Gruppe der rationalen Punkte auf dem Einheitskreis

Die Gruppe der rationalen Punkte auf dem Einheitskreis besteht aus den Punkten mit rationalen Koordinaten, für die gilt. Die Menge dieser Punkte ist eng mit den primen pythagoräischen Tripeln verwandt. Ist ein primitives rechtwinkliges Dreieck mit ganzzahligen teilerfremden Seitenlängen gegeben, wobei die Hypotenuse ist, dann gibt es auf dem Einheitskreis den rationalen Punkt . Ist umgekehrt ein rationaler Punkt auf dem Einheitskreis, dann gibt es ein primitives rechtwinkliges Dreieck mit den Seiten , wobei das kleinste gemeinsame Vielfache der Nenner von und ist.

GruppenoperationBearbeiten

Die Menge der rationalen Punkte bildet eine unendliche Abelsche Gruppe. Das neutrale Element ist der Punkt  . Die Gruppenoperation oder „Summe“ ist  . Geometrisch ist dies die Winkeladdition, wenn   und  , wobei   der Winkel des Radiusvektors   mit dem Radiusvektor   im mathematisch positiven Sinne ist. Wenn also   und   jeweils mit   die Winkel   und   bilden, ist deren Summe   der rationale Punkt auf dem Einheitskreis mit dem Winkel   im Sinne der gewöhnlichen Addition von Winkeln.

Identifiziert man jeweils den Punkt   mit der komplexen Zahl  , so entspricht die Addition in   der Multiplikation in  .

GruppenstrukturBearbeiten

Die Gruppe   ist isomorph zu einer unendlichen direkten Summe von zyklischen Untergruppen von  :

 

wobei   die durch   erzeugte Untergruppe ist, und die   jene Untergruppen sind, die von Punkten der Form   mit   erzeugt werden, wobei   eine Pythagoreische Primzahl ist.

Diese Aussage ist eine Anwendung von Hilberts Satz 90 auf das Problem der rationalen Punkte auf dem Einheitskreis, siehe dazu bei: Lin Tan.

LiteraturBearbeiten