnBearbeiten

Größen eines Parallelepipeds mit den Kantenlängen a, b, c und den Innenwinkeln  ,  ,  
Volumen    
Oberflächeninhalt  
Höhen  
 
 
Raumdiagonalen[1]  
 
 
 
Flächendiagonalen  
 
 
 
 
 
Winkel zwischen

benachbarten Flächen

 
 
 
Raumwinkel in den Ecken  
 
 
 

VolumenBearbeiten

 
Ein Parallelepiped wird von 3 Vektoren erzeugt.

Stellt man diese 3 an einer Ecke zusammentreffende Kanten als Vektoren   dar, so ergibt sich das Volumen des Parallelepipeds aus dem Betrag des Spatproduktes (gemischtes Skalarprodukt und Kreuzprodukt). Das Volumen   ist das Produkt der Grundfläche   (Parallelogramm) und der Höhe   des Parallelepipeds. Mit  , wobei   der Winkel zwischen   und   ist, und der Höhe  , wobei   der Winkel zwischen   und dem Normalenvektor auf der Grundfläche ist, ergibt sich

 

Das gemischte Produkt nennt man Spatprodukt. Es kann als Determinante geschrieben werden. Für   ist das Volumen dann:

 

Eine nur von den geometrischen Eigenschaften (Kantenlängen, Winkel zwischen benachbarten Kanten) abhängige Formel für das Volumen ist:

 

Dabei sind   die Winkel zwischen den Kanten und   die Kantenlängen.

Der Nachweis dieser Formel lässt sich mit den Eigenschaften einer Determinante und der geometrischen Deutung des Skalarprodukts führen. Es sei   die 3x3-Matrix, deren Spaltenvektoren die Vektoren   sind. Dann gilt

 

Im letzten Schritt wurden die Gleichungen   benutzt.

OberflächeBearbeiten

 
Körpernetz eines Parallelepipeds

Der Flächeninhalt der Oberfläche ergibt sich aus der Summe der Flächeninhalte der einzelnen Seitenflächen, den 6 Parallelogrammen:

 .

FlächenwinkelBearbeiten

In der Ecke, in der die Vektoren   zusammentreffen, liegen die Innenwinkel  . Diese Ecke bildet zusammen mit den 3 benachbarten Ecken ein Tetraeder. Betrachtet man die Umkugel dieses Tetraeders, dann gilt nach dem Kosinussatz für Kugeldreiecke die Gleichung

 

Dabei ist   der Flächenwinkel zwischen den beiden Seitenflächen, die am Vektor   liegen.

Daraus folgt

 

Die Flächenwinkel   und   ergeben sich entsprechend.

RaumwinkelBearbeiten

Der Raumwinkel in der Ecke eines Polyeders kann mit dem Satz von L'Huilier berechnet werden.[2]

Für den Raumwinkel, der in der Ecke mit den Innenwinkeln   liegt, gilt

 

wobei  ,  ,   und   ist.

Zwei diagonal gegenüber liegende Raumwinkel in Ecken des Parallelepipeds sind jeweils gleich, weil die 3 anliegenden Innenwinkel gleich sind. Die anderen drei Raumwinkel ergeben sich für

  •  
  •  
  •  

Raumfüllung mit ParallelepipedenBearbeiten

Der dreidimensionale euklidische Raum kann lückenlos mit kongruenten Parallelepipeden ausgefüllt werden kann. Solche dreidimensionalen Parkettierungen werden Raumfüllung genannt.

Diese Raumfüllung aus Parallelepipeden bildet ein Gitter. Dieses Gitter enthält parallele Ebenen. Die im Gitter benachbarten Raumwinkel   und   entsprechen zusammen dem Flächenwinkel  . Der volle Flächenwinkel beträgt   und der volle Raumwinkel beträgt  . Daher gilt  . Entsprechend gilt   und  .

In den Gitterpunkten treffen 8 Raumwinkel zusammen und bilden einen vollen Raumwinkel, wobei 2 diagonal gegenüber liegende Raumwinkel jeweils gleich sind. Es gilt also  .

VerallgemeinerungBearbeiten

Das Parallelotop beziehungsweise n-Parallelotop ist eine Verallgemeinerung des Parallelepipeds im n-dimensionalen Raum. Das zweidimensionale Parallelotop ist das Parallelogramm.

Ein n-Parallelotop ist das Bild des Einheitswürfels unter einer affinen Abbildung. Der Einheitswürfel   ist eine Menge von Punkten, deren Koordinaten einen Wert zwischen 0 und 1 annehmen, das heißt

 

Das Parallelotop ist ein konvexes Polytop mit   Ecken. Für   sind seine m-dimensionalen Seiten selbst m-dimensionale Parallelotope.

LiteraturBearbeiten

Siehe auchBearbeiten

WeblinksBearbeiten

Commons: Parallelepipeds – Sammlung von Bildern, Videos und Audiodateien
Wiktionary: Parallelepiped – Bedeutungserklärungen, Wortherkunft, Synonyme, Übersetzungen

EinzelnachweiseBearbeiten

  1. Stack Exchange: Formula for length of the diagonal of a parallelepiped
  2. Wolfram MathWorld: Spherical Excess