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Bezier-Kurve 3. Grades und ihr Kontrollpolygon
Bézierkurven der Grade 1, 2 und 3 (rot) und die zugehörigen Kontrollpolygone (grau). Von links nach rechts wurde jeweils ein weiterer Kontrollpunkt (blau) hinzu­gefügt. Man erkennt, wie die Kurve bei Einfügen/Verändern eines Kontrollpunkts ihre Richtung und/oder Krümmung variiert.

Die Bézierkurve [be'zje…] ist eine parametrisch modellierte Kurve, die ein wichtiges Werkzeug bei der Beschreibung von Freiformkurven und -flächen darstellt.

In der Computergrafik finden Bézierkurven wegen ihrer optischen Eleganz und der verhältnismäßig leichten mathematischen Handhabbarkeit häufig Anwendung. Sie werden zur Definition von Kurven und Flächen in Vektorgrafiken genutzt. Mögliche Anwendungsfälle finden sich z. B. im Computer Aided Design, bei der Erstellung von Illustrationen (siehe z. B. SVG) oder der Beschreibung von Schrifttypen (z. B. Postscript, Type1, TrueType und CFF-OpenType).

Die Bézierkurve wurde Anfang der 1960er Jahre unabhängig voneinander von Pierre Bézier bei Renault und Paul de Casteljau bei Citroën für Computer-Aided Design (computerunterstützte Konstruktion) entwickelt. Paul de Casteljau gelang zwar die Entdeckung früher, Citroën hielt seine Forschungen jedoch bis zum Ende der 1960er Jahre als Betriebsgeheimnis zurück.

Verallgemeinerungen des Konzepts der Bézierkurven führen zu den Bézierflächen.

Inhaltsverzeichnis

Motivation, DefinitionBearbeiten

Numerisch einfache Kurven in der Ebene sind solche, die mit Hilfe einer Parameterdarstellung   beschrieben werden, wobei   und   Polynome in   sind. Ist

 ,
 

und setzt man  , so lässt sich die Kurve übersichtlicher durch

  beschreiben.

Im Allgemeinen sagen die Koeffizienten-Punkte   nicht viel über den Kurvenverlauf aus. Nur   (Punkt der Kurve) und   (Tangentenvektor) haben konkrete geometrische Bedeutungen. Dies ändert sich, wenn man die Polynome   nicht in der Monom-Basis  , sondern in der folgenden Bernsteinbasis   darstellt:

  •  

Es sei nun   festgewählt und die Vektoren   beschreiben ein ebenes oder räumliches Polygon. Dann heißt

  •  

eine Bezierkurve[1][2] vom (maximalen) Grad  . Die Punkte   nennt man Kontrollpunkte der Bezierkurve.

Eigenschaften der Bernsteinpolynome:

 
Bernsteinpolynome
  1.  
  2.   für   für  
  3. Das Bernsteinpolynom   hat genau ein Maximum und zwar an der Stelle   D. h. eine leichte Veränderung des Punktes   hat nur eine wesentliche Veränderung der Kurve in der Umgebung von   zur Folge.

Eigenschaften einer Bézierkurve:

  1.   ist der Anfangs- ,   der Endpunkt
  2.   ist die Richtung der Tangente im Punkt   ist die Richtung der Tangente im Punkt  
  3. Das Polygon   gibt einen ungefähren Verlauf der Kurve an.

Weitere Eigenschaften der BernsteinbasisBearbeiten

Für Untersuchungen von Bezierkurven sind die folgenden Eigenschaften[3] nützlich:

Beziehung zwischen der Bernstein- und der Monom-Basis
(MB) 
Rekursion
(R)  
Skalierung
(S)  
Ableitung
(A)  
(Man beachte, dass   ist.)
Produkt
(P)  

Weitere Eigenschaften einer BézierkurveBearbeiten

In der Literatur[4] werden noch weitere Eigenschaften einer Bézierkurve aufgelistet:

 
  • Die ersten Summanden des Taylorpolynoms bei   bzw. bei   lauten für  :
 
 
  • Eine Gerade schneidet eine Bézierkurve höchstens so oft, wie sie ihr Kontrollpolygon schneidet (die Kurve ist variationsreduzierend, bzw. hat eine beschränkte Schwankung).
  • Eine affine Transformation (Verschiebung, Skalierung, Rotation, Scherung) kann auf die Bézierkurve durch Transformation des Kontrollpolygons angewendet werden („affine Invarianz“).
  • Liegen alle Kontrollpunkte auf einer Geraden, so wird die Bézierkurve zu einer Strecke (Vorteil gegenüber der Polynominterpolation).
  • Der Einfluss eines Kontrollpunktes auf die Kurve ist global. Das heißt: Verschiebt man einen Punkt, verändert sich die gesamte Kurve. Daher verwendet man in der Praxis meist Splines, zusammengesetzte Kurven festen Grades, die stetig ineinander übergehen.
  • Eine Bézierkurve kann immer in zwei Bézierkurven gleicher Ordnung geteilt werden, wobei sich die neuen Kontrollpunkte aus den alten mit Hilfe des De-Casteljau-Algorithmus ergeben (s. Abschnitt Teilung einer Bezierkurve).

Der De-Casteljau-AlgorithmusBearbeiten

Höhere Potenzen von   auszurechnen ist numerisch instabil. Der folgende Algorithmus führt deshalb die Berechnung eines Kurvenpunktes auf wiederholte lineare Interpolation zurück. In jedem Schritt wird mittels linearer Interpolation ein neues um 1 kürzeres Polygon berechnet (s. Bild). Bei der letzten Interpolation entsteht schließlich der Kurvenpunkt:

 
de-Casteljau-Algorithmus für eine Bezier-Kurve 3. Grades

Für das Polygon   im   (oder  ) und einem   definiert man rekursiv für jedes   das Polygon

  •   erzeugt. Dabei sei  .

Das Polygon der Stufe   ist identisch mit dem Ausgangspolygon, das Polygon der Stufe   ist ein Punkt, der Kurvenpunkt.

Aus der Rekursionseigenschaft (R) der Bernsteinpolynome folgt

 
für  

(Beweis mit Hilfe vollständiger Induktion über r.) Also ist

  •  

die Bezierkurve mit dem Kontrollpolygon  . Diese Methode, einen Punkt der Bezierkurve durch lineare Interpolationen zu bestimmen, heißt De-Casteljau-Algorithmus.

Wie für ein   mit Hilfe des Casteljau-Algorithmus aus dem Kontrollpolygon die Zwischenpolygone und schließlich der Punkt der Bezierkurve entsteht, zeigt die Abbildung für  . Die neuen Punkte teilen immer die alten Strecken, auf denen sie liegen, im gleichen Verhältnis  .

Bézierkurven bis zum dritten GradBearbeiten

 
lineare Bézierkurve

Lineare Bézierkurven (n=1):

Zwei Kontrollpunkte   und   bestimmen eine gerade Strecke zwischen diesen beiden Punkten. Der Verlauf dieser linearen Bézier„kurve“ wird beschrieben durch

 

Quadratische Bézierkurven (n=2):

 
quadratische Bézierkurve mit Casteljau-Algorithmus

Eine quadratische Bézierkurve ist der Pfad, der durch die Funktion   für die Punkte  ,   und   beschrieben wird:

 

Die letzte Zeile zeigt: Eine quadratische Bezierkurve ist eine Parabel.

Mit Hilfe des De-Casteljau-Algorithmus ausgedrückt:  

 

Kubische Bézierkurven (n=3):

 
kubische Bézierkurve mit Casteljau-Algorithmus

Kubische Bézierkurven sind in der Praxis von großer Bedeutung, da sowohl B-Spline-Kurven als auch NURBS stückweise in kubische Bézierkurven umgewandelt werden, um dann effizient mit dem De-Casteljau-Algorithmus gezeichnet zu werden. Selbiges gilt für hermitesche Splines, die in ihrer kubischen Form vor allem in der Computeranimation zur Interpolation zwischen Keyframes verwendet werden.

 

Mit Hilfe des De-Casteljau-Algorithmus ausgedrückt:  

 

Vergleich der KurvendarstellungenBearbeiten

 
Vergleich zwischen Kurvendarstellungen

Polynomiale Kurven (d. h. die Koordinaten sind Polynome bzgl.  ) lassen sich in der Monom-Basis, der Bernsteinbasis und mit Hilfe des De-Casteljau-Algorithmus (fortgesetzte lineare Interpolation) beschreiben. Da die Koeffizientenpunkte der Monom-Basis nicht viel über den Kurvenverlauf aussagen, entstanden die Darstellungen mit der Bernstein-Basis (Bezier-Kurven) und mit dem De-Casteljau-Algorithmus. Die letzten beiden haben allerdings auch Vor- und Nachteile. Der De-Casteljau-Algorithmus hat gegenüber der Bezierdarstellung bei der Berechnung der Punkte (Numerik) Vorteile. Bezierkurven lassen sich dafür durch die vielen formalen Eigenschaften (s. o.) der Bernstein-Polynome leichter theoretisch (z. B. Krümmung) untersuchen. Der numerische Nachteil der Bezier-Kurven (Auswertung der Bernstein-Polynome) lässt sich durch eine dem Horner-Schema ähnlichen Methode ausgleichen [5]:

function bezier_comp(degree: integer; coeff : r_array; t: real) : real;
{Berechnet eine Komponente einer Bezier-Kurve. (Aus FARIN: Curves and Surfaces...)}
var i,n_choose_i : integer;    fact,t1,aux : real;
begin
  t1:= 1-t;  fact:=1;  n_choose_i:= 1;
  aux:= coeff[0]*t1;
  for i:= 1 to degree-1 do
      begin
      fact:= fact*t;
      n_choose_i:= n_choose_i*(degree-i+1) div i;
      aux:= (aux + fact*n_choose_i*coeff[i])*t1;
      end;
  aux:= aux + fact*t*coeff[degree] ;
  bezier_comp:= aux;
end;   {bezier_comp}

Ableitungen einer Bézier-KurveBearbeiten

Mit Hilfe der Ableitungen der Bernsteinpolynome ergibt sich für die 1. Ableitung der Bézierkurve  :

 

Lässt man die Tangentenvektoren alle im Nullpunkt des Koordinatensystems beginnen, so beschreiben sie eine weitere Bézierkurve mit den Kontrollpunkten  .

Speziell gilt:

  und  

Um höhere Ableitungen übersichtlich schreiben zu können, führt man folgenden Differenzenoperator ein [6]:

 

Es ist

 

Die  -te Ableitung der Bézierkurve   lässt sich jetzt wie folgt schreiben:

 

Speziell für   und   erhält man

  und  

Graderhöhung einer BézierkurveBearbeiten

Eine wichtige Manipulation der Darstellung einer vorgegebenen Bézierkurve ist die sog. Graderhöhung. Sie ist vergleichbar mit dem Anfügen von Termen   an ein Polynom  . Dabei ändert sich das Polynom nicht und der (scheinbare) Grad wird erhöht. Analog stellt man eine fest vorgegebene Bézierkurve   in der Form   mit geeigneten neuen Kontrollpunkten   dar. Um die neuen Kontrollpunkte zu bestimmen, multipliziert man die ursprüngliche Darstellung mit dem Faktor  :

 

Die neuen Kontrollpunkte sind also [7]:

 
 
Graderhöhungen einer Bezier-Kurve:
Kontrollpolygone bei ein-, zwei- und 10-maliger Graderhöhung}

Wesentliche Eigenschaften der Graderhöhung sind:

  1. Wiederholte Graderhöhung führt zu einer Approximation der Bézierkurve durch das Kontrollpolygon.
  2. Die größere Anzahl von Kontrollpunkten bietet mehr Freiheitsgrade, die Kurve zu verändern.
  3. Mehrere Bézierkurven lassen sich auf einen einheitlichen Grad bringen. Dies ist wichtig bei Tensorprodukt-Bézierflächen .
  4. Damit lassen sich auch dann quadratische Bézierkurven als kubische darstellen, falls ein Vektorzeichenprogramm (z. B. Inkscape) bzw. eine Grafikbibliothek (z. B. Cairo) nur kubische unterstützt.

Teilung einer BézierkurveBearbeiten

 
Zerlegung einer Bezierkurve

Eine Bezierkurve   ist normalerweise definiert für  . Sei nun  . Dann ist   mit   ein Teil der gegebenen Bézierkurve. Es soll nun die Teilkurve   als Bézierkurve   mit   vom (selben) Grad   mit geeigneten Kontrollpunkten   dargestellt werden. Setzt man  , so muss die folgende Gleichung erfüllt sein:

  für  

Dies gilt für [8][9]

  •   (s. Casteljau-Alg. und Abbildung)

Denn

 
  wegen  
 
  (s. Eigensch. (S) der Bernst.-Pol.)

Der restliche Bogen ist die Bézierkurve   mit den Kontrollpunkten

  •   (s. Abbildung)

Rationale BezierkurvenBearbeiten

Rationale Kurven und projektive KurvenBearbeiten

Bézierkurven sind parametrisierte Kurven, deren Parameterdarstellungen nur Polynome verwenden. Leider lassen sich so wichtige und geometrisch einfache Kurven wie Kreise nicht durch polynomiale Parameterdarstellungen beschreiben. Dieser Nachteil ist u. a. das Motiv für die Erweiterung der als Parameterfunktionen zulässigen Funktionen auf rationale Funktionen. Denn jeder Kegelschnitt hat eine rationale Darstellung. Da eine Kurve mit einer rationalen Darstellung

 

wobei die Funktionen   und   Polynome sind, in homogenen Koordinaten die polynomiale Darstellung

 

besitzt, lassen sich ebene Kurven mit rationalen Koeffizientenfunktionen als Zentralprojektion einer Bézierkurve im   auf die Einbettungsebene   auffassen.

Die analoge Aussage gilt für Kurven im  . Sie lassen sich als Zentralprojektion einer Bézierkurve im   auf den Einbettungsraum   auffassen. Damit lassen sich die Vorteile des Bézier-Darstellung einer polynomialen Kurve auch für rationale Kurven nutzen.

 
Rationale Bezierkurve (rot) als Projektion einer gewöhnlichen räumlichen Bezierkurve (blau). Die Kontrollpunkte   sind alle eigentlich, da keiner der Kontrollpunkte   in der  Ebene liegt.

Ebene rationale BézierkurvenBearbeiten

Es sei nun   festgewählt und die Vektoren   beschreiben ein Polygon im  . Dann ist

 

eine (räumliche) Bézier-Kurve vom Grad  . Die Punkte   sind die Kontrollpunkte der (räumlichen) Bézierkurve. Fasst man die 1-dimensionalen Unterräume

 

als Punkte der reellen projektiven Ebene mit der Ferngerade   auf, so bezeichnet man den affinen Anteil (Projektion vom Nullpunkt aus auf die Ebene  ) dieser projektiven Kurve als rationale Bézierkurve.

Die Kontrollpunkte der Bézierkurve im   lassen sich folgendermaßen beschreiben:

  falls   nicht auf der Ferngerade   und
  falls   auf der Ferngerade liegt.

Beim Übergang zu inhomogenen Koordinaten wird ein Kontrollpunkt entweder auf den affinen Punkt   oder auf den Fernpunkt in Richtung   abgebildet. Der Punkt   heißt eigentlicher bzw. uneigentlicher Kontrollpunkt der rationalen Bezierkurve und die Zahl   heißt das Gewicht des Kontrollpunktes  . Eine rationale Bézierkurve hat folgende affine Beschreibung [10][11]:

  •  

wobei   für eigentliche und   für uneigentliche Kontrollpunkte zu setzen ist.

Die rationalen Bezierkurven haben (u. a.) die folgenden Eigenschaften:

Sind   eigentliche Kontrollpunkte bzw. die Gewichte einer rationalen Bezierkurve  , so gilt

  1. Die Kurve   enthält die Kontrollpunkte   (erster bzw. letzter Punkt des Kontrollpolygons).
  2. Die Tangente im Punkt   bzw.   hat die Richtung   bzw.  .
  3. Eine Erhöhung des Gewichts   bewirkt eine Veränderung der Kurve auf den Kontrollpunkt   zu. (s. Abbildung)
 
rationale Bezierkurven mit Gewichten   und verschiedenen Gewichten  

Zusammenfassung:
Eine ebene rationale Bezierkurve besitzt neben dem Kontrollpolygon noch die Gewichte   als Designparameter. Will man eine Kurve erzeugen, legt man zunächst die Kontrollpunkte   und die Gewichte   fest. Dadurch wird dann auch eine räumliche (gewöhnliche) Bezierkurve mit den Kontrollpunkten   definiert. Die Projektion dieser Kurve (vom Nullpunkt aus) auf die x-y-Ebene ( ) liefert dann die ebene rationale Bezierkurve. Eine Variation der Gewichte ändert nicht die Kontrollpunkte  , aber die (räumlichen) Kontrollpunkte   und damit die zugehörige räumliche Bezierkurve und schließlich auch die (ebene) rationale Bézierkurve. Erhöht man ein Gewicht  , so entfernt sich der zugehörige Kontrollpunkt   vom Nullpunkt und zieht die räumliche Bezierkurve mit. Der zugehörige Kontrollpunkt   dagegen bleibt unverändert. Die rationale Bezierkurve bewegt sich auf ihn zu (s. Bild). Verringert man das Gewicht, bewegt sich die Kurve von dem Kontrollpunkt weg. Falls alle Gewichte 1 sind, ist die rationale Bézierkurve eine gewöhnliche Bézierkurve mit den Kontrollpunkten  .

Kegelschnitte als rationale BézierkurvenBearbeiten

Parabel:
Eine Bézierkurve vom Grad zwei mit nicht kollinearen Kontrollpunkten   im   ist immer eine Parabel (s. oben). Um eine Parabel als (ganz-)rationale Bezierkurve darzustellen, wählt man drei nicht kollineare Kontrollpunkte   und setzt   und  . Letzteres bedeutet: Die Kontrollpunkte sind alle eigentlich.

Ellipsen und Hyperbeln lassen sich durch Zentralprojektion von Parabeln im  , deren Ebenen nicht den Nullpunkt enthalten, auf die Einbettungsebene   erzeugen.

 
Hyperbel (rot) als rationale Bezierkurve mit den Kontrollpunkten  . Sie entsteht durch Projektion der blauen Parabel vom Nullpunkt aus auf die Ebene  . Die Parabelpunkte   gehen dabei auf die Fernpunkte der Hyperbelasymptoten über.

Hyperbel:
Für die Kontrollpunkte

 

beschreibt

 
 

eine Parabel, die auf dem Kegel mit der Gleichung   liegt (s. Bild). Die Kontrollpunkte und Gewichte der zugehörigen (ebenen) rationalen Bezierkurve sind:

  bzw. : .

  sind uneigentliche Kontrollpunkte. Damit ist   und der Nenner (s. o.) der rationalen Komponenten ist  .

Also ist die zugehörige rationale Bézierkurve

 
 

Dies ist eine rationale Parameterdarstellung eines Astes der Hyperbel mit der Gleichung  .

Die Änderung   liefert eine rationale Bézierdarstellung der Hyperbel  .

 
Halbkreis (rot) als rationale Bezierkurve.   ist uneigentlicher Kontrollpunkt, d. h. hier: Der Vektor   gibt die Richtung der Tangenten in den Kreispunkten   an.

Kreis:
In dem folgenden Beispiel sind die Kontrollpunkte der (räumlichen) Parabel:

 .

Die Bézierkurve

 
 

liegt in diesem Fall auf dem Kegel mit der Gleichung   (s. Abbildung). Die Kontrollpunkte und Gewichte der zu gehörigen rationalen Bezierkurve sind:

  bzw.  .

  ist uneigentlicher Kontrollpunkt. Damit ist   und der Nenner (s. o.) der rationalen Komponenten ist  .

Also ist die zugehörige rationale Bezierkurve

 
 
 

Für   ist dies eine rationale Parameterdarstellung eines halben Einheitskreises.

Setzt man   erhält man eine rationale Bézierdarstellung der Ellipse mit der Gleichung  .

Anwendung: Kreisapproximation durch kubische BézierkurvenBearbeiten

Kreise bzw. Kreisbögen lassen sich durch Bézierkurven nicht exakt, sondern nur genähert darstellen. Eine solche Näherung ist z. B. für die Gestaltung einer Typ-1-PostScript-Schrift nötig, da hier nur Strecken und Bézierkurven dritten Grades erlaubt sind. (Jedoch verläuft auch für größere   keine Bézierkurve    -ten Grades in einem noch so kleinen Kreisbogen mit Radius   zum Mittelpunkt  , denn   liegt genau dann auf dem Kreisbogen, wenn   Nullstelle der Polynomfunktion   vom Grad   ist, was höchstens   Male vorkommt – vgl. Fehleranalyse.)

Teilt man einen Kreis in nur zwei (gleich große) Segmente und nähert die Halbkreise durch kubische Bézierkurven, zeigen sich größere Abweichung von der Kreisgestalt. Durch eine feinere Unterteilung in mehr Segmente lässt sich ein Kreis besser nähern. Je geringer der überstrichene Winkelbereich des Kreissegments ist, desto genauer ist die Näherung durch die Bézierkurve. Eine oft verwendete, einfache Realisierung eines Kreises verwendet vier Viertelkreisbögen, die als kubische Bézierkurven dargestellt werden. Um die Verbesserung der Näherung durch Verfeinerung der Unterteilung zu demonstrieren, werden in der Folge die Fehler der Halbkreisapproximation und der Viertelkreisapproximation miteinander verglichen.

Notation: Wir untersuchen Approximationen eines Kreises   mit folgenden Parametern:

  •   ist der Radius von  
  •   ist der Mittelpunkt von  
  • die Kontrollpunkte   und   liegen vom Mittelpunkt   im Abstand   entfernt (also auf der Kreislinie von  )
  •   ist eine reelle Zahl zwischen 0 und 1 (  entspräche einer quadratischen Bézierapproximation).

Die zusätzlichen Kontrollpunkte   und   werden so gewählt, dass   zu   und   zu   den Abstand   hat.

Beispielkoordinaten Viertelkreis:

Als einfaches Beispiel einer Viertelkreisapproximation wählen wir:

  • den Mittelpunkt   des Kreises   als  ,
  • den Kontrollpunkt   auf der Kreislinie als  ,
  • den Kontrollpunkt   auf der Kreislinie als   – die Strecke   steht also senkrecht auf  , so dass beide Strecken einen Viertelkreissektor bilden –,
  • den Kontrollpunkt   als   (auf der Strecke  ),
  • den Kontrollpunkt   als   (auf der Strecke  ).

Die vier Kontrollpunkte liegen also auf dem Rand des Quadrats mit den Eckpunkten  ,  ,   und  . Dies gewährleistet immerhin, dass die Näherungskurve und die Kreislinie in   und   dieselbe Tangente haben. So ist auch die aus den Viertelkreisapproximationen zusammengesetzte Kurve in den Knotenpunkten „glatt“.

Die kubische Bézierkurve   ( ) hat mit diesen Kontrollpunkten folgende Form:

 

Eine recht gute Approximation des oberen rechten Viertelkreisbogens erhält man mit  , wie die nachfolgende Betrachtung zeigt.

Fehleranalyse:

Die Abweichung der gerade angegebenen Bézierkurve   vom darzustellenden Kreis   lässt sich folgendermaßen quantifizieren:

Ein Punkt   der Bézierkurve   liegt genau dann auf der vorgegebenen Kreislinie mit Radius   um den Mittelpunkt  , wenn   („Koordinatengleichung“) gilt. Definiert man

 

so ist das äquivalent zu  .   ist ein Maß für die Abweichung der Approximation   von der Kreisgestalt.

Fordert man dann die Übereinstimmung der Bézierkurve   mit dem Kreis   bei der Winkelhalbierenden, erhält man

 

Der Fehler ist Null bei  , sonst überall positiv, d. h. die Bézierkurve liegt stets auf oder außerhalb des Kreisbogens. Der maximale Fehler beträgt   bei   und bei  .

Fordert man, dass die aufsummierten Fehler über die gesamte Kurve verschwinden (  kann sowohl positiv als auch negativ sein – die Bézierkurve verläuft teils außerhalb, teils innerhalb der Kreislinie – und das Integral darüber kann Null ergeben), erhält man

 

Die größten Abweichungen liegen bei etwa   und bei  . Beide Approximationen sind somit für viele Anwendungsbereiche ausreichend.

Beispielkoordinaten Halbkreis:

Bei einer Halbkreisnäherung mit  ,  ,  , und  ,   mit   beträgt die maximale Abweichung  . Dies ist bzgl. der maximalen Abweichung etwa 50 mal schlechter als die Viertelkreisapproximation.

LiteraturBearbeiten

  • Gerald Farin: Curves and Surfaces for CAGD. A practical guide. 5. Aufl. Academic Press, San Diego 2002, ISBN 1-55860-737-4
  • J. Hoschek, D. Lasser: Grundlagen der geometrischen Datenverarbeitung, Vieweg+Teubner Verlag, 1989, ISBN 978-3-519-02962-5
  • David Salomon: Curves and Surfaces for Computer Graphics. Springer Science+Business Media, Inc., 2006, ISBN 0-387-24196-5
  • Boaswan Dzung Wong: Bézierkurven: gezeichnet und gerechnet. Orell Füssli Verlag, Zürich 2003, ISBN 3-280-04021-3
  • Wolfgang Boehm, Gerald Farin, Jürgen Kahmann: A survey of curve and surface methods in CAGD, Comput. Aided Geom. Des. 1, S. 1–60, 1984

WeblinksBearbeiten

EinzelnachweiseBearbeiten

  1. Farin, S. 37
  2. Hoschek&Lasser, S. 120
  3. Farin S. 38
  4. Farin S. 40
  5. Farin: S. 48
  6. Farin: S. 44
  7. Farin: S. 51
  8. Farin S. 87
  9. Hoschek&Lasser S. 128
  10. Farin S. 231
  11. Hoschek&lasser S. 143