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Die blaue Menge ist die konvexe Hülle der roten Menge

Die konvexe Hülle einer Teilmenge ist die kleinste konvexe Menge, die die Ausgangsmenge enthält. Betrachtet wird dieses Objekt in unterschiedlichen mathematischen Disziplinen wie zum Beispiel in der konvexen Analysis.

Inhaltsverzeichnis

DefinitionenBearbeiten

Die konvexe Hülle einer Teilmenge   eines reellen oder komplexen Vektorraumes  

 

ist definiert als der Schnitt aller konvexen Obermengen von  . Sie ist selbst konvex und damit die kleinste konvexe Menge, die   enthält. Die Bildung der konvexen Hülle ist ein Hüllenoperator.

Die konvexe Hülle kann auch beschrieben werden als die Menge aller endlichen Konvexkombinationen:

 

Der Abschluss der konvexen Hülle ist der Schnitt aller abgeschlossenen Halbräume, die   ganz enthalten. Die konvexe Hülle zweier Punkte   ist ihre Verbindungsstrecke:

 

Die konvexe Hülle endlich vieler Punkte ist ein konvexes Polytop.

BeispieleBearbeiten

 
Konvexe Hülle der rot markierten Punkte im zweidimensionalen Raum
  • Das nebenstehende Bild zeigt die konvexe Hülle der Punkte (0,0), (0,1), (1,2), (2,2) und (4,0) in der Ebene. Sie besteht aus dem rot umrandeten Gebiet (inklusive Rand).
  • Es gibt eine Klasse von Kurven (darunter z. B. die Bézierkurve), deren Mitglieder die sog. „Convex Hull Property“ (CHP) erfüllen, d. h. ihr Bild verläuft vollständig innerhalb der konvexen Hülle ihrer Kontrollpunkte.

Berechnung im zweidimensionalen FallBearbeiten

Die Ermittlung der konvexen Hülle von   Punkten im   hat als untere Schranke eine asymptotische Laufzeit von  ; der Beweis erfolgt durch Reduktion auf das Sortieren von   Zahlen. Liegen nur   der   Punkte auf dem Rand der konvexen Hülle, ist die Schranke bei  .

Es bieten sich mehrere Algorithmen zur Berechnung an[1]:

  • Graham-Scan-Algorithmus mit Laufzeit  
  • Jarvis-March (2d-Gift-Wrapping-Algorithmus) mit Laufzeit  , wobei   die Anzahl der Punkte auf dem Rand der Hülle ist
  • QuickHull in Anlehnung an Quicksort mit erwarteter Laufzeit  ; Worstcase  
  • Inkrementeller Algorithmus mit Laufzeit  
  • Chans Algorithmus mit Laufzeit  , wobei   die Anzahl der Punkte auf dem Rand der Hülle ist.

WeblinksBearbeiten

LiteraturBearbeiten

  1. Franco P. Preparata and Michael Ian Shamos: Computational Geometry - An Introduction. Springer-Verlag, 1985, 1st edition: ISBN 0-387-96131-3; 2nd printing, corrected and expanded, 1988: ISBN 3-540-96131-3; Russian translation, 1989: ISBN 5-03-001041-6.