Fixpunktsatz von Brouwer

mathematischer Satz

Der Fixpunktsatz von Brouwer ist eine Aussage aus der Mathematik. Er ist nach dem niederländischen Mathematiker Luitzen Egbertus Jan Brouwer benannt und besagt, dass die Einheitskugel die Fixpunkteigenschaft hat. Mit Hilfe dieser Aussage kann man Existenzaussagen über Lösungen reeller, nichtlinearer Gleichungssysteme treffen.

AussageBearbeiten

Mit   wird die  -dimensionale Einheitskugel bezeichnet. Dann besitzt jede stetige Selbstabbildung von   in sich selbst mindestens einen Fixpunkt.

In Quantorenschreibweise lässt sich die Aussage durch

 

darstellen.

BeweisideeBearbeiten

Mittels des Approximationssatzes von Stone-Weierstraß kann man sich auf  -Funktionen beschränken.

Nun nimmt man an,   habe keinen Fixpunkt. Dann ist  , gegeben durch

 ,
 
Illustration von F in D2

eine wohldefinierte und glatte Abbildung, die jedem Punkt in der Vollkugel den Schnittpunkt der Halb-Geraden von   durch   mit der Sphäre zuordnet.   ist insbesondere eine Retraktion, d. h., für alle   gilt  .

Dies führt man auf einen Widerspruch, indem man zunächst zeigt, dass für   gilt:  . Dies sieht man leicht ein, da die Determinante der Jacobi-Matrix von F nach dem Satz von der inversen Funktion 0 sein muss.

Also gilt:

 

nach dem Satz von Stokes. Auf der Sphäre ist   aber die Identität. Damit gilt also (wieder nach dem Satz von Stokes):

 .

Andere Beweise benutzen das Lemma von Sperner (siehe Aigner, Ziegler, Das Buch der Beweise, Kapitel 25) oder den Satz von Borsuk-Ulam.

Topologisch gleichwertige FormulierungenBearbeiten

Die Aussage des Brouwerschen Fixpunktsatzes in ihrem topologischen Kerngehalt lässt sich also wie folgt zusammenfassen:[1]

  • Die  -dimensionale Sphäre   ist niemals ein Retrakt der  -dimensionalen Einheitskugel  .

Oder anders gesagt:

  • Es gibt keine stetige Abbildung der  -dimensionalen Einheitskugel   auf die  -dimensionale Sphäre  , welche die Punkte der   fix lässt.

Damit gleichwertig ist die folgende Darstellung:[1]

Oder anders gesagt:

VerallgemeinerungenBearbeiten

Mittels einer stetigen Transformation auf das Simplex, das homöomorph zur Einheitskugel ist, lässt sich die Aussage des Satzes auf beliebige kompakte, konvexe Mengen in einem endlichdimensionalen Banachraum übertragen:

Sei   eine stetige Abbildung von einer nichtleeren, kompakten, konvexen Teilmenge eines endlichdimensionalen Banachraumes in sich selbst. Dann hat   einen Fixpunkt.

Auch diese Aussage wird manchmal als Fixpunktsatz von Brouwer bezeichnet, siehe hierzu auch seine Verallgemeinerung zum Fixpunktsatz von Schauder.

Der AusfüllungssatzBearbeiten

Die soeben angegebene Verallgemeinerung des Brouwerschen Fixpunktsatzes kann ihrerseits als Folgerung aus dem folgenden Satz gezogen werden, welcher auch als Ausfüllungssatz bezeichnet wird:[2]

Ist   eine beschränkte offene Teilmenge des   und   eine stetige Abbildung und dabei
  für alle  
so gilt  .

Den Zusammenhang mit dem Ausfüllungssatz erhält man, wenn man einbezieht, dass jeder endlichdimensionale Banachraum einem   topologisch äquivalent ist und dass jede darin enthaltene kompakte, konvexe Teilmenge eine Menge von der Art der obigen   darstellt.

Der Ausfüllungssatz selbst ergibt sich aus einer direkten Anwendung der Eigenschaften des Abbildungsgrades.[3]

LiteraturBearbeiten

WeblinksBearbeiten

Commons: Brouwer fixed point theorem – Sammlung von Bildern, Videos und Audiodateien

EinzelnachweiseBearbeiten

  1. a b Harzheim: S. 158
  2. Harzheim: S. 157–160
  3. Harzheim: S. 157