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Einheitskreis

Kreis im Koordinatenursprung dessen Radius die Länge 1 hat
Punkte auf dem Einheitskreis

In der Mathematik ist der Einheitskreis der Kreis, dessen Radius die Länge 1 hat und dessen Mittelpunkt mit dem Koordinatenursprung eines kartesischen Koordinatensystems der Ebene übereinstimmt. Der Einheitskreis besteht also aus den Punkten der Ebene, für die gilt.

Trigonometrische ZusammenhängeBearbeiten

 
Trigonometrische Funktionen am Einheitskreis (Animation)

Liegt ein Punkt   auf dem Einheitskreis, dann kann man einen Winkel   zu der x-Achse (Abszisse) definieren, unter dem   vom Ursprung des Koordinatensystems aus gesehen wird. Für die Koordinaten   von   gilt dann

 ,   und  

Unter Zuhilfenahme der Beziehungen im rechtwinkligen Dreieck lassen sich folgende Zusammenhänge aufstellen:

 
 
 
 

Außerdem existieren noch die wenig gebräuchlichen Funktionen Sekans und Kosekans, die definiert sind als die Kehrwertfunktionen von Kosinus und Sinus.

Die orientierte Länge der Tangente an den Kreis, welche senkrecht auf der x-Achse steht, bis zum Scheitelpunkt des Winkels ist der Tangens von  .

Der Einheitskreis kann auch über die Eulersche Identität dargestellt werden:

 .

Rationale ParametrisierungBearbeiten

 
Rationale Parametrisierung

Auch ohne Rückgriff auf trigonometrische Funktionen lassen sich alle Punkte des Einheitskreises finden. Sei   eine beliebige reelle Zahl. Ein Schnittpunkt der Geraden durch   und   mit dem Einheitskreis ist trivialerweise  . Der andere befindet sich bei  , und durchläuft, wenn   ganz   durchläuft, den ganzen Kreis. Der Punkt   wird dabei allerdings nur nach dem Grenzübergang   erreicht.

Diese Parametrisierung ist für alle Körper geeignet. Für rationale   erhält man aus ihr durch elementare Umformungen pythagoräische Tripel  .

Andere NormenBearbeiten

Wird eine andere Norm als die euklidische Norm zur Abstandsmessung benutzt, so ist die Form des Einheitskreises im kartesischen Koordinatensystem eine andere. So ist zum Beispiel der Einheitskreis für die Maximumsnorm ein Quadrat mit den Ecken   und der Einheitskreis für die Summennorm ein Quadrat mit den Ecken   und  .

WeblinksBearbeiten

 Wikibooks: Trigonometrie (Schulmathematik) – Lern- und Lehrmaterialien
  Commons: Unit circles – Sammlung von Bildern, Videos und Audiodateien
 Wiktionary: Einheitskreis – Bedeutungserklärungen, Wortherkunft, Synonyme, Übersetzungen