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Weg (Mathematik)

in der Topologie und der Analysis die stetige Abbildung eines reellen Intervalls in einen topologischen Raum

In der Topologie und der Analysis ist ein Weg oder eine parametrisierte Kurve eine stetige Abbildung eines reellen Intervalls in einen topologischen Raum. Das Bild eines Weges heißt Kurve, Träger, Spur oder Bogen.

DefinitionBearbeiten

 
Ein nicht-geschlossener Weg mit zwei Doppelpunkten

Sei   ein topologischer Raum,   ein reelles Intervall. Ist   eine stetige Funktion, dann heißt   ein Weg in  . Die Bildmenge   heißt Kurve in  .

Die Punkte   und   heißen Anfangspunkt und Endpunkt der Kurve.

Ein Weg   heißt geschlossener Weg, wenn   ist. Ein geschlossener Weg liefert eine stetige Abbildung vom Einheitskreis   (1-Sphäre) nach  . Einen geschlossenen Weg nennt man auch Schleife.

Ein Weg   heißt einfacher Weg (oder auch doppelpunktfrei), wenn   auf   injektiv ist. Insbesondere ist also   zugelassen. Ein einfacher Weg heißt auch Jordan-Weg.

Diese Definition umfasst das, was wir uns intuitiv unter einer „Kurve“ vorstellen: eine zusammenhängende geometrische Figur, die „wie eine Linie“ ist (eindimensional). Aber es gibt auch Kurven, die man rein intuitiv nicht als solche bezeichnen würde.

Man muss zwischen einem Weg und einer Kurve (dem Bild eines Wegs) unterscheiden. Zwei verschiedene Wege können dasselbe Bild haben. Oft sind wir jedoch nur an dem Bild interessiert, und nennen dann den Weg eine Parameterdarstellung oder Parametrisierung der Kurve.

Wenn es zu einer Kurve eine Parametrisierung gibt, die ein Jordan-Weg ist, dann nennt man die Kurve eine Jordan-Kurve, ebenso für geschlossene Kurve.

BeispieleBearbeiten

Der Graph einer stetigen Funktion   ist eine Jordan-Kurve in  . Eine Parametrisierung ist der Jordan-Weg   mit  . Dabei wird auf   die Produkttopologie verwendet.

Der Einheitskreis ist eine geschlossene Jordan-Kurve.

Rektifizierbare WegeBearbeiten

Ist   ein metrischer Raum mit Metrik  , dann können wir die Länge   eines Wegs   in   definieren:

 .

Ein rektifizierbarer Weg ist ein Weg mit endlicher Länge.

Ist weiterhin  , dann gilt:

Jeder stückweise stetig differenzierbare Weg ist rektifizierbar, und seine Länge ist das Integral über den Betrag der Ableitung:

 .

Eine Kurve   ist die Bildmenge   eines Wegs  , der Weg   ist dann eine Parameterdarstellung der Kurve  . Für eine gegebene Kurve   ist das Wegintegral und damit die Weglänge – wenn endlich – unabhängig von der Wahl der Parameterdarstellung  . Daher lässt sich definieren:

Eine stückweise glatte Kurve   heißt rektifizierbar, wenn es für sie eine Parameterdarstellung   gibt, die ein rektifizierbarer Weg ist. Die Länge   einer Kurve   ist die Weglänge   ihrer Parameterdarstellung  .

Die Koch-Kurve und auch eine Trajektorie eines Wiener-Prozesses sind Beispiele für nicht rektifizierbare Kurven.

Andere WegeBearbeiten

Ein fraktaler Weg ist ein Weg mit gebrochener Dimension. Da verschiedene Definitionen der gebrochenen Dimension existieren, gibt es also auch verschiedene Definitionen eines fraktalen Wegs. Typische Beispiele sind die Koch-Kurve und die Drachenkurve.

Siehe auchBearbeiten

LiteraturBearbeiten

  • Klaus Fritzsche: Grundkurs Analysis 1. Differentiation und Integration in einer Veränderlichen. 2. Auflage. Spektrum Akademischer Verlag (Springer-Verlag), Heidelberg 2008, ISBN 978-3-8274-1878-4, S. 257 ff.
  • Stefan Hildebrandt: Analysis 2. Springer-Verlag, Berlin/Heidelberg 2003, ISBN 978-3-540-43970-7, S. 110 ff. (eingeschränkte Vorschau in der Google-Buchsuche).