Hauptmenü öffnen

Kleinstes gemeinsames Vielfaches

mathematische Funktion

Das kleinste gemeinsame Vielfache (kgV) ist ein mathematischer Begriff. Sein Pendant ist der größte gemeinsame Teiler (ggT). Beide spielen unter anderem in der Bruchrechnung und der Zahlentheorie eine Rolle.

Das kleinste gemeinsame Vielfache zweier ganzer Zahlen und ist die kleinste positive natürliche Zahl, die sowohl Vielfaches von als auch Vielfaches von ist. Zusätzlich wird für den Fall oder das kgV definiert als .

Die englische Bezeichnung für das kleinste gemeinsame Vielfache ist least common multiple, oder kurz lcm und findet in mathematischen Texten ebenfalls Verwendung.

Berechnung des kgV von natürlichen ZahlenBearbeiten

Beispiel zur kgV-BerechnungBearbeiten

  • Die positiven Vielfachen von 12 sind: 12, 24, 36, 48, 60, 72, 84, 96, 108, …
  • Die positiven Vielfachen von 18 sind: 18, 36, 54, 72, 90, 108, …
  • Die gemeinsamen positiven Vielfachen von 12 und 18 sind also 36, 72, 108, …
  • und das kleinste von diesen ist 36; in Zeichen:
 

Berechnung über die PrimfaktorzerlegungBearbeiten

ggT und kgV kann man über die Primfaktorzerlegung der beiden gegebenen Zahlen bestimmen. Beispiel:

 
 

Für das kgV nimmt man die Primfaktoren, die in mindestens einer der beiden Zerlegungen vorkommen, und als zugehörigen Exponenten den jeweils größeren der Ausgangsexponenten:

 

Berechnung über den größten gemeinsamen Teiler (ggT)Bearbeiten

Es gilt die folgende Formel:

 

Sind beide Zahlen positiv oder negativ, so entfallen die Betragsstriche. Damit lässt sich das   berechnen, falls der   (z. B. mit dem euklidischen Algorithmus) bereits bestimmt wurde (umgekehrt kann man mit dieser Formel auch den   aus dem   berechnen).

Am einfachsten ist es meist, nach der Bestimmung des   eine der beiden Zahlen durch den   zu teilen und mit der anderen Zahl zu multiplizieren. Der Betrag des Ergebnisses ist das gesuchte  . Beispiel:

Der   von 24 und 18 ist 6 (zur Berechnung des   mittels euklidischem Algorithmus siehe den Artikel zum ggT). Das   ist folglich (da beide Zahlen positiv sind, entfällt der Betrag)

 .

Die Formel zu Beginn des Abschnitts ist übrigens leicht zu verstehen, da sich das Produkt der Zahlen auch durch den   wie folgt ausdrücken lässt:

 .

Nun ist das   mit dem   über die Faktoren   und   bestimmbar, da diese teilerfremd sind und somit ihr Produkt mit dem   das kleinste gemeinsame Vielfache ergibt (der Betrag ist notwendig, falls eine der beiden Zahlen negativ ist):

 

Multipliziert man beide Seiten mit dem   und nutzt die Beziehung der vorherigen Gleichung, so ergibt sich die erste Gleichung des Abschnitts.

 

Das kgV von mehreren ZahlenBearbeiten

Man verwendet alle Primfaktoren, die in mindestens einer der Zahlen vorkommen, mit der jeweils höchsten vorkommenden Potenz, zum Beispiel:

 
 
 

also:

 

Man könnte auch zunächst   berechnen und danach   denn als eine zweistellige Verknüpfung auf den ganzen Zahlen ist das  assoziativ:

 

Dies rechtfertigt die Schreibweise  

AnwendungenBearbeiten

BruchrechnungBearbeiten

Angenommen, man möchte die Brüche   und   addieren. Dazu müssen diese durch Erweitern auf einen gemeinsamen Nenner gebracht werden. Man könnte   mit   multiplizieren, was   ergibt. Der kleinstmögliche gemeinsame Nenner (der sog. Hauptnenner) ist aber  . Die beiden Brüche werden auf diesen Nenner erweitert und dann addiert:

 

Das kgV in RingenBearbeiten

Analog zum   ist das   in Ringen definiert: Ein Ringelement   heißt kleinstes gemeinsames Vielfaches zweier Ringelemente   und  , wenn   ein gemeinsames Vielfaches von   und   ist und seinerseits jedes andere gemeinsame Vielfache von   und   ein Vielfaches von   ist.

Formal schreibt man diese Definition für einen Ring   so:

 

Diese allgemeinere Definition lässt sich auf mehrere Zahlen ausweiten (sogar auf unendlich viele).

BeispieleBearbeiten

Das kgV von PolynomenBearbeiten

Das   lässt sich nicht nur für natürliche (und ganze) Zahlen definieren. Man kann es z. B. auch für Polynome bilden. Statt der Primfaktorzerlegung nimmt man hier die Zerlegung in irreduzible Faktoren:

 

Dann ist

 .

Die Division mit Rest, die auch für Polynome existiert, erleichtert das Auffinden von gemeinsamen Teilern.

Gaußscher ZahlenringBearbeiten

Im gaußschen Zahlenring   ist der größte gemeinsame Teiler von   und   gerade  , denn   und  . Genau genommen ist   ein größter gemeinsamer Teiler, da alle zu dieser Zahl assoziierten Zahlen ebenfalls größte gemeinsame Teiler sind.

Nicht in jedem Ring existiert für zwei Elemente ein   oder ein   Wenn sie einen   haben, können sie mehrere   haben. Ist der Ring ein Integritätsring, dann sind alle   zueinander assoziiert, in Zeichen  .

Ist   ein Integritätsring und haben die Elemente   und   ein  , dann haben sie auch einen  , und es gilt die Gleichung

 

Ist jedoch nur bekannt, dass ein   von   und   existiert, dann muss nicht unbedingt auch ein   existieren.

IntegritätsringBearbeiten

Im Integritätsring   haben die Elemente

 

keinen  : Die Elemente   und   sind zwei maximale gemeinsame Teiler, denn beide haben den gleichen Betrag. Jedoch sind diese zwei Elemente nicht zueinander assoziiert, also gibt es keinen   von   und  .

Die genannten Elemente   und   haben aber ihrerseits einen ggT, nämlich  . Dagegen haben sie kein  , denn wenn   ein   wäre, dann folgt aus der „ggT-kgV-Gleichung“, dass   assoziiert zu   sein muss. Das gemeinsame Vielfache   ist jedoch kein Vielfaches von  , also ist   kein   und die beiden Elemente haben gar kein  .

BemerkungenBearbeiten

Ein Integritätsring, in dem je zwei Elemente einen   besitzen, heißt ggT-Ring oder ggT-Bereich. In einem ggT-Ring haben je zwei Elemente auch ein  .

In einem faktoriellen Ring haben je zwei Elemente einen  .

In einem euklidischen Ring lässt sich der   zweier Elemente mit dem euklidischen Algorithmus bestimmen.

WeblinksBearbeiten