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Simplex (Mathematik)

Verallgemeinerung eines Dreiecks auf beliebige Dimensionen
Ein 3-Simplex oder Tetraeder

Als Simplex oder n-Simplex, gelegentlich auch n-dimensionales Hypertetraeder, bezeichnet man in der Geometrie ein spezielles n-dimensionales Polytop.

Dabei ist ein Simplex die einfachste Form eines Polytops. Jedes -dimensionale Simplex besitzt Ecken. Man erzeugt ein -Simplex aus einem -Simplex, indem man einen affin unabhängigen Punkt (s. u.) hinzunimmt und alle Ecken des niedrigerdimensionalen Simplex mit diesem Punkt in Form einer Kegelbildung durch Strecken verbindet.[1] Somit ergibt sich mit zunehmender Dimension die Reihe Punkt, Strecke, Dreieck, Tetraeder. Ein -Simplex ist die Fortsetzung dieser Reihe auf Dimensionen.

DefinitionenBearbeiten

Affine UnabhängigkeitBearbeiten

Sei   und seien   endlich viele Punkte eines  -Vektorraums  . Man nennt diese Punkte affin unabhängig,[2] falls für die Skalare   gilt, dass aus   mit   folgt, dass  .

Anders ausgedrückt, es gibt keinen  -dimensionalen affinen Unterraum  , in dem die   Punkte liegen. Eine äquivalente Formulierung ist: Die Menge   ist linear unabhängig.[3] In diesem Falle ist jeder der Punkte   von den übrigen Punkten   affin unabhängig und genauso von dem durch die   aufgespannten affinen Unterraum.

Eine Menge von Punkten eines  -dimensionalen Vektorraums   über   ( ) nennt man in allgemeiner Lage, wenn jede aus höchstens   Punkten bestehende Teilmenge affin unabhängig ist.[2]

SimplexBearbeiten

Sei   und seien   affin unabhängige Punkte des   (oder eines n-dimensionalen Vektorraums über  ) gegeben, so ist das von   aufgespannte (oder erzeugte) Simplex   gleich folgender Menge:

 .[4]

Die Punkte   werden Eckpunkte von   und   baryzentrische Koordinaten genannt. Die Zahl   ist die Dimension des Simplexes. Ein Simplex der Dimension   wird auch kurz  -Simplex genannt. Ein Simplex ist also nichts weiter als die konvexe Hülle von endlich vielen affin unabhängigen Punkten im  ,[5] welche dann die Eckpunkte dieses Simplexes sind.

Seitenflächen und RandBearbeiten

Es sei   ein Simplex. Jedes in   enthaltene Simplex, welches durch eine nicht leere Teilmenge der Eckpunkte von   aufgespannt wird, heißt Seite (seltener Facette oder Untersimplex) von  . Die nulldimensionalen Seiten (Facetten) sind gerade die Eckpunkte oder Ecken, die 1-Seiten (oder 1-Facetten) sind die Kanten und die  -Seiten oder  -Facetten heißen Seitenflächen. Die Vereinigung der Seitenflächen heißt der Rand   des Simplexes  :

 

Die Anzahl der  -Seiten (oder  -Facetten) des  -Simplex ist gleich dem Binomialkoeffizienten  .

Das  -Simplex ist das einfachste  -dimensionale Polytop, gemessen an der Anzahl der Ecken. Nach dem Simplex ist das Simplex-Verfahren aus der linearen Optimierung und genauso das Downhill-Simplex-Verfahren in der nichtlinearen Optimierung benannt.

BeispielBearbeiten

  • Ein 0-Simplex ist ein Punkt.
  • Ein 1-Simplex ist eine Strecke.
  • Ein 2-Simplex ist ein Dreieck.
  • Ein 3-Simplex ist ein Tetraeder (vier Ecken, vier Seitenflächen aus Dreiecken, sechs Kanten); er wird erzeugt aus einem Dreieck (2-Simplex), zu dem ein Punkt, welcher nicht in der Dreiecksebene liegt, hinzugenommen und mit allen Ecken des Dreiecks verbunden wird.
  • Ein 4-Simplex heißt auch Pentachoron.
  • Ein Beispiel eines  -Simplex im   (und zwar eines mit rechtwinkliger Ecke im Ursprung) ist durch
 
gegeben. Dieses Simplex heißt Einheitssimplex. Es wird vom Nullvektor und den Einheitsvektoren   der Standardbasis des   aufgespannt und hat mit der Länge der Einheitsvektoren   das Volumen  .

VolumenBearbeiten

Das Volumen des Einheitssimplex des   beträgt  . Sind   Punkte des  , so lautet die affine Abbildung, die das Einheitssimplex auf das von   aufgespannte Simplex transformiert

 

und das Volumen des Simplex ist gegeben durch  .

Standard-SimplexBearbeiten

In der Algebraischen Topologie, insbesondere der Definition der singulären Homologie, spielen die sogenannten Standard-Simplizes eine wichtige Rolle.

Der  -dimensionale Standardsimplex   ist der im   von den Einheitsvektoren  , also von den Ecken

 

aufgespannte  -Simplex.[6] Der  -Standardsimplex entspricht damit der größten Seitenfläche eines  -Einheitssimplex.

Ein singulärer  -Simplex ist per Definition eine stetige Abbildung des Standard-Simplex   in einen topologischen Raum  , siehe singuläre Homologie.

Simplexe mit einer rechtwinkligen EckeBearbeiten

Eine rechtwinklige Ecke bedeutet hier, dass je 2 in dieser Ecke zusammenlaufende Kanten einen rechten Winkel bilden. Oder anders ausgedrückt, das  -Simplex hat eine Ecke, an der seine an ihr anliegenden  -dimensionalen Hyperflächen zueinander orthogonal sind. Ein solches Simplex stellt eine Verallgemeinerung rechtwinkliger Dreiecke dar und in ihm gilt eine  -dimensionale Version des Satzes von Pythagoras:

Die Summe der quadrierten  -dimensionalen Volumen der an der rechtwinkligen Ecke anliegenden Hyperflächen ist gleich dem quadrierten  -dimensionalen Volumen der der rechtwinkligen Ecke gegenüberliegenden Hyperfläche. Es gilt also

 

Hierbei sind die Hyperflächen   paarweise orthogonal zueinander aber nicht orthogonal zu der Hyperfläche  , die der rechtwinkligen Ecke gegenüberliegt.

Im Falle eines 2-Simplex entspricht dies einem rechtwinkligen Dreieck und dem Satz des Pythagoras und bei einem 3-Simplex einem Tetraeder mit einer Würfelecke und dem Satz von de Gua.

Grundlegende HomöomorphieeigenschaftenBearbeiten

  1. Zwei Simplexe   und   gleicher Dimension sind stets homöomorph. Eine solche Homöomorphie liegt also genau dann vor, wenn die Eckpunktmengen beider Simplexe identische Anzahl haben.[7]
  2. Ein  -Simplex im   ist stets homöomorph zur abgeschlossenen k-dimensionalen Einheitskugel  . Folglich ist jedes Simplex eines euklidischen Raumes eine kompakte Menge.[8]

Euklidischer simplizialer KomplexBearbeiten

Ein euklidischer simplizialer Komplex (engl. Euclidean simplicial complex[9]), in der deutschen Literatur meist simplizialer Komplex genannt,[10][11] ist eine Familie   von Simplizes im   mit folgenden Eigenschaften:

  1. Mit jedem Simplex   gehört auch jede Seite von   zu  .
  2. Der Schnitt von zwei Simplizes von   ist leer oder gemeinsame Seite beider Simplizes.
  3. Jeder Punkt eines Simplex aus   hat (bzgl. der Standardtopologie des  ) eine Umgebung, welche höchstens endlich viele Simplizes aus   schneidet (Lokalendlichkeit).[12]

Die Vereinigung   , gebildet über alle Simplizes von   und versehen mit der vom   herrührenden Unterraumtopologie, heißt das zu   gehörige Polyeder. Die zugehörige Familie   nennt man dann auch eine Triangulation oder simpliziale Zerlegung[13] von  . Falls ein solches   existiert, heißt     triangulierbar.[14]

Ein Polyeder, welches durch einen endlichen simplizialen Komplex trianguliert wird, ist stets eine kompakte Teilmenge des  .[15]

Abstrakter simplizialer KomplexBearbeiten

Ein abstrakter simplizialer Komplex (engl. abstract simplicial complex[16])   ist eine Familie von nichtleeren, endlichen Mengen, welche (abstrakte) Simplizes genannt werden, und die folgende Eigenschaft erfüllt:[17]

  • Mit   ist stets auch jede nichtleere Teilmenge von   in   enthalten.[18]

Jedes Element eines Simplex heißt Ecke und jede nichtleere Teilmenge heißt Seite (oder Facette). Die Dimension eines (abstrakten) Simplex mit   Ecken ist definiert als  . Die Dimension eines Simplizialkomplexes ist definiert als das Maximum der Dimensionen aller darin vorkommenden Simplizes, sofern dieses Maximum existiert. In diesem Falle bezeichnet man den Simplizialkomplex als endlichdimensional und besagtes Maximum als seine Dimension. Falls die Dimensionen der Simplizes des Simplizialkomplexes über alle Grenzen wachsen, so heißt der Simplizialkomplex unendlichdimensional.

AnwendungBearbeiten

Eine Anwendung findet sich im Downhill-Simplex-Verfahren. Das ist ein Optimierungsverfahren, bei dem man   Parameterwerte finden will, indem man sie so lange variiert, bis die Abweichung zwischen Messwerten und einer Theoriefunktion, die von diesen Parametern abhängt, minimal wird. Dazu wird im  -dimensionalen Parameterraum ein Simplex aus Parametersätzen aufgespannt, für jeden Punkt des Simplex die Fehlerfunktion berechnet und dann im Laufe des Algorithmus der jeweils „schlechteste“ dieser Punkte durch einen (hoffentlich) „besseren“ (mit kleinerem Fehlerwert) ersetzt, so lange, bis ein Konvergenz- oder sonstiges Abbruchkriterium erfüllt ist. Als Anfangskonfiguration wird meistens ein Simplex mit einer rechtwinkligen Ecke (wie oben erläutert) verwendet.

Simplexe, simpliziale Komplexe und Polyeder finden darüber hinaus eine breite Anwendung in der Topologie. Als eines der herausragenden Anwendungsbeispiele ist hier der Fixpunktsatz von Brouwer zu nennen, von dem Bronisław Knaster, Kazimierz Kuratowski und Stefan Mazurkiewicz im Jahre 1929 gezeigt haben, dass dieser Satz und verwandte Sätze der Topologie im Rahmen der Simplextheorie mit elementaren kombinatorischen Methoden, insbesondere unter Benutzung des Spernerschen Lemmas, ableitbar sind.[19][20]

LiteraturBearbeiten

Artikel

Monographien

  • Egbert Harzheim: Einführung in die Kombinatorische Topologie (= Die Mathematik. Einführungen in Gegenstand und Ergebnisse ihrer Teilgebiete und Nachbarwissenschaften). Wissenschaftliche Buchgesellschaft, Darmstadt 1978, ISBN 3-534-07016-X (MR0533264).
  • John M. Lee: Introduction to Topological Manifolds (= Graduate Texts in Mathematics, 202). 2. Auflage. Springer-Verlag, New York u. a. 2011, ISBN 978-1-4419-7939-1.
  • Horst Schubert: Topologie. 4. Auflage. B. G. Teubner Verlag, Stuttgart 1975, ISBN 3-519-12200-6.

WeblinksBearbeiten

 Wiktionary: Simplex – Bedeutungserklärungen, Wortherkunft, Synonyme, Übersetzungen
  Commons: Simplex – Sammlung von Bildern

EinzelnachweiseBearbeiten

  1. E. Harzheim: Einführung in die Kombinatorische Topologie. 1978, S. 20 ff.
  2. a b E. Harzheim: Einführung in die Kombinatorische Topologie. 1978, S. 4.
  3. E. Harzheim: Einführung in die Kombinatorische Topologie. 1978, S. 5.
  4. E. Harzheim: Einführung in die Kombinatorische Topologie. 1978, S. 26.
  5. H. Schubert: Topologie. 1975, S. 165.
  6. I. M. James: Handbook of Algebraic Topology. Elsevier Science, 1995, ISBN 978-0-08-053298-1, S. 3.
  7. H. Schubert: Topologie. 1975, S. 165.
  8. H. Schubert: Topologie. 1975, S. 166.
  9. J. M. Lee: Introduction to Topological Manifolds. 2011, S. 149.
  10. E. Harzheim: Einführung in die Kombinatorische Topologie. 1978, S. 34.
  11. H. Schubert: Topologie. 1975, S. 167.
  12. Oft, wie etwa bei Harzheim, S. 34, oder bei Schubert, S. 167, wird sogar gefordert, dass nur endlich viele Simplexe in dem simplizialen Komplex auftreten.
  13. H. Schubert: Topologie. 1975, S. 167.
  14. E. Harzheim: Einführung in die Kombinatorische Topologie. 1978, S. 26.
  15. E. Harzheim: Einführung in die Kombinatorische Topologie. 1978, S. 37.
  16. J. M. Lee: Introduction to Topological Manifolds. 2011, S. 153.
  17. J. M. Lee: Introduction to Topological Manifolds. 2011, S. 153 ff.
  18. Bei Schubert, S. 169, ist hier die Rede von einem „simplzialen Schema“. Ein abstraktes Simplex nennt Schubert ausgezeichnete Menge. Zudem fordert er noch, dass jedes Element der Grundmenge in einer ausgezeichneten Menge, also einem abstrakten Simplex, enthalten ist.
  19. E. Harzheim: Einführung in die Kombinatorische Topologie. 1978, S. 56–65, 317.
  20. B. Knaster, C. Kuratowski, S. Mazurkiewicz: Ein Beweis des Fixpunktsatzes für  -dimensionale Simplexe. 1929, S. 132 ff.