Tetraeder

konvexes Polyeder mit vier Flächen
Regelmäßiges Tetraeder, ein Platonischer Körper
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Art der Seitenflächen gleichseitige Dreiecke
Anzahl der Flächen 4
Anzahl der Ecken 4
Anzahl der Kanten 6
Schläfli-Symbol {3,3}
dual zu Tetraeder
Körpernetz
im Bild eins von zwei möglichen Netzen
Tetrahedron flat.svg
Anzahl verschiedener Netze 2
Anzahl Kanten in einer Ecke 3
Anzahl Ecken einer Fläche 3

Das (auch, vor allem süddeutsch, der) Tetraeder [tetraˈeːdər] (von altgriechisch τετρα- tetra- „vier“ und ἕδρα hédra „Sitz“, „Sessel“, „Gesäß“ bzw. übertragen „Seitenfläche“), auch Vierflächner oder Vierflach, ist ein Körper mit vier dreieckigen Seitenflächen. Es ist das einzige konvexe Polyeder (Vielflach, Vielflächner) mit vier Flächen.

Das Wort wird jedoch nur selten in dieser allgemeinen Bedeutung gebraucht. Meist ist mit Tetraeder das regelmäßige Tetraeder mit gleichseitigen Dreiecken als Seitenflächen, das ein platonischen Körper ist, gemeint.

Das allgemeine Tetraeder wird je nach Symmetrie als dreiseitige Pyramide, Dreieckpyramide,[1] Disphenoid oder dreidimensionales Simplex bezeichnet.

Regelmäßiges TetraederBearbeiten

Das regelmäßige Tetraeder (reguläre Tetraeder) ist einer der fünf platonischen Körper, genauer ein Polyeder mit

Das regelmäßige Tetraeder ist auch eine gleichseitige dreiseitige Pyramide mit einem gleichseitigen Dreieck als Grundfläche.

SymmetrieBearbeiten

Wegen seiner hohen Symmetrie – alle Ecken, Kanten und Flächen sind untereinander gleichartig – ist das regelmäßige Tetraeder ein reguläres Polyeder. Es hat

Insgesamt hat die Symmetriegruppe des Tetraeders – die Tetraedergruppe – 24 Elemente. Sie ist die symmetrische Gruppe S4 (die Punktgruppe Td nach Schoenflies bzw. 43m nach Hermann-Mauguin) und bewirkt alle 4! = 24 Permutationen der Ecken bzw. der Seitenflächen. Sie ist eine Untergruppe der Oktaedergruppe oder Würfelgruppe.

Im Einzelnen gehören zur Tetraedergruppe

sowie

  • 12 ungerade Permutationen. Diese erhält man, indem man nach jeder der 12 geraden Permutationen noch die Spiegelung an einer festen Symmetrieebene durchführt. 6 davon lassen sich auch als eine reine Ebenenspiegelung beschreiben, die anderen sechs als Drehspiegelungen von Drehung um 90° um eine Achse, die durch die Mittelpunkte zweier gegenüberliegender Kanten verläuft, und Spiegelung an der zu dieser Achse senkrechten Ebene, die den Mittelpunkt zwischen den beiden gegenüberliegenden Kanten beinhaltet.

Die geraden Permutationen bilden eine Untergruppe der Tetraedergruppe, die so genannte alternierende Gruppe   (die Punktgruppe T bzw. 23). Manchmal wird der Begriff Tetraedergruppe auch nur für diese unter Ausschluss der Spiegelungen verwendet.

Das Tetraeder ist der einzige platonische Körper, der nicht punktsymmetrisch ist und bei dem jede Ecke einer Fläche gegenüberliegt.

Weitere EigenschaftenBearbeiten

Verhältnis zu Oktaeder, Würfel, archimedischen KörpernBearbeiten

 
Tetraeder mit dualem einbeschriebenen Tetraeder. Die Mittelpunkte der gleichseitigen Dreiecke des äußeren Tetraeders sind die Ecken des inneren Tetraeders.

Durch Verbinden der Flächenmittelpunkte erhält man wieder ein Tetraeder (siehe Abbildung). Man sagt deshalb: Das Tetraeder ist zu sich selbst dual, kurz: selbst-dual. Die Seitenlänge des einbeschriebenen Tetraeders beträgt ein Drittel der ursprünglichen Seitenlänge.

Mit Hilfe dieser beiden Tetraeder können Körper konstruiert werden, die ebenfalls die Tetraedergruppe als Symmetriegruppe haben. So erhält man zum Beispiel

Siehe dazu auch das Beispiel weiter unten.

Umgebender WürfelBearbeiten

 
Zwei Tetraeder im Würfel haben als dreidimensionale Schnittmenge ein Oktaeder und als Vereinigungsmenge ein Sterntetraeder.

Das Tetraeder kann in einen Würfel (Hexaeder) so einbeschrieben werden, dass seine Ecken zugleich Würfelecken und seine Kanten Diagonalen der Würfelflächen sind (siehe Abbildung). Das Volumen dieses Würfels ist das Dreifache des Tetraedervolumens. Die 8 Ecken des Würfels bilden zwei disjunkte Mengen von je vier Ecken, die den beiden möglichen Lagen des Tetraeders entsprechen.

Dual dazu kann das Tetraeder einem Würfel so umbeschrieben werden, dass vier der Würfelflächen in den Seitenflächen des Tetraeders liegen und die sechs Ecken des Würfels die Mittelpunkte der sechs Tetraederkanten sind. Die 8 Flächen des Würfels bilden zwei disjunkte Mengen, die den beiden Lagen für das dem Würfel umbeschriebene Tetraeder entsprechen.

WinkelBearbeiten

 
Aufriss eines Tetraeders

Der Flächenwinkel zwischen zwei Seitenflächen des regelmäßigen Tetraeders   beträgt 70,53° ( ).

Jede Kante bildet mit der gegenüberliegenden Fläche einen Winkel   von 54,74° ( ).

Die Verbindungsstrecken zwischen dem Tetraedermittelpunkt und zwei Ecken schließen jeweils einen Winkel von    = 109,47° ( ) ein.

Dieser wird als Tetraederwinkel bezeichnet, und er spielt eine wichtige Rolle in der Chemie, beispielsweise bei der Geometrie des Methan-Moleküls.

Die Größen der angegebenen Winkel lassen sich durch Anwendung trigonometrischer Funktionen ermitteln (siehe stumpfer Winkel). Man betrachtet dazu die Schnittfigur des Tetraeders (siehe Abbildung) mit einer seiner sechs Symmetrieebenen.

QuerschnittBearbeiten

 
Quadratischer Querschnitt durch einen Tetraeder

Das regelmäßige Tetraeder kann so in zwei Teile geschnitten werden, dass die Schnittfläche ein Quadrat ist. Die entstehenden Teile des Tetraeders sind kongruent zueinander.

Liegt die Schnittebene durch ein regelmäßiges Tetraeder parallel zu einer der vier Seitenflächen, dann ergibt der Querschnitt ein gleichseitiges Dreieck.

Liegt die Schnittebene durch ein regelmäßiges Tetraeder parallel zu zwei gegenüberliegenden Kanten, dann ergibt der Querschnitt ein Rechteck. Hat die Schnittebene zusätzlich noch von diesen beiden Kanten den gleichen Abstand, also teilt sie die übrigen vier Kanten genau zur Hälfte, dann ist das Schnittbild ein Quadrat. Das Quadrat hat eine Kantenlänge, die genau halb so lang ist wie die Länge einer Kante des Tetraeders.

BeispielBearbeiten

Die Einbettung des Tetraeders in einen Würfel bietet eine einfache Möglichkeit, ein regelmäßiges Tetraeder zu konstruieren. Bezeichnen wir die Eckpunkte des Würfels an der Basis mit   und   sowie die darüberliegenden Eckpunkte mit   und  , so bilden   und   sowie   und   jeweils die Ecken eines Tetraeders. Betrachtet man z. B. in einem räumlichen kartesischen Koordinatensystem den Würfel, dessen Ecken die Koordinaten   und   haben, so erhält man für das erste Tetraeder die Ecken

  •   und  .

Die Kanten sind:   und  . Die Seitenflächen sind die Dreiecke   und  .

Das zweite Tetraeder hat die Ecken

  •   und  .

Die dreidimensionale Schnittmenge dieser beiden Tetraeder ist das von den Punkten   und   bestimmte Oktaeder. Ihre Vereinigungsmenge ist das Sterntetraeder. Seine konvexe Hülle ist daher der Würfel.

FormelnBearbeiten

Größen eines regulären Tetraeders mit Kantenlänge a
Volumen
 ≈ 0,12 a3
 
Oberflächeninhalt
 ≈ 1,73 a2
 
Umkugelradius
 ≈ 0,61 a
 
Kantenkugelradius
 ≈ 0,35 a
 
Inkugelradius
 ≈ 0,2 a
 
Pyramidenhöhe
 ≈ 0,82 a
 
Kantenabstand
 ≈ 0,707 a
 
Verhältnis von Volumen
 zu Umkugelvolumen
 
Flächenwinkel
 ≈ 70° 31′ 44″ ≈ 1,2310
 
 
Flächen-Kanten-Winkel
 ≈ 54° 44′ 8″ ≈ 0,9553
 
 
Eckenraumwinkel
 ≈ 0,1755 π ≈ 0,5513
 
 
Tetraederwinkel
 ≈ 109° 28′ 16″ ≈ 1,9106
 
 

Netze des regelmäßigen TetraedersBearbeiten

 
Animation eines Tetraedernetzes

Das Tetraeder hat zwei Netze (siehe Abbildungen). Das heißt, es gibt zwei verschiedene Möglichkeiten, ein hohles Tetraeder durch Aufschneiden von 3 Kanten aufzuklappen und in der Ebene auszubreiten. Die anderen 3 Kanten verbinden jeweils die 4 gleichseitigen Dreiecke des Netzes. Um ein Tetraeder so zu färben, dass keine benachbarten Flächen dieselbe Farbe haben, braucht man vier Farben.

Raumfüllungen mit regelmäßigen TetraedernBearbeiten

Der dreidimensionale euklidische Raum kann lückenlos mit platonischen Körpern oder archimedischen Körpern gleicher Kantenlänge ausgefüllt werden kann. Solche dreidimensionalen Parkettierungen werden Raumfüllung genannt. Die folgenden Raumfüllungen enthalten Tetraeder:

AnwendungenBearbeiten

Obwohl das Tetraeder nicht Stein einer Parkettierung des Raumes ist, tritt es im kubischen Kristallsystem auf (siehe oben).

 
Molekül mit Tetraederwinkel

In der Chemie spielt das Tetraeder bei der räumlichen Anordnung von Atomen in Verbindungen eine große Rolle. Einfache Molekülgestalten lassen sich mit dem VSEPR-Modell vorhersagen. So sind die vier Wasserstoffatome im Methanmolekül tetraedrisch um das Kohlenstoffatom angeordnet, da so der Bindungswinkel am größten wird. Auch die Kohlenstoffatome im Diamantgitter sind tetraedrisch angeordnet, jedes Atom ist von vier weiteren Atomen umgeben. Das Kohlenstoff-Atom befindet sich dann nach dem Orbital-Modell in sp3-Hybridisierung.

Das Tetraeder war auch für den Tetra Pak wegen dessen ursprünglicher Form namensgebend.

Alexander Graham Bell hat mit vielzelligen Kastendrachen (Flugdrachen) experimentiert, deren Einzelzellen die Form eines Tetraeders haben. Diese meist imposanten Drachen werden als „Bell-Tetraeder“ bezeichnet. Meistens werden 4 oder 10 oder 20 Einzelzellen zu einem Verbund zusammengefügt, welcher dann auch wieder die Form eines Tetraeders hat. Es sind aber auch andere Verbundformen möglich.

In vielen Pen-&-Paper-Rollenspielen werden Tetraeder als vierseitige Spielwürfel (W4) verwendet.

Weitere technische Anwendungen lehnen sich an die Struktur an, die sich durch die vom Tetraederzentrum in die vier Raumecken weisenden Strecken ergibt:

  • Tetrapoden, die an Küsten als Wellenbrecher eingesetzt werden
  • sog. Krähenfüße, eine Defensivwaffe, die von Polizei und Militär gegen Autos eingesetzt wird, um deren Reifen platzen zu lassen.

Allgemeines TetraederBearbeiten

Ein Tetraeder im allgemeinen Sinn, also ein Körper mit vier Seitenflächen, ist immer eine dreiseitige Pyramide, also mit einem Dreieck als Grundfläche und drei Dreiecken als Seitenflächen, und hat daher auch vier Ecken sowie sechs Kanten. Da er die für einen Körper im Raum kleinste mögliche Zahl von Ecken und Seiten hat, wird er in der Fachsprache dreidimensionales Simplex oder 3-Simplex genannt. Die zweidimensionalen Simplizes sind die Dreiecke.

Im   kann ein Tetraeder auch durch einen Punkt und den drei Vektoren zu den angrenzenden Punkten beschrieben werden. Bezeichnet man diese Vektoren mit  , so berechnet sich das Volumen des Tetraeders mit  , also   des Betrags des Spatproduktes.

Berechnung eines beliebigen TetraedersBearbeiten

Ein Tetraeder besitzt 6 Kanten. Ein Dreieck ist durch die Angabe dreier Seitenlängen bestimmt. Jede weitere Kante kann in gewissen Grenzen frei gewählt werden. Liegen also 6 voneinander unabhängige Angaben zur Größe von Kanten oder Winkeln vor, kann man daraus die jeweils fehlenden übrigen Kanten oder Winkel berechnen.

VolumenBearbeiten

Die Volumenformel des allgemeinen Tetraeders wurde von Leonhard Euler angegeben.[2][3] Mit dieser Formel kann das Volumen des allgemeinen Tetraeders mit Hilfe der 6 Kantenlängen des Tetraeders berechnet werden.[4] Der Volumenformel des allgemeinen Tetraeders liegt also die gleiche Aufgabenstellung für Tetraeder zugrunde wie für Dreiecke der Formel von Heron.

Sind   die Kantenlängen der dreieckigen Grundfläche des Tetraeders und   die Längen der im Raum gegenüberliegenden Kanten, dann gilt für das Volumen   des Tetraeders:

 

mit

 
 
 
 

Zur Berechnung des Volumens können auch die folgenden Gleichungen verwenden, die auf Determinanten symmetrischer Matrizen beruhen:[5][6][7]

 

Die erste Determinante wird Cayley–Menger-Determinante genannt und dient dazu, den Flächeninhalt von beliebigen Dreiecken (siehe Satz des Heron), das Volumen von beliebigen Tetraedern und allgemein das Volumen eines beliebigen Simplex im  -dimensionalen Raum zu berechnen.

OberflächeninhaltBearbeiten

Der Flächeninhalt eines Dreiecks mit gegebenen Seitenlängen kann einzeln berechnet werden. Die Summe der Flächeninhalte der 4 Dreiecke ergibt den Oberflächeninhalt des Tetraeders. Für den Flächeninhalt der dreieckigen Grundfläche mit den Seitenlängen   zum Beispiel gilt nach dem Satz des Heron:

 

HöhenBearbeiten

Weil jedes Tetrader eine Pyramide ist, gilt für das Volumen  , den Flächeninhalt   der Grundfläche und die entsprechende Höhe   folgende Gleichung:

 
 

Das Volumen   und der Flächeninhalt   können mit den oben genannten Formeln berechnet und dann eingesetzt werden, um die Höhe zu bestimmen. Die anderen drei Höhen können entsprechend mit Hilfe der Fläche des zur Höhe orthogonalen Dreiecks berechnet werden.

Innenwinkel der DreieckeBearbeiten

Die Innenwinkel der Dreiecke bestimmt man mit dem Kosinussatz. Für den Innenwinkel   der Grundfläche, der der Seite   gegenüberliegt, gilt zum Beispiel

 

Flächenwinkel der KantenBearbeiten

Der Flächenwinkel an der Kante   beträgt

 

Dabei ist   das Volumen des Tetraeders und   und   die Flächeninhalte der zur Kante benachbarten Dreiecke.

Raumwinkel in den EckenBearbeiten

Für die Berechnung der Raumwinkel in den Ecken des Tetraeders werden die Innenwinkel   der drei benachbarten Dreiecke verwendet:

 

mit

 

VerallgemeinerungBearbeiten

Die Analoga des Tetraeders in beliebiger Dimension   werden als ( -dimensionale) Simplizes bezeichnet. Das  -dimensionale Simplex hat   Ecken und wird von   Simplizes der Dimension   (als Facetten) begrenzt. Ein nulldimensionales Simplex ist ein Punkt, ein eindimensionales Simplex ist eine Strecke, ein zweidimensionales Simplex ist ein Dreieck. Das vierdimensionale Äquivalent zum Tetraeder, das Pentachoron, hat 5 Ecken, 10 Kanten, 10 Dreiecke als Seitenflächen und 5 dreidimensionale Tetraeder als Facetten.

Die Koordinaten eines regulären  -Simplex können als Menge im  -dimensionalen eukidischen Raum definiert werden:

 

Beispielsweise für   ergibt sich hier ein gleichseitiges Dreieck, das von den Punkten   im dreidimensionalen Raum aufgespannt wird.

Siehe auchBearbeiten

LiteraturBearbeiten

WeblinksBearbeiten

Commons: Tetraeder – Sammlung von Bildern, Videos und Audiodateien
Wiktionary: Tetraeder – Bedeutungserklärungen, Wortherkunft, Synonyme, Übersetzungen

EinzelnachweiseBearbeiten

  1. Kurt Peter Müller: Raumgeometrie: Raumphänomene – Konstruieren – Berechnen. 2., überarbeitete und erweiterte Auflage. Vieweg+Teubner, 2004, ISBN 978-3-519-12397-2, S. 81.
  2. Maximilian Miller: Stereometrie. 1957, S. 41
  3. Der Titel der Abhandlung E 231 lautet auf Deutsch etwa wie folgt: Darlegung einiger kennzeichnender Eigenschaften, mit denen von ebenen Flächen eingeschlossene Körper ausgestattet sind. In dieser Abhandlung gibt Euler den ersten Beweis der Polyederformel an, welche er schon in einer früheren Abhandlung (E 230, abgedruckt unter Elementa doctrinae solidorum, Novi commentarii academiae scientiarum Petropolitanae 4, S. 109–140; vgl. Einleitung zu den Commentationes geometricae) erwähnt, aber noch nicht bewiesen hatte.
  4. Andreas Speiser et al.: Leonhardi Euleri Opera omnia. Series prima. Opera mathematica. Volumen XXVI: Commentationes geometricae. Volumen I. 1953, S. 106–107
  5. I. N. Bronstein, K. A. Semendjajev et al.: Taschenbuch der Mathematik. 2008, S. 157
  6. György Hajós: Einführung in die Geometrie. 1970, S. 383
  7. Alexander Ostermann, Gerhard Wanner: Geometry by Its History. 2012, S. 297