Baum (Graphentheorie)

Graph, mit dem sich eine Monohierarchie modellieren lässt

Ein Baum ist in der Graphentheorie ein spezieller Typ von Graph, der zusammenhängend ist und keine geschlossenen Pfade enthält, d. h. damit lässt sich eine Monohierarchie modellieren. Je nachdem, ob die Kanten des Baums eine ausgezeichnete und einheitliche Richtung besitzen, lassen sich graphentheoretische Bäume unterteilen in ungerichtete Bäume und gewurzelte Bäume, und für gewurzelte Bäume in Out-Trees, bei denen die Kanten von der Wurzel ausgehen, und In-Trees, bei denen Kanten in Richtung Wurzel zeigen.

Ein Baum ist ein Wald mit genau einer Zusammenhangskomponente.[1]

Darstellung aller Bäume[Anm. 1] mit einer, zwei oder drei Kanten bei der ersten mathematischen Modellierung von Bäumen durch Arthur Cayley (1857)

DefinitionenBearbeiten

 
Ungerichteter Baum mit vier inneren Knoten (schwarz) und fünf Blättern (weiß)

Ein Baum ist ein zusammenhängender kreisfreier ungerichteter Graph. Die Knoten mit Grad 1 heißen Blätter, die übrigen Knoten heißen innere Knoten.

 
Gewurzelter Baum (hier: Out-Tree) mit einer Wurzel (umrandet), vier inneren Knoten (schwarz) und fünf Blättern (weiß)

Ein gerichteter Baum ist ein gerichteter Graph, der ein ungerichteter Baum ist, wenn man die Richtungen der Kanten ignoriert. Er ist also ein gerichteter schwach zusammenhängender kreisfreier Graph. Bei vielen Autoren müssen die Richtungen einheitlich von einem Knoten weg oder auf einen Knoten zu orientiert sein. Dafür gibt es aber auch den schärferen Begriff des gewurzelten Baums.

Ein gewurzelter Baum ist ein gerichteter von einem Knoten   aus stark zusammenhängender kreisfreier Graph. Der den starken Zusammenhang definierende Knoten   wird Wurzel genannt. Er hat Eingangsgrad 0 und ist der einzige Knoten mit dieser Eigenschaft. Alle Knoten mit Ausgangsgrad 0 heißen Blätter. Alle Knoten mit positivem Ausgangsgrad heißen innere Knoten. So geht die Definition eines Out-Trees.

Werden die Richtungen aller Kanten eines solchen Graphen invertiert, so wird er zu einem In-Tree. Dieser wird ebenfalls als gewurzelter Baum angesehen.

Man kann jeden ungerichteten Baum an einem beliebigen Knoten   fassen und „schütteln“ – die Schwerkraft gibt allen Kanten eine definierte Richtung von   weg, die aus dem ursprünglich ungerichteten Baum einen gewurzelten machen mit   als Wurzel.

Den   Kanten eines ungerichteten Baums kann man   verschiedene Richtungen geben und so   gerichtete Bäume ableiten. Genau   davon sind Out-Trees und ebenso viele sind In-Trees. Entfernt man umgekehrt bei einem gerichteten Baum die Orientierung der Kanten, so erhält man einen ungerichteten Baum.

EigenschaftenBearbeiten

Ein endlicher Graph   mit   Knoten und   Kanten kann durch folgende äquivalente Aussagen als Baum definiert werden:

  • Zwischen je zwei Knoten von   gibt es genau einen Pfad.
  •   ist zusammenhängend und enthält keinen Kreis
  •   ist leer oder   ist zusammenhängend und es gilt  .
  •   ist leer oder   enthält keinen Kreis und es gilt  .
  •   ist minimal zusammenhängend, das heißt   ist zusammenhängend, aber nicht mehr zusammenhängend, sobald man eine beliebige Kante daraus entfernt.
  •   ist maximal azyklisch, das heißt   ist kreisfrei, aber jede weitere Kante zwischen zwei beliebigen Knoten erzeugt einen Kreis.

Im Falle unendlicher Graphen müssen hier die dritte und vierte Bedingung aus der Äquivalenz ausgenommen werden.

BeweiseBearbeiten

  • Zwischen je zwei Knoten von   gibt es genau einen Pfad.

Zwischen je zwei Knoten von   gibt es mindestens einen Pfad, weil jeder Baum zusammenhängend ist. Gäbe es zwei Knoten von   mit mindestens zwei Pfaden, dann gäbe es zwei Knoten   und   auf diesen Pfaden, deren Pfade keinen gemeinsamen inneren Knoten haben (disjunkte Wege), zum Beispiel   und  . Dann wäre   ein Kreis von   im Widerspruch zur Annahme, dass   ein Baum ist.

  •   ist leer oder   ist zusammenhängend und es gilt  .

Dies lässt sich mit vollständiger Induktion zeigen. Für  , also einen leeren Graphen mit einem einzelnen Knoten und ohne Kanten, gilt  . Nach Induktionsvoraussetzung nehmen wir an, dass die Gleichung   für jeden Baum mit   Knoten gilt. Ist   ein Graph mit   Knoten und   die Knoten eines längsten Pfades von  . Alle Nachbarn von   liegen auf diesem Pfad, sonst wäre er nicht der längste Pfad.   ist der einzige Nachbar von  , denn sonst würde   einen Kreis enthalten. Entfernen wir   und die Kante   aus  , dann erhalten wir einen zusammenhängenden Graphen, denn   ist der einzige Nachbar von  . Der entstandene Graph hat genau einen Knoten und eine Kante weniger als  , also   Knoten. Nach Induktionsvoraussetzung gilt  , also hat der entstandene Graph   Kanten. Daraus folgt, dass der Graph   genau   Knoten und   Kanten hat.

  •   ist minimal zusammenhängend, das heißt   ist zusammenhängend, aber nicht mehr zusammenhängend, sobald man eine beliebige Kante daraus entfernt.

Wäre   nach Entfernen der Kante   immer noch zusammenhängend, dann würde der entstandene Graph einen Pfad   von   nach   enthalten und   wäre ein Kreis von  .

  •   ist maximal azyklisch, das heißt   ist kreisfrei, aber jede weitere Kante zwischen zwei beliebigen Knoten erzeugt einen Kreis.

Wäre   nach Hinzufügen der Kante   immer noch kreisfrei, dann würde   keinen Pfad von   nach   enthalten und wäre nicht zusammenhängend im Widerspruch zur Annahme, dass   ein Baum ist.

Weitere EigenschaftenBearbeiten

  • Durch Entfernen einer Kante zerfällt ein Baum in zwei Teilbäume und bildet damit einen Wald mit zwei Komponenten.
  • Entfernt man einen Knoten zusammen mit den anliegenden Kanten, zerfällt ein Baum in einen Wald aus   Bäumen, mit   als Grad des entfernten Knotens[2]. Entfernt man von einem Baum ein Blatt ( ), so ist der Rest immer noch ein Baum.[1]
  • Durch Hinzufügen einer Kante zwischen zwei vorhandenen Knoten entsteht im ungerichteten Baum ein Kreis.[3]

Spezielle BäumeBearbeiten

Es existiert eine Vielzahl von Begriffen, die Bäume näher spezifizieren. So gibt es zum Beispiel

  • den leeren Graphen. Dieser enthält keine Knoten und Kanten.
  • den isolierten Knoten ohne Kanten
  • lineare Graphen  . Die inneren Knoten haben jeweils genau zwei Nachbarn.
  • Sterngraphen   oder  . Diese enthalten einen inneren Knoten und   Blätter.
  • Raupenbäume. Alle Blätter haben einen maximalen Abstand von 1 zu einem zentralen Pfad.
  • Bäume mit konstantem Verzweigungsfaktor, also Grad der inneren Knoten (Bereichsbaum):
  • Binomial-Bäume haben einen variablen, aber festgelegten Verzweigungsfaktor. Ein Binomial-Baum der Ordnung k besitzt eine Wurzel mit Grad k, deren Kinder genau die Ordnung   besitzen.
  • Bäume können nach ihrer Höhe, dem Gewicht der Knoten oder der Anordnung der Wurzel balanciert sein.
  • Binärbaum mit Knotentypen

  • balancierter Binärbaum

  • Binomial-Heap mit 13 Elementen. Die Schlüssel der Väter sind höchstens so groß wie die Schlüssel ihrer Kinder.

  • Raupenbaum (caterpillar tree)

  • Die Sterngraphen  ,  ,   und  

Zeichnen von BäumenBearbeiten

Die grafische Ausgabe eines Baums ist ein nicht triviales Problem. Allgemein gilt, dass jeder Baum planar, das heißt ohne Überschneidungen der Kanten gezeichnet werden kann. Je nach Anwendungszweck gibt es weitere Wünsche an die Art der Ausgabe:

  • alle Kanten sind gerade Linien
  • alle Knoten haben ganzzahlige Koordinaten
  • möglichst kleiner Platzbedarf bei möglichst ästhetischem Ergebnis
  • alle Kanten vom Elternelement zum Kind streng monoton fallend

Es gibt verschiedene Algorithmen, deren Ergebnisse recht verschieden aussehen. Meist lösen sie nur einige, aber nicht alle Wünsche an die Ausgabe. Bekannte Algorithmen sind die HV-Bäume und der Algorithmus von Walker.

KombinatorikBearbeiten

Es gibt   verschiedene bezeichnete Bäume mit   Knoten. Diese Aussage ist als Cayley-Formel bekannt. Einen einfachen Beweis liefert der Prüfer-Code, der eine Bijektion zwischen allen möglichen Codes der Länge   und allen bezeichneten Bäumen auf   Knoten ermöglicht.

Wenn die Knoten nicht nummeriert sind, isomorphe Bäume (siehe Isomorphie von Graphen) also nicht mitgezählt werden, verhält sich diese Anzahl asymptotisch wie   mit   und  , wie Richard Otter im Jahr 1948 bewies.[4] Eine genaue mathematische Formel ist nicht bekannt.

Die folgende Tabelle zeigt die mit Hilfe eines Computers bestimmten Anzahlen für  :[5]

Anzahl der Bäume
n mit nummerierten Knoten ohne nummerierte Knoten
1 1 1
2 1 1
3 3 1
4 16 2
5 125 3
6 1.296 6
7 16.807 11
8 262.144 23
9 4.782.969 47
10 100.000.000 106
11 2.357.947.691 235
12 61.917.364.224 551

SpannbäumeBearbeiten

Jeder ungerichtete, zusammenhängende Graph enthält einen ihn aufspannenden Baum als Teilgraphen. Minimale Spannbäume haben eine möglichst kleine Anzahl von Kanten oder eine möglichst kleine Summe der Kantengewichte. Die Berechnung minimaler Spannbäume findet direkte Anwendung in der Praxis, beispielsweise für die Erstellung von kostengünstigen zusammenhängenden Netzwerken, wie beispielsweise Telefonnetze oder elektrische Netze.

VerallgemeinerungenBearbeiten

WaldBearbeiten

Ein Wald ist ein ungerichteter Graph, dessen Zusammenhangskomponenten Bäume sind.

k-BaumBearbeiten

Ein ungerichteter Graph heißt  -Baum, wenn er wie folgt rekursiv erzeugbar ist:

  • Der vollständige Graph   ist ein  -Baum.
  • Fügt man zu einem  -Baum   einen neuen Knoten   hinzu, indem man   mit allen Knoten einer Clique der Größe   aus   verbindet, so ist dieser neue Graph ebenfalls ein  -Baum.

Ein partieller  -Baum entsteht durch die Entfernung von Kanten aus einem  -Baum: Ist   ein  -Baum, so ist   mit   ein partieller  -Baum.[6][7][8][9]

Durch die angegebene Definition haben partielle k-Bäume immer mindestens k Knoten, was nicht immer wünschenswert ist. Darum gibt es auch die folgende Definition:

Eine weitere Eigenschaft ist, dass die Menge der partiellen k-Bäume gleich der Menge der Graphen mit Baumweite höchstens k ist.[13][14]

Siehe auchBearbeiten

AnmerkungenBearbeiten

  1. Einige der dargestellten Bäume sind isomorph zueinander; nämlich beide Bäume in Fig. 2 sowie in Fig. 3 (von links gezählt) die Bäume 1 und 3 sowie 2 und 4. Es sind nur ungerichtete Bäume dargestellt. Fasst man den obersten Knoten als Wurzel auf, so ergeben sich entsprechend unterschiedliche (heteromorphe) gewurzelte Bäume.

LiteraturBearbeiten

  • Frank Gurski, Irene Rothe, Jörg Rothe, Egon Wanke: Exakte Algorithmen für schwere Graphenprobleme. Springer-Verlag, Berlin/ Heidelberg 2010, ISBN 978-3-642-04499-1.
  • Sven Krumke, Hartmut Noltemeier: Graphentheoretische Konzepte und Algorithmen. 3. Auflage. Springer Vieweg Verlag, Wiesbaden 2012, ISBN 978-3-8348-1849-2.

WeblinksBearbeiten

Commons: Baumstrukturen – Sammlung von Bildern, Videos und Audiodateien

EinzelnachweiseBearbeiten

  1. a b Reinhard Diestel: Graphentheorie. 3., neu bearb. und erw. Auflage. Springer, Berlin 2006, ISBN 3-540-21391-0, S. 14.
  2. Angelika Steger: Diskrete Strukturen. 2. Auflage. Band 1: Kombinatorik, Graphentheorie, Algebra. Springer, Berlin 2007, ISBN 978-3-540-46660-4, S. 65.
  3. Stephan Hußmann, Brigitte Lutz-Westphal: Kombinatorische Optimierung erleben : in Studium und Unterricht. 1. Auflage. Vieweg, Wiesbaden 2007, ISBN 978-3-528-03216-6, S. 47.
  4. Richard Otter: The Number of Trees. In: Annals of Mathematics. 49, Nr. 3, 1948, S. 583–599. doi:10.2307/1969046.
  5. Folge A000055 in OEIS
  6. Frank Gurski, Irene Rothe, Jörg Rothe, Egon Wanke: Exakte Algorithmen für schwere Graphenprobleme. Springer-Verlag, Berlin/ Heidelberg 2010, ISBN 978-3-642-04499-1.
  7. Sven Krumke, Hartmut Noltemeier: Graphentheoretische Konzepte und Algorithmen. Vieweg+Teubner Verlag, 2012, ISBN 978-3-8348-2264-2.
  8. Daniel Granot: On some optimization problems on k-trees and partial k-trees. In: Discrete Applied Mathematics. Elsevier, 1994.
  9. Janka Chlebı́ková: Partial k-trees with maximum chromatic number. In: Discrete Applied Mathematics. 2002.
  10. Xiao Zhou, Shin-ichi Nakano, Takao Nishizeki: Edge-Coloring Partial k-Trees. In: Journal of Algorithms. Nr. 21, 1996, S. 598–617.
  11. Ton Kloks: Treewidth. Springer-Verlag, Berlin/ Heidelberg 1994, ISBN 3-540-48672-0.
  12. A. Yamaguchi, H. Mamitsuka: Finding the Maximum Common Subgraph of a Partial k-Tree and a Graph with a Polynomially Bounded Number of Spanning Trees. Springer, Berlin/ Heidelberg 2003, ISBN 3-540-24587-1.
  13. Hans L. Bodlaender: A partial k-arboretum of graphs with bounded treewidth. In: Theoretical Computer Science. 1998, S. 1–45.
  14. Jan van Leeuwen: Algorithms and Complexity Theory. In: Handbook of Theoretical Computer Science. vol. A. North Holland, Amsterdam 1990, S. 527–631.